福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（滿分150分，120分鐘完卷）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、座號(hào)、考場(chǎng)、班級(jí)填寫在答題卡上．2．選擇題用2B鉛筆將答案涂在答題卡上，非選擇題將答案寫在答題卡上．3．考試結(jié)束，考生只將答題卡交回，試卷自己保留．一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．）1．已知則（    ）A． B．5 C． D．2．某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的加速度大小為（    ）A．1 B．3 C．6 D．93．如圖長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，如圖所示建系，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．4．曲線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳角，且該點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．若一射線從處開(kāi)始，繞點(diǎn)勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到處為止），所掃過(guò)的圖形內(nèi)部的面積是時(shí)間的函數(shù)，的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（    ）A．  B．C．  D．6．在三棱錐中，，向量與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．07．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（    ）A． B．C． D．8．懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形如圖，在工程中（如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜）有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時(shí)，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線，直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，我們可構(gòu)造出雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．是偶函數(shù)B．值域?yàn)?/span>C．曲線上任意一點(diǎn)切線的斜率均大于0D．曲線上任意一點(diǎn)函數(shù)值的平方與該點(diǎn)切線斜率的平方之差均為1二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，漏選得2分，選錯(cuò)得0分．）9．下列式子正確的是（    ）A． B．C． D．10．如圖正方體中，為正方形的中心，分別為的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．平面  B．C．  D．平面11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為212．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是（    ）A． B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．14．已知平面內(nèi)有三點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）15．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則關(guān)于的不等式的解集為________．16．若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程。）17．（10分）已知向量（1）設(shè)，試判斷與是否平行；（2）求在方向上的投影長(zhǎng)。18．（12分）易拉罐可視為圓柱體（包含上底面）。其表面積為定值，設(shè)其底面半徑為，體積為（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求其定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值。并求此時(shí)圓柱體的高（用表示）。19．（12分）如圖所示，在正方形中，，連接，將沿線段翻折成，使平面平面（1）求異面直線與所成的角；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．20．（12分）已知函數(shù)在時(shí)取得極小值為（1）求的值；（2）令，證明：．21．（12分）如圖在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大．22．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若使得，證明：．福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1．D  2．C  3．B  4．C  5．D  6．B  7．A  8．C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9．CD  10．AC  11．ABC  12．BD12題解析：函數(shù)在上單調(diào)遞減對(duì)于A，由得，即，又，則，錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，即，正確；對(duì)于C，由得，即，即，即，即，因?yàn)?/span>不成立，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，即，即，即，因?yàn)?/span>成立，所以正確．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（或）  14．  15．  16．16題解析：曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，整理得，曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，整理得，因?yàn)榇嬖诠芯€，所以有：，，由（1）得：，由（2）得：，由（1），（2）整理得即該方程有解，記，即，則，記，由得或，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；結(jié)合圖象知：四、解答題17．解：（1）所以與平行（2）在方向上的投影長(zhǎng)18．解：（1）由得，則體積由得，定義域?yàn)?/span>．（2），由得當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表所示：+0-遞增極大值遞減所以時(shí)，取得最大值此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓柱體的高為19．解：取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面又正方形中，，即所以平面．如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正半軸建立空直角坐標(biāo)系．由已知得：,設(shè)與所成角為，則又，則．（2）設(shè)平面的法向量由，得令，則，所以設(shè)平面的法向量由，則令，則所以則設(shè)平面與平面所成角為，則．20．解：（1）由得解得經(jīng)檢驗(yàn)知：當(dāng)時(shí)在時(shí)取得極小值為（2）由（1）知，則記，由得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以在上有唯一零點(diǎn)即存在唯一使得．且時(shí)即在單調(diào)遞減；時(shí)即在上單調(diào)遞增所以又由得，所以又在單調(diào)遞減所以，即21．解：（1）證明：在直三棱柱中，平面側(cè)面為正方形，則又且，則，又且平面，則平面則如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正半軸建立空直角坐標(biāo)系則則所以，即（2）設(shè)平面的法向量由（1）知則即令，得設(shè)與平面所成角為，又所以當(dāng)時(shí)，取最小值，即取得最大值．所以當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大．22．（1）解：函數(shù)定義域?yàn)?/span>①時(shí)，由得，解得；由得，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②時(shí)，由得，解得；由得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，下證“”：要證，即證根據(jù)的單調(diào)性，即證，即證，又，即證，記，即證（*）又．，即在上單調(diào)遞減，所以，即（*）成立，所以成立．下證“”：法一：由得：，即，令，則，整理得．要證，即證，即證，即證，即證，又，即證記因?yàn)?/span>，又，所以在單調(diào)遞減，所以即（*）成立，所以成立．法二：時(shí)，因?yàn)?/span>且所以在點(diǎn)處的切線為下面證，即證令則，則則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以．所以由得，要證，即證，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>故只要證即證即因?yàn)?/span>，所以，所以法三：不妨設(shè)，由圖知又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增所以在為凹函數(shù)（或下凸型函數(shù)）易知的極小值點(diǎn)為，即連接，得的方程為設(shè)由圖知要證，即證，又，即證令，即證在成立（*）因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以所以在單調(diào)遞增，所以，（*）成立所以不等式成立．所以成立．

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