考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．設(shè)全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“關(guān)于的不等式成立”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不
3．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，則的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．若數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，的方差為（ ）
A．B．C．D．
5．為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學生到3個學校進行支教活動，每個學校至少安排1人，其中甲校要安排2名大學生，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．30B．60C．90D．120
6．已知某校有2400名同學參加某次模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布，則下列說法正確的有（ ）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③
A．這次考試成績超過100分的約有1000人
B．這次考試分數(shù)低于70分的約有40人
C．
D．從中任取4名同學，至少有2人的分數(shù)超過100分的概率為
7．函數(shù)，若，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，當時，
，若，則（ ）
A．1011B．C．D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9．考慮兩個變量和的樣本數(shù)據(jù)集，其樣本相關(guān)系數(shù)通過以下公式給出：
其中，和分別是和的第個樣本值，和分別是和的樣本均值。
下列關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)公式各部分的陳述正確的是（ ）
A．分母中的和是和的標準差。
B．分子部分用于衡量兩個變量之間變化趨勢的一致性，即分子為正值時表示變量之間正相關(guān)，分子為負值時表示變量之間負相關(guān)。
C．樣本相關(guān)系數(shù)的值越接近于0，表示和之間的線性關(guān)系越強。
D．通過對分子部分進行標準化處理，樣本相關(guān)系數(shù)能夠消除變量的度量單位的影響，使得不同數(shù)據(jù)集之間的相關(guān)性能夠進行直接比較。
10．已知函數(shù)的定義域為，若，則以下一定成立的是（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．在上是增函數(shù)
11．設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（ ）
A．B．
C．D．
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知的展開式中的系數(shù)為80，則________．
13．已知正數(shù)，滿足且有解，則實數(shù)的取值范圍是________．
14．已知實數(shù)為函數(shù)的零點，為函數(shù)的零點，則________．
四、解答題：本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知函數(shù)
（1）若不等式的解集為，求，的值；
（2）當時，若方程的兩個不相等的實根為，，求的取值范圍．
16．（15分）李醫(yī)生家在小區(qū)，他在醫(yī)院工作，從家開車到醫(yī)院上班有，兩條路線（如圖），路線上有，，三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為，；路線上有，兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．
（1）若走路線且，求最多遇到1次紅燈的概率；
（2）若走路線，求遇到紅燈次數(shù)的分布列及數(shù)學期望；
（3）按照“平均遇到紅燈的次數(shù)最少”的要求，請你幫助李醫(yī)生分析，選擇，哪條路線上班更好．
17．（15分）生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內(nèi)部的一個調(diào)節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質(zhì)醇）在一天中的分泌量會隨著時間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認知能力．假設(shè)人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時間（單位：小時，以午夜0點為起點）的關(guān)系可以通過以下分段函數(shù)來描述：
●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數(shù)．
●在早晨，隨著人醒來和太陽升起，荷爾蒙分泌量線性增加，其關(guān)系為，當時，分泌量達到最大值
●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數(shù)衰減模型描述，即．
已知午夜時荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為
（1）求參數(shù)，和的值以及函數(shù)的解析式；
（2）求該同學一天內(nèi)荷爾蒙分泌量不少于的時長．
18．（17分）已知函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求的值；
（2）若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；
（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
19．（17分）假設(shè)通過簡單隨機抽樣得到和的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，
課本中給出統(tǒng)計量計算公式如下：
此處我們把列聯(lián)表中的，，，稱為觀察頻數(shù)，記作，（例如，），
把，，，稱為期望頻數(shù)，記作，
即第i行的頻數(shù)和乘以第j列的頻數(shù)和與頻數(shù)總和的商．（例如，）．則我們可以將卡方統(tǒng)計量的計算公式寫成以下更為一般的形式：
（Σ表示對后面的代數(shù)式求和）
根據(jù)以上信息，假設(shè)一項研究旨在分析不同教學方法對學生數(shù)學成績的影響。研究中采用了三種不同的教學方法：傳統(tǒng)方法、在線學習和互動式學習。學生根據(jù)他們的成績被分為三個級別：低、中、高，用頻率估計概率。研究結(jié)果如下表所示：
（1）已知在“傳統(tǒng)方法”中，參加數(shù)學興趣小組的同學按照成績“低”、“中”、“高”的分別占對應(yīng)人數(shù)的、、，求“傳統(tǒng)方法”中參加數(shù)學興趣小組同學的概率．
（2）（i）求，；
（ii）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析這三種教學方法對學生數(shù)學成績影響是否存在顯著差異．
參考數(shù)據(jù)：
2023學年第二學期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考
高二年級數(shù)學學科參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．B 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9．BD 10．AC 11．ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．2 13． 14．
四、解答題：本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）【答案】（1），（2）
【詳解】（1）原不等式可化為，因為該不等式的解集為，
可知的兩根為和3，2分
則，即，解得；所以，．6分
（2）方程有兩根，
，解得或，
又，．7分
由韋達定理：，
所以
10分
令，，
在上單調(diào)遞增，所以
13分
16．（15分）解：（1）設(shè)“走路線最多遇到1次紅燈”為事件，
則，所以走路線最多遇到次紅燈的概率為．3分
（2）依題意，知的所有可能取值為0，1，2．4分
，，，
故隨機變量的分布列為
分（每求對一個概率給1分）
所以．9分
（3）設(shè)選擇路線遇到紅燈的次數(shù)為，則，所以．12分（指出二項分布1分，算對期望2分）
若，則，，選擇路線上班更好；
若，則，，此時選擇路線上班更好；
若，則，此時選擇路線和路線一樣．15分（每答對一種情況給1分）
17．（15分）（1）根據(jù)題意得，午夜時荷爾蒙分泌量，2分
荷爾蒙分泌量滿足關(guān)系式：
當時，分泌量達到峰值即，即
解得：4分
因此，早晨時段的荷爾蒙分泌量關(guān)系為．
在下午和晚上時段，荷爾蒙分泌量滿足：
所以；解得6分
所以荷爾蒙分泌量為
綜上，荷爾蒙分泌量的函數(shù)關(guān)系為
8分
（2）①當時，
解得，所以10分
②當時，，
，
， 13分
綜上所述，14分
該同學一天之內(nèi)荷爾蒙分泌不少于的時長為10個小時。15分
18．（17分）（1），
由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，1分
即，即，
即恒成立，．3分
（2）已知函數(shù)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，5分
由第（1）問可得，因此
不妨設(shè)，，且
則6分
8分
因為，因此，由因為，，因此，所以故，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．10分
（3）由題得恒成立，即恒成立，
因為，所以，所以恒成立，12分
令，令，則，
因為在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．15分
．
對任意的恒成立，且，
．
實數(shù)的取值范圍是．17分
（利用根的分布求解酌情給分）
19．（17分）
解：記“傳統(tǒng)式學習方法中成績級別為低的同學概率”為事件A，
“傳統(tǒng)式學習方法中成績級別為中的同學概率”為事件B，
“傳統(tǒng)式學習方法中成績級別為高的同學概率”為事件C，
“傳統(tǒng)式學習方法中參加數(shù)學興趣小組同學的概率”為事件D．
則， ，．3分（每個1分）
6分
（2），8分
10分
ii．， ，
，，
，，
，
，
，，
，，
，，；
16分
（注：以上九個數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)一個正確就給2分，出現(xiàn)兩個正確就給4分，比較卡方的值大于9.49再給2分）
所以這三種教學方法對學生數(shù)學成績影響存在顯著差異．17分
合計
合計
教學方法\成績級別
低
中
高
總計
傳統(tǒng)方法
20
30
50
100
在線學習
35
45
20
100
互動式學習
25
15
60
100
總計
80
90
130
300
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
7.78
9.49
11.14
13.28
14.86
0
1
2

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