湖北省武漢市重點中學(xué)5G聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)向量，，且，則（）
A. 1B. C. 1或D. 或3
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即可.
【詳解】因為，
所以，解得或.
故選：C.
2. 已知水平放置四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)斜二測畫法的公式，畫出復(fù)原圖即可求解.
【詳解】因為，，取的中點為坐標(biāo)原點，以為建立坐標(biāo)系如左圖，
因為斜二測直觀圖為矩形，，，
則，
可得原圖中（右圖），，，
所以四邊形的面積為.
故選：B.
3. 已知向量，，則向量和向量夾角的正弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的夾角公式求出，再根據(jù)平方關(guān)系求出正弦值.
【詳解】因為向量，，
所以，
因為，
所以，
所以向量和向量夾角的正弦值為，
故選：D.
4. 在中，角的平分線交于，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等面積法結(jié)合二倍角公式求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
因為，
所以，
即，
又，所以，所以，
所以，
所以.
故選：B.
5. 法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，（，）則．設(shè)，則的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)題意化簡即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，由，
可得
.
故虛部為.
故選：C
6. 圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(，，三點共線)處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是15°和60°，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得，再在三角形中，運用正弦定理可得，再解直角三角形，計算可得所求值．
【詳解】解：在直角三角形中，．
在中，，，
故，
由正弦定理，，
故．
在直角三角形中，．
故選：D．
7. 已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先確定向量、所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.
詳解】設(shè)，
則由得，
由得
因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.
【點睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.
8. 已知，，，為球面上四點，，分別是，的中點，以為直徑的球稱為，的“伴隨球”，若三棱錐的四個頂點在表面積為的球面上，它的兩條邊，的長度分別為和，則，的伴隨球的體積的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出三棱錐的外接球半徑，求出，進(jìn)一步求出的范圍，從而得出答案即可．
【詳解】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
則，所以球的半徑為，
則球的兩條弦的中點為，
則，
即弦分別是以為球心，半徑為3和2的球的切線，
且弦在以為球心，半徑為2的球的外部，
的最大距離為，最小距離為，
當(dāng)三點共線時，分別取最大值與最小值，
故的伴隨球半徑分別為，
半徑為時，的伴隨球的體積為，
當(dāng)半徑為時，的伴隨球的體積．
∴的伴隨球的表面積的取值范圍是．
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由三棱錐外接球半徑，求出是解題的關(guān)鍵．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，，則（）
A. 為純虛數(shù)
B. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限
C. （注意：表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)）
D. 滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線
【答案】AD
【解析】
【分析】借助復(fù)數(shù)的加減、乘除運算法則，復(fù)數(shù)的幾何意義與共軛復(fù)數(shù)的定義逐項判斷即可得.
【詳解】對A：，故為純虛數(shù)，故A正確；
對B：，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在軸正半軸上，故B錯誤；
對C；，
，故，故C錯誤；
對D：令，，則由可得：
，即，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為軸，故D正確.
故選：AD.
10. 如圖（1）是一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點，如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖（2））．下列四個命題中，正確的有（）
A. 正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B. 在圖1容器中，若往容器內(nèi)再注入升水，則水面高度是容器高度的
C. 將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點
D. 任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱和棱錐的體積公式，以及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】設(shè)圖（1）中水的高度為，幾何體的高度為，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，
可得圖（2）中水的體積為，
對于A中，由，解得，所以A錯誤；
對于B中，若往容器內(nèi)再注入升水，即，
則水面上升的高度為，
所以水面的高度為，所以B正確；
對于C中，由水的體積為，
容器的體積為，所以，
當(dāng)容器側(cè)面水平放置時，點點在長方體中截面上，
中截面將容器內(nèi)的空間分為體積相等的兩部分，結(jié)合題意水面也恰好經(jīng)過點，所C正確.
對于D中，如圖所示，當(dāng)水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，
因為四棱錐的高為，幾何體的高度為，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，
可得，由，可得，可得，
所以的體積為，
可得水的體積為，此時，矛盾，所以D不正確.
故選：BC.
11. 在銳角中，設(shè)，，分別表示角，，對邊，，，則下列選項正確的有（）
A.
B. 的取值范圍是
C. 當(dāng)時的外接圓半徑為
D. 若當(dāng)變化時，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由對進(jìn)行化簡得，在利用正弦定理可以推出；再由為銳角三角形化簡出的取值范圍，且根據(jù)正弦定理化簡出可判斷出的取值范圍；同樣根據(jù)，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圓半徑；由的取值范圍，且對進(jìn)行化簡得，且，當(dāng)取到最大值時轉(zhuǎn)化成求出的取值范圍.
【詳解】對于A：，且，即，
由正弦定理得：，
即，
或（舍去），
，故A正確；
對于B：由正弦定理，
則，
為銳角三角形，則，即，
，所以，故B不正確；
對于C：且，
，所以，
由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；
對于D：
，且，
，即；
要使得有最大值，即有最大值，
此時，當(dāng)有最大值時，即時，
有最大值為，此時，
，又，
，，
∴的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題B選項的關(guān)鍵是利用正弦定理得到，再求出角的范圍即可判斷；D選項的關(guān)鍵是充分利用輔助角公式得到其范圍.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在等腰梯形中，，，，，則______．（用向量，表示）
【答案】
【解析】
【分析】如圖，由，即可得解.
【詳解】
如圖，
.
故答案為：
13. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的加減法運算化簡即可得解.
【詳解】設(shè)，
由，得，
所以，解得（舍去）
所以.
故答案為：.
14. 已知中，點、分別是重心和外心，點為邊中點，且，，則邊的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】由數(shù)量積的定義得出外心滿足性質(zhì)：，，由中線向量性質(zhì)，再由數(shù)量積的運算得出，利用平方后求得，然后利用余弦定理即可得長．
【詳解】如圖，連接，作于，則是的中點，，
，
同理，
，
，
所以，
又，
即，，
所以，即，
由余弦定理得，
所以.
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由數(shù)量積的定義得出外心滿足性質(zhì)：，，結(jié)合求出是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位，）．
（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合是純虛數(shù)可求的值；
（2）結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式，表示出，利用二次函數(shù)的知識求解.
【小問1詳解】
若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，所以.
【小問2詳解】
由（1）得，，
因為是開口向上的拋物線，有最小值,
所以.
16. 已知，，且，，與的夾角為45°．，．
（1）求的值；
（2）若向量，的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若四邊形為梯形，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）將平方開根號即可；
（2）由向量，的夾角為銳角，可得且向量，不共線，先根據(jù)求出范圍，再排除向量，共線時的值即可；
（3）根據(jù)平面向量共線定理分別求出和時的值，即可得解.
【小問1詳解】
，
；
【小問2詳解】
因為向量，的夾角為銳角，
所以且向量，不共線，
由，得，
即，解得，
若向量，共線，則存在唯一實數(shù)，使得，
即，所以，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；
【小問3詳解】
，
，
若，則存在唯一實數(shù)，使得，
即，
所以，解得，
若，則存在唯一實數(shù)，使得，
即，
所以，解得，
綜上所述，，不同時成立，
所以四邊形為梯形，的值為或.
17. 已知正四面體的棱長為3，，，過點作直線分別交，于，．設(shè)，（）．
（1）求的最小值及相應(yīng)的，的值；
（2）在（1）的條件下，求：
①的面積；
②四面體的內(nèi)切球的半徑．
【答案】（1）的最小值為，此時
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）將用表示，再根據(jù)三點共線，可得的系數(shù)之和為，再根據(jù)基本不等式即可得解；
（2）①利用余弦定理分別求出，進(jìn)而可求出三角形的面積；
②先求出四面體四個三角形面的面積，再利用等體積法求解即可.
【小問1詳解】
由，
得，
又，所以，
又，，
所以，
因為三點共線，所以，即，
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為，此時；
【小問2詳解】
①由（1）得，，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
所以；
②，
，
外接圓的直徑為，
所以三棱錐的高為，
也即三棱錐的高為，
所以，
設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，
則，解得，
所以四面體的內(nèi)切球的半徑為.
18. 如圖1，設(shè)半圓的半徑為2，點、三等分半圓，點、分別是、的中點，將此半圓以為母線卷成一個圓錐（如圖2）．在圖2中完成下列各題：
（1）求在圓錐中的線段的長；
（2）求四面體的體積；
（3）求三棱錐與三棱錐公共部分的體積．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出圓錐的底面圓半徑，再利用正弦定理求出，進(jìn)而可得出答案；
（2）根據(jù)求解即可；
（3）連接交于點，連接并延長交于點，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，再確定點的位置即可得解.
【小問1詳解】
在圖中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，
則，解得，
因為在圖1中，點、三等分半圓，
所以在圖中，點、為圓錐的底面圓周的三等分點，
所以為等邊三角形，
所以，所以，
又因為點、分別是、的中點，
所以；
【小問2詳解】
，圓錐的高，
所以，
所以，
即四面體的體積為；
【小問3詳解】
連接交于點，連接并延長交于點，
則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，
因為點、分別是、的中點，
所以為的中點，且，
所以，
所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為．
【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：
（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；
（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
19. 在中，設(shè)，，分別表示角，，對邊．設(shè)邊上的高為，且．
（1）把表示為（，）的形式，并判斷能否等于？說明理由．
（2）已知，均不是直角，設(shè)是的重心，，，求的值．
【答案】（1）；能，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，可得，代入即可，再利用輔助角公式化簡，即可求最值．
（2）連結(jié)并延長交于E，作于D，則，在中，表示出可求得.
【小問1詳解】
∵，∴，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值．
如圖, 設(shè)為等腰直角三角形，即滿足,
過作的平行線, 由平面幾何的知識得，
在平行線上存在一點,使得滿足，
故存在，當(dāng)時
【小問2詳解】
如圖：連結(jié)并延長交于E，作于D，
因為，所以，
因為是的重心，所以，
因為,所以D與E不會重合，
所以，
在中，E是的中點，則，
所以，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)是的重心，，此題中主要用法是，從而得到的長，在此基礎(chǔ)上還可以根據(jù)中線長的解決方法得到.

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