命題學(xué)校：元濟(jì)高級中學(xué) 命題老師：魏侹路 審卷老師：李慧華
總分150分 考試時(shí)間120分鐘
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知平行四邊形中，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．0C．1D．2
3．在中，角所對的邊分別是，若，則是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．已知軸截面是正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．B．C．D．
6．任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的平面向量所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記為．那么（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)是同一個(gè)半徑為5的球的球面上四點(diǎn)，是斜邊為8的直角三角形，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．64C．D．128
8．某人的正北方有一座高塔，此時(shí)測得塔頂?shù)难鼋菫椋S后此人沿北偏東的方向前進(jìn)20米，再測得塔頂?shù)难鼋菫椋敲矗巳嗽谛羞M(jìn)過程中距離塔頂?shù)淖罱嚯x為（ ）（人的身高忽略不計(jì)）
A．B．C．20D．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的虛部為B．
C．在復(fù)平面內(nèi)與對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．
10．在中，角所對的邊分別是，已知，且該三角形僅有唯一解，則可能的取值有（ ）
A．1B．C．D．
11．已知點(diǎn)為邊長為2的正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，則可能的取值是（ ）
A．0B．4C．8D．12
12．如圖，已知三棱錐滿足在底面的投影為的內(nèi)心，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
（第12題圖）
A．B．C．D．
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13．一個(gè)菱形的邊長為4，一內(nèi)角為，若用斜二測畫法畫出其直觀圖，則該直觀圖的面積為______．
14．設(shè)復(fù)數(shù)，則______．
15．在凸四邊形中，已知，則的長為______．
16．已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是______．
四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分）
17．（本題滿分10分）已知向量．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
18．（本題滿分12分）如圖，為正方體的棱的中點(diǎn)．
（第18題圖）
（1）求證：平面；
（2）求直線與所成角的余弦值．
19．（本題滿分12分）在①，②，
③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成解答．
在中，角所對的邊分別是，且______．
（1）求角的大??；
（2）若，求的最小值．
20．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，
．
（第20題圖）
（1）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；
（2）若二面角的平面角為，求點(diǎn)到平面的距離．
21．（本題滿分12分）豐義村位于海鹽縣通元鎮(zhèn)，在村民的共同努力下近年來先后獲得“浙江省新時(shí)代美麗鄉(xiāng)村精品村”和“全國鄉(xiāng)村治理示范村”稱號，完成了從傳統(tǒng)自然村落到網(wǎng)紅景區(qū)村的華麗變身．目前村里有一塊三角形區(qū)域待開發(fā)使用，其中（單位：百米）．現(xiàn)規(guī)劃于該區(qū)域中建造一座觀景亭，始終滿足．
（第21題圖）
（1）求區(qū)域的最大面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）若打算從觀景亭出發(fā)鋪設(shè)三條垂直到達(dá)區(qū)域邊界的景觀道，其中到達(dá)邊界的景觀道造價(jià)為1百元/米，到達(dá)邊界的景觀道造價(jià)為百元/米．目前村委會(huì)籌集到2萬元項(xiàng)目資金，問：這部分資金能否保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工？
22．（本題滿分12分）如圖，在三棱臺(tái)中，．
（第22題圖）
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求三棱臺(tái)的體積．（注：，其中是高，分別是上下底面面積．）
浙東北聯(lián)盟（ZDB）2022－2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試
高一數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
A B A D A B C D
二、多項(xiàng)選擇題（本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
BCD AD ABC BCD
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分）
17．（本題滿分10分）
解：（1），故由解得．
（2）由得，解得．
18．（本題滿分12分）
證：（1）連接與交于點(diǎn)，連接．
顯然為的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>（2）由（1）可知即為直線與所成角，
在中容易解得．
19．（本題滿分12分）
解：（1）選①；
選②；
選③．
（2）由可得．
根據(jù)余弦定理有，因此的最小值為2．
20．（本題滿分12分）
解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接．
根據(jù)已知長度易證得．
因?yàn)?，所以，故平面?br>（2）因?yàn)?，故即為二面角的平面角?br>取中點(diǎn)，連接，易證平面．
計(jì)算可知，故．
在中易得，又，則
記到平面的距離為，由
可求得．
21．（本題滿分12分）
解：（1）記，則（百米）．
（2）此時(shí)，
在中，．
（3）易得，
記造價(jià)為萬元，則
，（時(shí)取到最大值）
故這部分資金可以保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工．
22．（本題滿分12分）
解：（1）證明：根據(jù)已知條件容易求得．
取中點(diǎn)，連接，則，故平面．
由三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以．
（2）由三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角．
由平面可知平面平面，作，連接，則即為直線與平面所成角．
在中，，余弦定理可得，
故，
，故直線與平面所成角的正弦值為．
（3）取中點(diǎn)，連接，則易證面面，故面時(shí)，到平面距離最大．
可以算得，
故．

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