數(shù)學(xué)試題2024.04
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知冪函數(shù)圖像過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．1D．9
6．已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
7．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，若是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．4D．6
8．如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長(zhǎng)均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時(shí)平面與平面所成角分別為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（ ）
A．與相互獨(dú)立B．與互斥C．D．
10．已知函數(shù)的部分圖像如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖像交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)在．上單調(diào)遞減．
C．函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對(duì)稱
D．若圓的半徑為，則
11．已知是曲線上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．的最小值為3
B．
C．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則
D．對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在兩點(diǎn)處的切線垂直
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．設(shè)為虛數(shù)單位．若集合，且，則_________．
13．已知軸為函數(shù)圖像的一條切線，則實(shí)數(shù)的值為_________．
14．“序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于或1．設(shè)是一個(gè)有限“序列”表示把中每個(gè)都變?yōu)?，每個(gè)0都變?yōu)?，每個(gè)1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組．例如：，則．定義，若中1的個(gè)數(shù)記為，則的前10項(xiàng)和為_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）
的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且．
（1）求角；
（2）若，求．
16．（15分）
在三棱錐中，平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足平面平面．
（1）求證：；
（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．
17．（15分）
某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí)．
（1）已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值；
（2）該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)（滿分100分）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率，如下表所示：
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計(jì)算得．
（ⅰ）已知某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；
（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差．經(jīng)計(jì)算，求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率．
參考公式與數(shù)據(jù)：①．
②線性回歸方程中，．
③若．隨機(jī)變量，則，
．
18．（17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線與粗圓相切，與圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，求的面積最大時(shí)直線的斜率．
19．（17分）
已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
（2）函數(shù)在區(qū)間上的所有極值之和為，證明：對(duì)于．32
41
54
68
74
80
92
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94

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