2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育秀中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育秀中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.已知，下列不等式變形不正確的是( )
A. B. C. D.
2.多項(xiàng)式的公因式是( )
A. B. C. D.
3.在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是( )
A. B.
C. D.
4.在平行四邊形中，，則等于( )
A. B. C. D.
5.如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6.如圖，在四邊形中，已知，添加一個(gè)條件，可使四邊形是平行四邊形．下列錯(cuò)誤的是( )
A. B.
C. D.
7.下列因式分解正確的是( )
A. B.
C. D.
8.?中，，是兩條對(duì)角線，如果添如一個(gè)條件，可推出?是菱形，那么這個(gè)條件可以是( )
A. B. C. D.
9.如圖，四邊形中，點(diǎn)、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長( )
A. 只與、的長有關(guān)B. 只與、的長有關(guān)
C. 只與、的長有關(guān)D. 與四邊形各邊的長都有關(guān)．
10.如圖，已知菱形的邊長為，點(diǎn)是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.如圖，在菱形中，對(duì)角線，，則菱形的面積是______．
13.禁令標(biāo)志是交通標(biāo)志中的一種，是對(duì)車輛加以禁止或限制的標(biāo)志，如禁止通行、禁止停車、禁止左轉(zhuǎn)彎、禁止鳴喇叭、限制速度、限制重量等如圖，該禁令標(biāo)志的內(nèi)角和是______．
14.如圖，在平行四邊形中，，，，的周長是______．
15.不等式組的解集是，那么的取值范圍是______．
16.如圖，菱形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，連接，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)連接，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，連接則的最小值為______．
三、解答題：本題共10小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．
18.本小題分
如圖，在?中，點(diǎn)，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接，求證：．
19.本小題分
已知：如圖，在菱形中，、分別在邊、上，且，求證：．
20.本小題分
因式分解：
；
．
21.本小題分
因式分解：
．
．
22.本小題分
通過對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們積累了研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，以下是探究函數(shù)的部分過程，請(qǐng)按要求完成下列各題：
表中的值為______， ______．
在坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；
結(jié)合圖象，可知不等式的解集是______．
23.本小題分
期中考試后，某班班主任對(duì)在期中考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進(jìn)行表彰她到商場購買了甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品，購買甲種筆記本本，乙種筆記本本，共花費(fèi)元，已知購買一本甲種筆記本比購買一本乙種筆記本多花費(fèi)元．
求購買一本甲種、一本乙種筆記本各需多少元？
兩種筆記本均受到了獲獎(jiǎng)同學(xué)的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記本共本，正好趕上商場對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，甲種筆記本售價(jià)比上一次購買時(shí)降價(jià)元，乙種筆記本按上一次購買時(shí)售價(jià)的折出售如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記本的總費(fèi)用不超過元，求至多需要購買多少本甲種筆記本？
24.本小題分
【閱讀材料】
配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法它是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個(gè)完全平方式的和的方法這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決些問題．
用配方法分解因式
例：分解因式．
解：．
用配方法求值
例：已知，求的值．
解：原方程可化為：，即．
，，
，，
．
用配方法確定范圍
例：，利用配方法求的最小值．
解：．
，
當(dāng)時(shí)，有最小值．
請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題；
如果是一個(gè)完全平方式，則括號(hào)內(nèi)的常數(shù)應(yīng)為( )______．
已知，當(dāng) ______， ______時(shí)，有最小值，最小值是______．
已知，，試比較，的大?。?br>25.本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，直線為常數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
若直線經(jīng)過點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)．
過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)為常數(shù)的圖象于點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．
當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值；
設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部時(shí)，直接寫出的取值范圍．
26.本小題分
用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，在射線上取一點(diǎn)，連接，，使．
操作探究一

如圖，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，則 ______， ______．
操作探究二
如圖，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
拓展遷移
在菱形中，，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在射線上，且當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．
答案和解析
1.【答案】
解：、根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都加可得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以可得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以可得，原變形不正確，故此選項(xiàng)符合題意；
D、根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊都乘以可得，再在不等號(hào)兩邊同時(shí)減得，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
根據(jù)不等式基本性質(zhì)逐一判斷即可．
本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
2.【答案】
解：由題意，公因式是各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)與各項(xiàng)相同字母的最低次冪的積，
多項(xiàng)式的公因式是．
故選：．
依據(jù)題意，根據(jù)公因式的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得解．
本題主要考查了公因式的概念，解題中要能根據(jù)概念準(zhǔn)確找出系數(shù)的最大公因式和各項(xiàng)相同字母的最低次冪是關(guān)鍵．
3.【答案】
解：，
，
，
在數(shù)軸上表示為，
故選：．
先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．
本題考查了解一元一次不等式和在數(shù)軸上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．
4.【答案】
解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
．
故選：．
由在?中，若，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，又由平行線的性質(zhì)，求得答案．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
5.【答案】
解：直線過點(diǎn)，
，
，
，
如圖所示：關(guān)于的不等式的解是：．
故選：．
利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后直接利用圖象得出答案．
此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與一元一次不等式，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的判定定理得出即可．
【解答】
解：，，
根據(jù)平行四邊形的判定定理“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，此選項(xiàng)不符合題意；
B.添加條件不能使四邊形是平行四邊形，此選項(xiàng)符合題意；
C.，，
根據(jù)平行四邊形的判定定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，此選項(xiàng)不符合題意；
D.，
，
，
根據(jù)平行四邊形的判定定理“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，此選項(xiàng)不符合題意；
故選B．
7.【答案】
解：，故選項(xiàng)A分解錯(cuò)誤；
B.，故選項(xiàng)B分解正確；
C.，故選項(xiàng)C分解錯(cuò)誤；
D.，故選項(xiàng)D分解錯(cuò)誤；
故選：．
分解每個(gè)多項(xiàng)式，根據(jù)分解結(jié)果得結(jié)論．
本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．
8.【答案】
解：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，
當(dāng)時(shí)，?是菱形．
故選：．
根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可解答．
本題綜合考查了菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：四條邊都相等的四邊形是菱形菱形．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形．
9.【答案】
【解析】【分析】
本題考查三角形的中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．
【解答】
解：點(diǎn)、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，
，，，，
四邊形的周長．
故選B．
10.【答案】
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
菱形中，，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
根據(jù)垂線段最短，此時(shí)最短，即最小，
菱形的邊長為，
，
．
的最小值是．
故選：．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)最短，即最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出的長，進(jìn)而可得結(jié)論．
本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．
11.【答案】
解：．
故答案為：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此題考查了平方差公式分解因式的知識(shí)．題目比較簡單，解題需細(xì)心．
12.【答案】
解：菱形的面積，
故答案為：．
由菱形的面積公式可求解．
本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的面積公式是本題的關(guān)鍵．
13.【答案】
解：該禁令標(biāo)志是八邊形，而八邊形的內(nèi)角和為，
所以該禁令標(biāo)志的內(nèi)角和為．
故答案為：．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
14.【答案】
解：四邊形是平行四邊形
，，
的周長
故答案為
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，即可求的周長．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
15.【答案】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集是，
，
故答案為：．
按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】
解：過作，作于，交于，作于，作于，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
令，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案為：．
過作，作于，交于，作于，作于，由直角三角形的性質(zhì)求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解決問題．
本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)求出的長，由，即可求出的最小值．
17.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，，
不等式組的解集為．
不等式組的整數(shù)解為，，．
【解析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
18.【答案】證明：在?中，，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及平行線的判定，關(guān)鍵是正確證明≌．
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得，對(duì)邊平行可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，進(jìn)而得到．
19.【答案】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由“”可證≌，可得．
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：原式

；
原式
．
【解析】利用提公因式法因式分解即可；
利用平方差公式因式分解即可．
本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
22.【答案】 或 或
解：，
當(dāng)時(shí)：，
；
故答案為：．
結(jié)合表格，畫出函數(shù)圖象如下：
由圖象可知：不等式的解集是或．
故答案為：或．
將代入函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可；
描點(diǎn)，連線，畫出函數(shù)圖象即可；
利用圖象法求出不等式的解集即可．
本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用．熟練掌握列表，描點(diǎn)，連線畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：設(shè)購買一本甲種筆記本需元，一本乙種筆記本需元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購買一本甲種筆記本需元，一本乙種筆記本需元；
設(shè)需要購買本甲種筆記本，則購買本乙種筆記本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
的最大值為．
答：至多需要購買本甲種筆記本．
【解析】設(shè)購買一本甲種筆記本需元，一本乙種筆記本需元，根據(jù)“購買甲種筆記本本，乙種筆記本本，共花費(fèi)元，購買一本甲種筆記本比購買一本乙種筆記本多花費(fèi)元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)需要購買本甲種筆記本，則購買本乙種筆記本，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過元，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
24.【答案】
解：
；
故答案為：；
，
，，
，，
當(dāng)，時(shí)，有最小值，最小值是；
故答案為：，，；
，
．
根據(jù)配方法分解答即可；
把配方，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，的值，根據(jù)函數(shù)的最值即可得到結(jié)論；
根據(jù)配方法即可得到結(jié)論．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
25.【答案】解：將點(diǎn)代入直線表達(dá)式得：，
解得：，
則函數(shù)的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)；
過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)為常數(shù)的圖象于點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)在點(diǎn)上方．．
以、、、為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形為平行四邊形，
，
，
或；
設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，
得，
解得：，
則，
當(dāng)時(shí)，代入直線的解析式得：，
代入直線解析式，
得．
設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部時(shí)，
則，
解得：且．
【解析】將點(diǎn)代入直線表達(dá)式得：，即可求解；
以、、、為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形為平行四邊形，則，即，即可求解；
用表示的解析式，分別求出當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)，直線、上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在四邊形的內(nèi)部，構(gòu)造不等式組求解即可．
本題是一次函數(shù)的綜合問題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法，解答關(guān)鍵是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答問題
26.【答案】
解：四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案為：，；
，理由如下：
四邊形是菱形，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
如圖，作交于，則，，
在中，，，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
，，
為等腰直角三角形，
，
四邊形是菱形，，，，
，，
由菱形的對(duì)稱性及可得，
在中，，，
，
，
，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
設(shè)，同可得：，，
，
，
，
綜上所述，的長度為或．
證明≌得到，，從而得到，推出為等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到答案；
證明≌得到，，從而得到，作交于，則，，根據(jù)含角的性質(zhì)及勾股定理得出，從而得到；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)；利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．