2022學(xué)年第二學(xué)期環(huán)大羅山聯(lián)盟期中考試高二數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本試題卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 設(shè)全集為，集合， 則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出 ，進(jìn)而由交集的定義分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意， ，則 .故選：A.2. 已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（    ）A.  B.  C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】設(shè)，代入，得，從而得，再將代入計(jì)算即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，代入，得，解得，所以，所以.故選：C.3. 己知隨機(jī)變量,則等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)函數(shù)的對(duì)稱性和得,則求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量,所以,所以.故選:C.4. 2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（    ）A 12種 B. 24種 C. 64種 D. 81種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理求解即可．【詳解】由題意，可知每一人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．5. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)圖像的特征，如函數(shù)（）的圖像不可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，分類，和三種情況分類討論，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)且，圖象如選項(xiàng)B中的圖象；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，此時(shí)選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，可得，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D符合題意.故選：A.6. 在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則（    ）A 45 B. 60 C. 72 D. 96【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由于的展開式為，且的展開式，記項(xiàng)的系數(shù)為，所以，，故.故選：D7. 為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第球投進(jìn)的概率為，則他第球投進(jìn)的概率為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用全概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進(jìn)與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進(jìn)行計(jì)算.8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,滿足,且時(shí),.若,都有,則的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)推得其解析式,作出其大致圖象,數(shù)形結(jié)合,求解不等式,即可確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,因?yàn)?/span>,且時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,所以;因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),,所以;所以,得,由此做出函數(shù)圖像得:  當(dāng)時(shí),,解得或,結(jié)合圖像得的解為:或,因?yàn)?/span>,都有,所以.故選:B.二、選擇題（（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 設(shè)M、N是兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)是否互斥判斷即可；對(duì)B，舉反例判斷即可對(duì)CD，根據(jù)條件概率的公式判斷即可【詳解】對(duì)A，當(dāng)不互斥時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)為對(duì)立事件時(shí)，，則不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，根據(jù)條件概率的公式可得成立，故C正確；對(duì)D，根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合C選項(xiàng)可得成立，故D正確；故選：CD10. 已知隨機(jī)變量，則（    ）（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷AD；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算可判斷AB.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，故A錯(cuò)誤；，故D正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，故B錯(cuò)誤；，故C正確；故選：CD.11. 已知，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 【答案】ACD【解析】【分析】令求出的值，即可得到或，再根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論，分別計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，若，則或，解得或，因?yàn)?/span>，所以或，所以或或或，解得或或.故選：ACD12. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、B，構(gòu)造函數(shù)，利用特殊值判斷C，利用和差化積公式判斷D．【詳解】對(duì)于A：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”， 故A正確，對(duì)于B：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”， 故B正確，對(duì)于C：，，，當(dāng)、，此時(shí)，而，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D：，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：ABD．非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若,則=__________.【答案】【解析】【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的值.【詳解】,,..故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14. 已知隨機(jī)變量的分布列如表：012mn若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列和兩個(gè)信息，可求出，得值，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】，①，又②，聯(lián)立①②得，所以，則．故答案為：．15. ，，，，，，6名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若不站在兩端，和必須相鄰，則不同的排列方式共有_________種．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算和相鄰的排法，排除其中站在兩端的排法，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由于和相鄰，把和看成一個(gè)元素，與其他個(gè)人全排列，有種排法，其中站在兩端的排法有種，則有種符合題意的排法．故答案為：．16. 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則ab的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由時(shí)，，分析可得，然后求解即可.【詳解】設(shè)，，則，在上為增函數(shù)，且，由于當(dāng)時(shí)，，若，則，，即恒成立，顯然不可能；所以，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17. 已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）    （2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】【分析】（1）依題意可得，解得即可；（2）由求出參數(shù)的值，即可得到的解析式，從而得到其對(duì)稱軸與開口方向，從而得到其單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，．若不等式的解集為空集，則，解得，所以的取值范圍是；【小問2詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，即，則，解得，所以，對(duì)稱軸為，開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．18. 已知在的展開式中，前項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，且滿足．（1）求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開式中所有有理項(xiàng)．【答案】（1）    （2）和    （3）和【解析】【分析】（1）由條件先求出，利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果即可；（2）寫出展開式的通項(xiàng)，記第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，且，由此可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）令的冪指數(shù)為整數(shù)，求得的值，即可求得展開式中的有理項(xiàng)．【小問1詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，，，，，，，則，，，因?yàn)?/span>，即，解得或（舍去），所以二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為；【小問2詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為（且），記第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，且，即，解得，又，所以或，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)；【小問3詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為（且），令，且，則或，所以展開式中有理項(xiàng)為和.19. 為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷．某校組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)紅色革命根據(jù)地建立時(shí)間的問題，已知甲回答正確這道題的概率為，甲、丙都回答正確這道題的概率是，乙、丙都回答正確這道題的概率是．若每位同學(xué)回答這道題是否正確是互不影響的．（1）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問題，求甲、乙、丙中至少1名同學(xué)回答正確的概率；（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，乙搶到的概率為，丙搶到的概率為，求這個(gè)問題回答正確的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別計(jì)算出甲，乙，丙答對(duì)這道題的概率，再由對(duì)立事件概率計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，得到三人答對(duì)這道題的概率之和，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】記甲，乙，丙三人獨(dú)自答對(duì)這道題分別為事件，則甲，乙，丙三人答對(duì)這道題的概率為，由于每人回答問題正確與否是相互獨(dú)立的，因此事件是相互獨(dú)立事件，由題意可得，，，則，且，則，則甲、乙、丙中至少1名同學(xué)回答正確的概率為.【小問2詳解】由題意可得，這個(gè)問題回答正確的概率為.20. 已知函數(shù)．當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則稱函數(shù)是函數(shù)的“伴隨”函數(shù)．（1）解關(guān)于x的不等式；（2）對(duì)任意的的圖像總在其“伴隨”函數(shù)圖像的下方，求a的取值范圍：（3）設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的最大值．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由求解，即可得到結(jié)果；（2）由題意得的相關(guān)函數(shù)為，根據(jù)題意得到時(shí)，恒成立求解；（3）根據(jù)題意，易得，設(shè)，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.【小問1詳解】依題意得，則，所以，所以原不等式的解集為．【小問2詳解】由題意得，所以，所以的“伴隨”函數(shù)為．依題意，對(duì)任意的，的圖像總在其“伴隨”函數(shù)圖像的下方，即當(dāng)時(shí)，恒成①．由，對(duì)任意的總成立，結(jié)合題設(shè)條件有，在此條件下，①等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，即，即．設(shè)，要使當(dāng)時(shí)，恒成立，只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范圍是．【小問3詳解】由（2）可得當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，即．設(shè)，則．令，則，所以，因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），可得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，滿足，則的最大值為，所以的最大值是．21. 孔子曰：溫故而知新，可以為師矣．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此，為了調(diào)查“數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀”與“是否及時(shí)復(fù)習(xí)”之間的關(guān)系，某校志愿者從高二年級(jí)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下樣本數(shù)據(jù)： 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（人數(shù)）數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀（人數(shù)）及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)）246不及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)）822 （1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)系？（2）在該樣本中，用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取3人中及時(shí)復(fù)習(xí)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．臨界值參考表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式，其中）【答案】（1）可以認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)，理由見解析    （2）分布列見解析，【解析】分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，然后分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率，即可得到分布列與期望.【小問1詳解】設(shè)表示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與及時(shí)復(fù)習(xí)沒有關(guān)聯(lián)，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣可得，選取的8人中，及時(shí)復(fù)習(xí)人，不及時(shí)復(fù)習(xí)人，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：123所以的期望.22. “函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．（1）求值；（2）設(shè)函數(shù)．（i）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）    （2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)稱性，得到，進(jìn)而分別令，和，即可求解；（2）（i）利用分式函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可得證；（ii）先求得的值域?yàn)?/span>，設(shè)的值域?yàn)?/span>，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，分離討論求得函數(shù)在上的最值，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，即，則.【小問2詳解】解：（i）由函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，若對(duì)任意，總存在，使得成立，等價(jià)于,當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性知在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又由，所以，則，所以，因?yàn)?/span>，可得，解得，因?yàn)?/span>，此時(shí).②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，結(jié)合對(duì)稱性，可得或，因?yàn)?/span>，可得，又，所以，即當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，又由，因?yàn)?/span>，則，此時(shí)滿足，所以當(dāng)時(shí)，成立.③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱性知在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，且，則，所以，因?yàn)?/span>，可得，解得，綜上可得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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