注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版選擇性必修第三冊第七章占,選擇性必修第一、二冊,選擇性必修第三冊第六章占。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.300的不同正因數(shù)的個數(shù)為
A.16B.20C.18D.24
2.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則
A.15B.35C.75D.105
3.已知函數(shù)在處可導(dǎo),若,則
A.22B.11C.-22D.-11
4.泊松分布的概率分布列為,其中為自然對數(shù)的底數(shù),是泊松分布的均值.若隨機變量服從二項分布,當(dāng)很大且很小時,二項分布近似于泊松分布,其中,即.現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01,抽檢100個該種元件,則次品率不超過的概率約為(參考數(shù)據(jù):)
A.B.C.D.
5.設(shè)拋物線的焦點為,點在上,,若,則
A.B.14C.D.
6.高爾頓釘板是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計的,如圖,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間,從入口處放進(jìn)一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球,白色圓玻璃球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釣子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子,如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的一個格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個白色圓玻璃球,記白色圓玻璃球落入格子的編號為,則隨機變量的期望與方差分別為
A.B.2,1C.3,1D.
7.河北省滄州市渤海新區(qū)中捷產(chǎn)業(yè)園區(qū)是典型的鹽堿地區(qū),面對鹽堿地改造成本高、維護難的現(xiàn)實,農(nóng)技人員從“以種適地”角度入手,近年來相繼培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種,畝產(chǎn)量大幅提高,有力促進(jìn)農(nóng)民收入增長,帶動農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展.現(xiàn)有四塊鹽堿地,計劃種植“捷麥19”和“捷麥20”這兩種旱堿麥,若要求這兩種旱堿麥都要種植,每塊鹽堿地種植一種旱堿麥,則不同的種植方案共有
A.18種B.16種C.14種D.12種
8.已知,則
A.722B.729C.-7D.-729
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知隨機變量,隨機變量,若,則下列結(jié)論正確的是
A.B.
C.若,則D.若,則
10.在空間直角坐標(biāo)系中,已知,則
A.B.直線PB與平面PCD所成角的正弦值為
C.從這6個點中選2個點確定一條直線,則有13條不同的直線
D.從這6個點中選3個點確定一個平面,則有20個不同的平面
11.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若滿足,且,則下列結(jié)論正確的是
A.在上單調(diào)遞增B.不等式的解集為
C.若恒成立,則D.若,則
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.三位同學(xué)每人從六個景點中選擇一處游覽,不同的選法種數(shù)是____________.
13.的展開式中的系數(shù)為____________.
14.已知橢圓的離心率為,過的右焦點的直線與交于兩點,與直線交于點,且.則的斜率為____________.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)
已知數(shù)列的首項,且.
(1)證明:是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前項和.
16.(15分)
如圖,在三棱柱中,,點在底面ABC的射影為BC的中點,為的中點.
(1)證明:平面.
(2)求二面角的正弦值.
17.(15分)
已知雙曲線的焦距為,且經(jīng)過拋物線的焦點.記為坐標(biāo)原點,過點的直線與相交于不同的兩點.
(1)求C的方程；
(2)證明：“△OAB的面積為”是“軸”的必要不充分條件.
18.(17分)
已知函數(shù).
(1)求的極值.
(2)已知,且.
①求的取值范圍;
②證明:.
19.(17分)
“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運動,在如圖所示的試驗容器中,容器由三個倉組成,某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達(dá)相鄰倉,且粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達(dá)2號倉的概率為,已知該粒子的初始位置在2號倉.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(2)粒子經(jīng)過4次隨機選擇后,記粒子在1號倉出現(xiàn)的次數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案
1.C因為,所以300的正因數(shù)為,其中,2,所以300的不同正因數(shù)有個.
2.B因為為等差數(shù)列,所以,所以.因為,所以.
3.A因為,所以.
4.B由題意知,則,所以.
因為,
所以次品率不超過的概率約為.
5.D由題意可知,因為,所以.因為拋物線的通徑長為,所以軸,所以.
6.C白色圓玻璃球從起點到進(jìn)入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均為,則向左的次數(shù)服從二項分布.因為,,
所以,.
7.C第一類,先選一塊地種植一種旱堿麥,剩下的三塊地種植另外一種旱堿麥,則不同的種植方案有種;第二類,先選兩塊地種植一種旱堿麥,剩下的兩塊地種植另外一種旱堿麥,則不同的種植方案有種.故不同的種植方案共有種.
8.A設(shè),
則,
所以.
又因為,所以,所以.
9.因為,
所以,故錯誤,正確;
因為,
所以,
因為,所以錯誤;
因為,所以,所以,故D正確.
10.因為,所以,所以,所以,A正確.,,設(shè)平面PCD的法向量為,則,可取,設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為,則,B錯誤.因為三點共線,所以從這6個點中選2個點確定一條直線,則有條不同的直線,C正確.因為五點共面四點共面,所以從這6個點中選3個點確定一個平面,則有個不同的平面,錯誤.
11.BCD因為,所以.
令,則,
所以,所以.因為,所以.
因為,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故A錯誤.因為,所以,故B正確.
若,則.當(dāng)時,恒成立.
當(dāng)時,等價于,即.
令,則,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,故C正確.
若,即.因為在上單調(diào)遞增,且,所以,且,所以,故D正確.
12.216根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的選法有種.
13.的展開式的通項,所以的系數(shù)為.
14.由題意得得,所以的方程為.
設(shè),聯(lián)立得,
則
所以.
易得,則.
由,得,得,即.
故的斜率為.
15.解:(1)因為,所以.…………………………………………3分
因為,所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.………………………………………6分
(2)由(1)知,則,………………………………………………………………7分
所以.……………………………………………………………………8分
記,
則,
兩式相減得……………………………10分
所以,故.……………………………………13分
16.(1)證明:如圖,設(shè)為在底面的射影,連接,則平面ABC.
因為平面ABC，所以……………………………………1分
又為BC的中點,,所以3分
因為平面平面,
∴平面.……………………………………………………………………5分
又為的中點,所以,
∴平面.……………………………………………………………………7分
(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
在三棱柱中,,
所以，………………………………………………8分
則.……………………………9分
由(1)知平面,則是平面的一個法向量,分
因為,且,所以.………………………………11分
設(shè)平面的法向量為,
則即設(shè),得,………………………………13分
所以,則,
所以二面角的正弦值為.……………………………………………………15分
17.(1)解:設(shè)的焦距為2c,則,得.……………………………………………1分
因為拋物線的焦點為,……………………………………………2分
所以………………………………………………………………………………3分
所以.…………………………………………………………………4分
故C的方程為……………………………………………5分
(2)證明:當(dāng)軸時,不妨假設(shè)在第二象限,則分
則,必要性得證.…………………………………………8分
設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得分
由且,得且,……………………………………………………11分
.……………………………………………………………12分,……………………13分
整理得,則當(dāng)或(滿足且)時,均有△OAB的面積為,所以充分性不成立.………………………………………………………………………………………14分
故“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.………………………………15分
18.（1）解：，…………………………………………………………1分
則當(dāng)時,,當(dāng)時,分
所以當(dāng)時,取得極小值,當(dāng)時,取得極大值.…………7分
(2)①解:因為當(dāng)時,,且在和上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,所以的取值范圍為.…………………………………………………………………………………9分
②證明:由(1)可知.………………………………………………………………………10分
令,則,因為,所以,即,解得,…13分
所以,要證,即證.
令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,故成立.…………………………………………………………………17分
19.解:(1)記粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達(dá)1號倉的概率為,粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達(dá)3號倉的概率為,
所以………………………………………………………………………………………4分
得,即,……………………………………………………………………………………………5分
所以,即是公比為的等比數(shù)列.…………………………………6分
又,所以.………………………………………8分
(2)結(jié)合題意易得可取0,1,2,……………………………………………………………………………9分
，………………………………………………………………………10分
,
………………………………………………………13分
所以的分布列為
……………………………………………………………………………………………………………15分
的數(shù)學(xué)期望……………………………………………17分0
1
2

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