福建省寧德市福寧古五校聯(lián)合體2023-2024學年高一下學期4月期中考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．答題前，考生須在試題卷、答題卡規(guī)定的位置填寫自己的準考證號、姓名.考生應認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束，考生須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知復數(shù)，則復數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由復數(shù)的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由復數(shù)的運算可得.
故選：B
2. 已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】A：結(jié)合兩直線的位置關(guān)系可判斷或異面； B：結(jié)合線面平行的性質(zhì)可判斷； C：結(jié)合線面的位置關(guān)系可判斷或相交； D：結(jié)合線面的位置關(guān)系可判斷或.
【詳解】A：若，則或異面，故A錯誤；
B：因為，所以在平面內(nèi)存在不同于n的直線l，使得，則，從而，故，故B正確；
C：若，則或相交，故C錯誤；
D：若，則或，故D錯誤.
故選：B
3. 已知平面向量，，，若，，則（）
A. 6B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量平行和垂直的坐標表示計算即可.
【詳解】因為，
所以，
又，
所以，
所以，
故選：D.
4. 在中，為邊上的中線，為的中點，若，則（）

A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由圖形利用向量的加法法則進行線性運算即可.
【詳解】由題意可得
，
所以，
故選：A.
5. 在中，其內(nèi)角的對邊分別是，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】對于ABD：根據(jù)題意利用正弦定理分析求解，結(jié)合內(nèi)角和性質(zhì)分析取舍，即可判斷解的個數(shù)；對于C：結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對于選項A：若，，，由正弦定理可得，
則，此時不存在，三角形無解；故A錯誤；
對于選項B：若，，，由正弦定理可得，
則，
可知或，而時，，應舍去，
所以，即三角形有且僅有一解；故B錯誤；
對于選項C：若，，，可知為等邊三角形，
所以三角形僅有一解；故C錯誤；
對于選項D：若，，，由正弦定理可得：，
則，所以或，
兩種情況下，三角形都存在，即三角形有兩解，故D錯誤.
故選：D.
6. 設(shè)平面向量，，且，則（）
A. 1B. 14C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用向量的運算法則，求得，再由，即可求解.
【詳解】由向量，，且，
可得，所以，
則.
故選：B.
7. 斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，下圖給出了它的畫法：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，的變化規(guī)律為邊的正方形，依序拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如果用圖中接下來的一段圓弧所對應的扇形做圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)的規(guī)律，求出下一個圓弧的半徑和弧長，進一步求出圓錐的的底面半徑，即可求解.
【詳解】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和，
所以接下來的圓弧所在扇形的半徑是，
對應的弧長，
設(shè)圓錐的底面半徑為，則，即，
所以該圓錐的底面積為.
故選：.
8. 在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理邊化角得到，由銳角三角形求出，然后將的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解即可.
【詳解】因為，所以由正弦定理得：,
即，所以，即，又，所以.
因為銳角三角形ABC，所以，即，解得.
.
令，因為，所以，
則在單調(diào)遞減，
所以.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)向量，，則（）
A. B.
C. D. 與的夾角為
【答案】CD
【解析】
【分析】由向量的坐標運算，逐個驗證向量平行、垂直、夾角和模的問題.
【詳解】由題意，，，
則，，故A錯誤；
易知，由，
所以與不平行，故B錯誤；
又，即，故C正確；
因為，
又，所以與的夾角為，故D正確．
故選：CD．
10. 對于，有如下命題，其中正確的有（）
A. 若，則為等腰三角形
B. 若，則為直角三角形
C. 若，則為鈍角三角形
D. 若，的對邊分別是，，且，則
【答案】AC
【解析】
【分析】對于，由可知；對于，由根據(jù)誘導公式可知或，即可判斷；對于，由已知可得，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為即可判斷；對于，由得，可知角為銳角，由向量的數(shù)量積公式即可判斷.
【詳解】對于，在中，由得或，
因為，所以，所以為等腰三角形，故正確；
對于，在中，由得或，
所以不一定是直角三角形，故不正確；
對于，由得，
所以，即，
所以，所以角為鈍角，為鈍角三角形，故正確；
對于，由得，所以角為銳角，，
，故不正確.
故選：.
11. 如圖，，是半徑為6的圓的兩條不同的直徑，，則（）
A.
B. 若，則在上的投影向量為
C. 為定值
D. 滿足的實數(shù)與的和為定值4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到是的一個三點分點，可判定A正確，根據(jù)投影向量的概念及計算，求得在上的投影向量，可判定B錯誤；利用三角形的中線的向量表達式，結(jié)合是的一個三點分點，求得的值，可判定C正確；利用平面向量的基本定理，結(jié)合，求得的值，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，可得，即，
整理得，所以A正確；
對于B中，由圓的半徑為，因為，則，
且，
可得，
所以在上的投影向量為，所以B不正確；
對于C中，因為中，是邊上的中線，所以，
由圓的半徑為，則等于為定值，所以C正確；
對于D中，由，可得，
因為，可得，所以，所以D正確.
故選：ACD.
12. 如圖所示，在棱長為2的正方體中，點，分別為棱，上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（）

A. 四面體的體積為定值
B. 當，分別為棱的中點時，則在正方體中存在棱與平面平行
C. 正方體外接球的表面積為
D. 當，分別為棱，的中點時，則過，，三點作正方體的截面，所得截面為五邊形
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出四面體的體積判斷A；把正方體的棱分成3類，再判斷各類中的一條即可判斷B；由外接球的定義可得外接球的半徑，即可判斷C；利用線線、線面平行的性質(zhì)作出截面判斷D.
【詳解】點，在棱，上運動時，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，
所以四面體的體積恒為定值，A正確；
在正方體中，棱可分為三類，分別是，及分別與它們平行的棱，
又不與平面平行，則在正方體中，不存在棱與平面平行，B錯誤；
正方體棱長為2，則其外接球的直徑為正方體體對角線，
所以，即，
則外接球的表面積為，故C正確；

如圖，取中點，連接，有，
且，則四邊形是平行四邊形，
有，過作的平行線交于點，
此時，則，
即為過，，三點的平面與平面的交線，
連接，在上取點，使得，同證的方法得，
在棱上取點，使，連接并延長交直線于，則，
即，而，于是四邊形是平行四邊形，
有，則為過，，三點的平面與平面的交線，
連接，則可得五邊形即為正方體中過，，三點的截面，D正確．
故選：ACD
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．
13. 如圖是用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的面積是________.

【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)斜二測法，所得直觀圖中三角形的高為4，即有的高為8，而底邊為4不變，根據(jù)三角形面積公式即可求的面積.
詳解】由斜二測法畫圖原則：橫等縱半，
∴的高為8，即，
故答案為：.
【點睛】本題考查了根據(jù)斜二測法所得直觀圖求原圖面積，屬于基礎(chǔ)題.
14. i是虛數(shù)單位，已知，寫出一個滿足條件的復數(shù)．______．
【答案】（答案不唯一，滿足（）均可）
【解析】
【分析】運用復數(shù)的模的運算公式計算即可.
【詳解】設(shè)，（），
則，，
因為，
所以，解得：，
所以，（）
所以可以取.
故答案為：（答案不唯一，滿足（）均可）.
15. 如圖，某景區(qū)有三條道路，其中長為千米，是正北方向，長為千米，是正東方向，某游客在道路上相對東偏北度的且距離為千米的位置，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：利用等面積法可知，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡計算可得結(jié)果.
方法二：有垂直可以考慮建立坐標系：，，利用三點共線（向量公式或者斜率公式）即可.
【詳解】千米,千米,
三角形的面積，由面積和法得：，
，兩邊平方可得：
，∴，
，
解得：，由，
解得：.
法二：由題意可知,以為坐標原點，為軸建立坐標系，則有，，,
因為,所以，
化簡可得：
兩邊平方可得：
，∴，
，
解得：，由，解得：.
故答案為：.
16. 在直角中，，，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為________．
【答案】0
【解析】
【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出點坐標為，求出為正弦型函數(shù)，求出最小值即可.
【詳解】如圖：
由于動點滿足，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，
建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，
設(shè)點坐標為，，
則，，
所以
所以當，有最小值為.
故答案為：
四．解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
17. 已知復數(shù)，.
（1）若是實數(shù)，求的值；
（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由復數(shù)的除法法則化簡后根據(jù)復數(shù)的定義計算；
（2）由對應點所在象限求得參數(shù)范圍，再由模求得參數(shù)范圍，兩者結(jié)合可得．
【小問1詳解】
，它是實數(shù)，則，；
小問2詳解】
由（1）對應點坐標為，它在第三象限，
則，解得，
又，或，
綜上，．
18. 已知中，點D在線段OB上，且，延長BA到C.使.設(shè)，.

（1）用，表示向量；
（2）若向量與共線，求k值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中點的性質(zhì)與向量的線性運算法則求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得關(guān)于向量的表示式，結(jié)合向量共線的充要條件建立關(guān)于k的方程組，解之即可得到實數(shù)k的值．
【小問1詳解】
∵A為BC的中點，∴，
可得；
【小問2詳解】
，
得，
∵與共線，
設(shè)，即，
根據(jù)平面向量基本定理，得，
解得.
19. 現(xiàn)給出兩個條件：①，②，從中選出一個條件補充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題．（選出一種可行的條件解答，若兩個都選則按第一個解答計分）
在中，，，分別為內(nèi)角A，，所對的邊，若________．
（1）求；
（2）若的面積為，求外接圓半徑的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①：利用正弦定理可得，即可得角；若選②：利用正、余弦定理可得，即可得角；
（2）利用面積公式可得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得結(jié)果.
小問1詳解】
若選①：因為，
由正弦定理可得，
由，則，，
可得，所以得；
若選②：因為，即，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因為，所以.
小問2詳解】
由題意可得：，則，
由余弦定理可知，
當且僅當時，等號成立，即，
所以外接圓半徑最小值為.
20. 如圖，在直三棱柱中，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，，，求幾何體的體積．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）連接，交于點，連接，則，由此能證明平面．
（2）幾何體的體積，由此能求出結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：連接，交于點，
則點是及的中點，而是的中點，
連接，則，
因為平面，平面，所以平面．
【小問2詳解】
，，，
幾何體的體積：
．
21. 如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標系中的坐標，記為
（1）若在該坐標系下，，計算的大小
（2）若在該坐標系下，已知，，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將，用，表示，根據(jù)向量模的運算求解即可；
（2）求出，然后利用換元法將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值即可.
【小問1詳解】
依題意，，，
由，，得，
所以，
即；
【小問2詳解】
由題意可知，
所以，
，
所以，
令，
，
又因為，
且，所以，所以，
即，
又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，
即時，函數(shù)取到最大值3，
即，則有，
所以當時，的最大值為.
22. 如圖，在四邊形中，已知的面積為，記的面積為．
（1）求的大??；
（2）若，設(shè)，，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和面積公式得到，結(jié)合，得到答案；
（2）設(shè)，則，，，在和中，由正弦定理得到，得到，進而利用三角形面積公式得到，，結(jié)合，求出答案.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理，，
故，
因為，，
所以，
即，又因為，所以．
【小問2詳解】
設(shè)，則，，，
在中，由正弦定理，，即，
在中，由正弦定理，，即，
又，兩式作商，得，
即，故，
即，即，
所以，即，
因為，所以，
故，解得，
則，
，
假設(shè)，所以，
又，則，解得．

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