一、選擇題
1．下列各組向量中,可以作為基底的是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．在中,,,則( )
A.B.C.D.7
3．已知集合,,則集合的元素個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
4．一組數(shù)據(jù)：155,156,156,157,158,160,160,161,162,165的第75百分位數(shù)是( )
A.161B.160.5C.160D.161.5
5．已知向量,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
6．已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù),并求得其平均數(shù)為70,方差為75,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí),其中得兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤,一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60,另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90,在對(duì)錯(cuò)誤得數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后,重新求得樣本的平均數(shù)為,方差為,則( )
A.,B.,
C.,D.,
7．已知中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若,則是( )
A.等邊三角形B.銳角三角形
C.等腰直角三角形D.鈍角三角形
8．某人用下述方法證明了正弦定理：直線(xiàn)l與銳角的邊,分別相交于點(diǎn)D,E,設(shè),,,,記與方向相同的單位向量為,, ,進(jìn)而得,即：,即：,鈍角三角形及直角三角形也滿(mǎn)足．請(qǐng)用上述方法探究：如圖所示,直線(xiàn)l與銳角的邊,分別相交于點(diǎn)D,E,設(shè),,,,則與的邊和角之間的等量關(guān)系為( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．為了了解某公路段汽車(chē)通過(guò)的時(shí)速,隨機(jī)抽取了200輛汽車(chē)通過(guò)該公路段的時(shí)速數(shù)據(jù),進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間),繪制成頻率分布直方圖,“根據(jù)直方圖,以下說(shuō)法正確的是( )
A.時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè)
B.可以估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65
C.時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07
D.可以估計(jì)汽車(chē)通過(guò)該路段的平均時(shí)速是62km
10．定義運(yùn)算．在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,b,c滿(mǎn)足,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.角B的最大值為D.若,則為鈍角三角形
11．若直線(xiàn)與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)滿(mǎn)足,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．已知函數(shù)其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則___________．
13．已知向量,滿(mǎn)足,,與的夾角為,則在上的投影向量為_(kāi)_________（用坐標(biāo)表示）．
四、雙空題
14．已知平行四邊形的面積為,,且.若F為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________;的最小值為_(kāi)____________.
五、解答題
15．拔尖創(chuàng)新人才是21世紀(jì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的巨大動(dòng)力,培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才也成為世界各國(guó)教育的主要任務(wù)．某市為了解市民對(duì)拔尖人才培養(yǎng)理念的關(guān)注程度,舉辦了“拔尖人才素養(yǎng)必備”知識(shí)普及競(jìng)賽,從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本,將樣本的成績(jī)（滿(mǎn)分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)該市這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù);
（2）已知落在的平均成績(jī),方差,落在的平均成績(jī),方差,求這兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．
16．已知向量,滿(mǎn)足,,．
（1）求與夾角的余弦值;
（2）求;
（3）在平行四邊形中,若,,求平行四邊形ABCD的面積．
17．在①,②兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下列問(wèn)題中,并解決該問(wèn)題,
在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,__________,且,求：
（1）B;
（2）周長(zhǎng)的取值范圍.
18．在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B,C滿(mǎn)足.
（1）求的值;
（2）已知,,,若函數(shù)的最大值為3,求實(shí)數(shù)m的值.
19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn),使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí),使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,設(shè)點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),求;
（3）設(shè)點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),,求實(shí)數(shù)t的最小值．
參考答案
1．答案：C
解析：對(duì)于A(yíng),,不可以作為基底,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,,共線(xiàn),不可以作為基底,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,與為不共線(xiàn)的非零向量,可以作為一組基底,C正確;
對(duì)于D,,共線(xiàn),不可以作為基底,D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．答案：D
解析：在中,
由余弦定理得：,
所以,
故選：D.
3．答案：C
解析：,
,即集合的元素個(gè)數(shù)為3.
故選：C.
4．答案：A
解析：由題意得此組數(shù)據(jù)已從小到大排列,此組數(shù)據(jù)共有10個(gè)數(shù),
所以第75百分位數(shù)位置為,
所以第75百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)161,故A正確.
故選：A.
5．答案：B
解析：時(shí),,不一定是相等或相反向量,
時(shí),,
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
6．答案：D
解析：因?yàn)?因此平均數(shù)不變,即,
設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為,,,
因此,
,
,∴,
故選：D．
7．答案：C
解析： ,由正弦定理可得：,
而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
,即,又,故可得：,．
又,可得,故三角形為等腰直角三角形．
故選：C．
8．答案：D
解析：∵, ,進(jìn)而得,
即,
即,即．
故選：D.
9．答案：AD
解析：對(duì)于A(yíng),,即時(shí)速在的數(shù)據(jù)有40個(gè),故A正確;
對(duì)于B,,
所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設(shè)為,
則,解得,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,時(shí)速在的數(shù)據(jù)的頻率是,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,可以估計(jì)汽車(chē)通過(guò)該路段的平均時(shí)速是,故D正確.
故選:AD.
10．答案：ACD
解析：由可知,整理可知,由正弦定理可知,,從而可知A正確;
因?yàn)闈M(mǎn)足,但不滿(mǎn)足,故B不正確;
B錯(cuò)誤;（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）,
又,B的最大值為,故C正確;
由可得,解得,又,從而可得,,a為最大邊,
,,角A為鈍角,故D正確．
故選：ACD．
11．答案：CD
解析：對(duì)A,因?yàn)槎x域?yàn)镽,
則,,故A錯(cuò)誤;
對(duì)B,由,所以,所以為奇函數(shù),
又直線(xiàn)與函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B,
則A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,
所以,又,,
所以,解得,所以,則,又,
所以,故B錯(cuò)誤;
對(duì)C,又,故C正確;
對(duì)D,不妨設(shè),則,
所以,,
,,
所以
,故D正確.
故選：CD.
12．答案：
解析：根據(jù)題意,,又,故.
故答案為：.
13．答案：
解析：向量在向量上的投影向量是,
故答案為：.
14．答案：①或0.5②.5
解析：因?yàn)?所以,即,
又,所以,
由D,F,E共線(xiàn),則,解得
作,以G為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)且,則,而的面積為,
則,故,
則,
則,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,
故答案為：;5.
15．答案：（1）0.03;眾數(shù)為75分
（2）71,81
解析：（1）由頻率分布直方圖可知,,
該市這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75分.
（2）落在與的人數(shù)比為．
所以,
.
16．答案：（1）
（2）
（3）12
解析：（1）因?yàn)?所以,
又,,所以,
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以．
（3）由（1）知,,
所以,
所以平行四邊形ABCD的面積為．
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）若選①,在中,由,得,
而,則,因此,
所以.
若選②,在中,由,
即,整理得,
由正弦定理得：,由余弦定理得：,
而,所以.
(2)由（1）知,,由正弦定理得,
則
,
由,得,則,即,
因此,又,所以周長(zhǎng)的取值范圍.
18．答案：（1）2;
（2）.
解析：（1）由題意知,,即,
所以,即.
（2）易知,,,
則,,
所以,
令,
則,,其對(duì)稱(chēng)軸方程是.
當(dāng)時(shí),的最大值為,解得;
當(dāng)時(shí),的最大值為,解得（舍去）.
綜上可知,實(shí)數(shù)m的值為.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三個(gè)角都小于,
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：,
設(shè),,,由得：
,整理得,
則.
（3）點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),則,
設(shè),,,,,
則由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,故,
當(dāng)且僅當(dāng),結(jié)合,解得時(shí),等號(hào)成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故實(shí)數(shù)t的最小值為.

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