一、填空題
1．已知集合，，則_________.
2．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為_________.
3．計(jì)算_________（其中i為虛數(shù)單位）.
4．若，則_________.
5．已知二項(xiàng)式，其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_________.
6．各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項(xiàng)公式為_________.
7．正方體中，異面直線與所成角的大小為_________.
8．若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)，的值域?yàn)開________.
9．設(shè)復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則_________.
10．有5名志愿者報(bào)名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有_________種.
11．某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米.現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為_________.
12．已知實(shí)數(shù)a滿足：①；②存在實(shí)數(shù)b，c，使得a，b，c是等差數(shù)列，，，也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
二、選擇題
13．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
14．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，則下列不等式一定正確的是( )
A.B.C.D.
15．某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為( )
A.350B.400C.450D.500
16．平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個結(jié)論：
①對任意，存在該平面的向量，滿足
②對任意，存在該平面向量，滿足
則下面判斷正確的為( )
A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確C.①正確，②正確D.①錯誤，②錯誤
三、解答題
17．如圖，P為圓錐頂點(diǎn)，O為底面中心，A，B，C均在底面圓周上，且為等邊三角形.
（1）求證：平面平面；
（2）若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)A到平面的距離.
18．已知.
（1）若的最小正周期為，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）已知，中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若，，，求c的值.
19．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：
（1）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分?jǐn)?shù)；
（2）獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；
（3）根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間，兩種生產(chǎn)方式優(yōu)秀與合格的人數(shù)填入下面的2×2列聯(lián)表：
根據(jù)上面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異？（.其中，）.
20．已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，直線、分別與x軸交于點(diǎn)M、N.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知命題“對任意直線l，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求的重心坐標(biāo)；
（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由.（其中、分別表示、的面積）
21．函數(shù)、的定義域均為R，若對任意兩個不同的實(shí)數(shù)a，b，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.
（1）判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；
（2）已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實(shí)數(shù)M，對任意實(shí)數(shù)，均有.求證：存在實(shí)數(shù)m，n，使得對任意，均有.
參考答案
1．答案：
解析：集合，，所以.
故答案為：.
2．答案：
解析：由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.
故答案為.
3．答案：
解析：由題.
故答案為：.
4．答案：
解析：.
5．答案：45
解析：由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，
令，得，
即含項(xiàng)的系數(shù)為45.
故答案為：45.
6．答案：
解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，，由，，得，
則，解得，
所以.
故答案為：.
7．答案：/
解析：正方體中，，因此異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
而，，因此.
所以異面直線與所成角的大小為.
故答案為：.
8．答案：
解析：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，所以，時(shí)值域?yàn)?
故答案為：.
9．答案：2
解析：依題意，，則，
所以.
故答案為：2.
10．答案：60
解析：從5人中選1人兩天都參加，有種方法，再從余下4人中選2人分派到周六、周日參加，有種方法，
所以不同安排方式共有（種）.
故答案為：60.
11．答案：134
解析：設(shè)第一層有m根，共有n層，則，
，顯然n和中一個奇數(shù)一個偶數(shù)，
則或或，即或或，
顯然每增加一層高度增加厘米，
當(dāng)時(shí)，厘米厘米，此時(shí)最下層有189根；
當(dāng)時(shí)，厘米厘米，此時(shí)最下層有134根；
當(dāng)時(shí)，厘米，超過米，
所以堆放占用場地面積最小時(shí)，最下層圓鋼根數(shù)為134根.
故答案為：134.
12．答案：
解析：設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為m，，，依題意，，
于是，整理得，
即，因此，
即有，則m隨b增大而增大，而
當(dāng)，時(shí)，c到達(dá)時(shí)是臨界值點(diǎn)，此時(shí)，
代入得，即，整理得，
而，解得，則，即，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
13．答案：D
解析：對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；
對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不是；
對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；
對于D，函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，D是.
故選：D.
14．答案：C
解析：對于ABD，取，，，，滿足，
顯然，，，ABD錯誤；
對于C，，則，C正確.
故選：C.
15．答案：B
解析：依題意，，而X服從正態(tài)分布，
因此，
所以此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.
故選：B.
16．答案：C
解析：由，，，不妨令，，設(shè)，
，得，而，，
則，整理得，由，得，
平行直線和間的距離為，
到直線和直線距離相等的點(diǎn)到這兩條直線的距離為0.35，
如圖，陰影部分表示的區(qū)域?yàn)榧螦，因此無論是否屬于A，都有，
所以命題①②都正確.
故選：C
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連接，交于點(diǎn)M，由為等邊三角形，得O是的中心，則，
而平面，平面，則，又，，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）連接，作于H，由（1）知平面，平面，則，
而，，平面，則平面，
顯然，，則，
而，于是，因此，
所以點(diǎn)A到平面的距離為.
18．答案：（1）非奇非偶函數(shù)，理由見解析
（2）
解析：（1）由的最小正周期為，得，則，
于是，
；
，
所以函數(shù)非奇非偶函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，則，，
在中，，，則，有，
于是，解得，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以.
19．答案：（1）88.5
（2）
（3）有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異
解析：（1）根據(jù)題意，將這40個數(shù)據(jù)從小到大排列，61，61，62，63，63，65，65，67，68，69，70，70，71，72，72，72，72，74，75，77，78，81，82，82，83，84，84，84，87，87，90，90，91，91，91，92，92，93，94，94，，故取第30人和第31人時(shí)間的平均值為.
（2）設(shè)選出的工人為優(yōu)秀為事件A，第一種生產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是2個，
第二種生產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是10個，
所以獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率為.
（3）
，
故有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）依題意，，又，
解得，所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)槊}“對任意直線l，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，
可以取直線l為，由，解得或，
所以，，
則，所以，，所以，
設(shè)的重心為G，則，，
所以，即的重心坐標(biāo)為.
（3）依題意可得直線l的斜率存在、不為0且斜率為負(fù)數(shù)，
設(shè)直線，，，
則直線：，令，得，同理可得：；
所以
設(shè)直線l與y軸交于Q點(diǎn)，則，所以，，，
因?yàn)?，故得①?br>由，
則，，
代入①得，解得，
所以，故直線l的方程為.
21．答案：（1）是，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
解析：（1）若與不為相關(guān)函數(shù)對，則且，
則，所以只要即可，
當(dāng)，時(shí)，
，
所以函數(shù)與是相關(guān)函數(shù)對.
（2）因?yàn)榕c為相關(guān)函數(shù)對，
所以，
令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以是極小值點(diǎn)，，
所以，
所以；
（3）假設(shè)對任意m，n均存在，
均有，
則取，，，使得，
對任意，，有，，
又函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，
則①若，則；
②若，則，
由①②知：，由，將其分為很多個子區(qū)間，
如，，，……
則以上每個區(qū)間至多包含一個，矛盾，假設(shè)不成立，
故存在實(shí)數(shù)m，n，使得對任意，均有.
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
總計(jì)
優(yōu)秀
合格
總計(jì)
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
總計(jì)
優(yōu)秀
2
10
12
合格
18
10
28
總計(jì)
20
20
40

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