命題組組長(zhǎng)：聶檢華
考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時(shí)間：120分鐘；
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題（每小題5分，共40分）
1．若函數(shù)，則（ ）
A．B．0C．D．
2．若，則（ ）
A．2B．3C．2或4D．3或4
3．隨機(jī)變量的分布列如表：則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.5D．0.6
4．的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．-20B．5C．15D．35
5．若函數(shù)，則
A．4B．2C．3D．1
6．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有
A．34種B．96種C．48種D．144種
7．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，則從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)合格燈泡的概率是（ ）
A．0.63B．0.24C．0.87D．0.21
8．函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為0.015
B．任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為
D．如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為
11．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C．存在正實(shí)數(shù)，使得成立
D．對(duì)兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，若，則．
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．的展開(kāi)式中的系數(shù)是______.
13．如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路．則電路不通，則因?yàn)楹附狱c(diǎn)脫落而導(dǎo)致電路不通情況有______種．
14．若函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
四、解答題（本題5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．（本題13分）
（1）計(jì)算；
（2）已知，求的值．
16（本題15分）．某學(xué)校的高二年級(jí)有5名數(shù)學(xué)老師，其中男老師3人，女老師2人．
（1）如果任選3人參加校級(jí)技能大賽，所選3人中女老師人數(shù)為，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人參加市級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到也是男老師的概率．
17（本題15分）．已知函數(shù)為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切處的切線方程為．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．
18（本題17分）．甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙公司規(guī)定底薪100元，每日前45單無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)45單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)6元．
（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為（單位：元）與送貨單數(shù)（單位：?jiǎn)?，）的函?shù)關(guān)系式分別為，求的解析式．
（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小歌，并記錄其100天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖：
若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：
①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)為他進(jìn)行選擇，并說(shuō)明理由．
19（本題17分）．設(shè)函數(shù)）且
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求的取值范圍；
（3）已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高二期中三校聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案：
1．B
【詳解】，
所以．故選：B
2．C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以或，故選：C
3．A
4．C
【詳解】由二項(xiàng)式定理：，令，得，
所以項(xiàng)的系數(shù)為；故選：C．
5．D
【詳解】由函數(shù)，
則，
，所以．故選：D
6．B【詳解】試題分析：，故選B．
7．C
【詳解】從某地市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)一個(gè)燈泡，設(shè)買(mǎi)到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A，買(mǎi)到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件B，則由題可知P（A）＝0．7，P（B）＝0．3，
從甲廠產(chǎn)品中購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，設(shè)買(mǎi)到的產(chǎn)品是合格品為事件C，
從乙廠產(chǎn)品中購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，設(shè)買(mǎi)到的產(chǎn)品是合格品為事件D，
則由題可知P（C）＝0．9，P（D）＝0．8，
由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立，
故從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)合格燈泡的概率為：
P（AC）＋P（BD）＝P（A）P（C）＋P（B）P（D）＝0．7×0．9＋0．3×0．8＝0．87．故選：C．
8．D
【詳解】作出函數(shù)的圖像如下所示，當(dāng)，時(shí)，，
所以時(shí)遞增，
當(dāng)時(shí)遞減，所以當(dāng)時(shí)，
在處取最大值為：（如下圖所示平行于直線）；
因?yàn)椋?，解得或?br>當(dāng)時(shí)，觀察圖像易知此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)根，
要使關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則需要與圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，只需要，即．故選：D．
9．ABD
【詳解】對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：令，則=，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，故D正確．故選：ABD
10．ABC
【詳解】記為事件“零件為第臺(tái)車床加工”，記為事件“任取一個(gè)零件為次品”
則，，
對(duì)于A，即，A正確．．
對(duì)于B，
，B正確．
對(duì)于C，，C正確．
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤．故選：ABC
11．BD
【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，∴在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，上，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；
B．，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，∴函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；
C．若，可得，令，則，令，則，∴在上，函數(shù)單調(diào)遞增，上函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，即C不正確；
D．令，則，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，令，由，得，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，∴對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則，所以．故D正確．故選：BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，以及構(gòu)造法證明不等式，對(duì)于C，解題的關(guān)鍵是利用參變分離進(jìn)行分析，對(duì)于D，解題的關(guān)鍵是判斷．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．
12．
【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后對(duì)分類求得答案．
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，
①令，則；
②令，則；
綜上可得：展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．
故答案為：．
13．13
【分析】分類討論，列舉出脫落1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)焊接點(diǎn)導(dǎo)致電路不通的情況，求出答案．
【詳解】若脫落1個(gè)，則有（1），（4）兩種情況，
若脫落2個(gè)，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況，
若脫落3個(gè)，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況．
若脫落4個(gè)，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有種情況．
故答案為：13．
14．
【詳解】f′（x）＝x2－1＝（x＋1）（x－1），令f′（x）＞0得x＜－1或x＞1，
令f′（x）＜0得－1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1）和（1，＋∞），減區(qū)間為（－1，1）．
所以要使函數(shù)f（x）＝x3－x在（a，10－a2）上有最小值，只需，
即?－2≤a＜1．
15．（1），（2）
【分析】（1）利用排列數(shù)與組合數(shù)公式計(jì)算即可；
（2）利用賦值法求解．
【詳解】（1）；
（2）令，得．
令x=0，得α0=1
∴α1+α2+α3+α4=15
16．（1）見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列．
（2）利用條件概率轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】（1）由題可知的所有可能取值為0，1，2，
依題意得：，，，
的分布列為：
（2）設(shè)第1次抽到男老師為事件，第2次抽到男老師為事件，則第1次和第2次都抽到男老師為事件，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，．
所以．
17．【答案】（1）
（2）減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可得出實(shí)數(shù)、的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果．
【詳解】（1）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，?br>因?yàn)楹瘮?shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
則，解得．
（2）解：由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由可得，列表如下：
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
極小值為，無(wú)極大值．
18．（1），；；
（2）①分布列見(jiàn)解析；期望為；②推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘；理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）由已知可求得甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資和乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）①由條形圖得x的取值范圍為，分別求得，，，，由此可得的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得答案．
②求得甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，比較可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資中與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，．
乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）①由條形圖得x的取值范圍為，
，，
，，
所以的分布列為
故的數(shù)學(xué)期望為．
②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為，
所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為（元），
由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元．
故推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘．
19．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2）；（3）．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，即，解得；
當(dāng)時(shí)，即，解得或；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）當(dāng)時(shí)，，
由（1）可知在上遞增，在上遞減，
所以在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取極大值，即最大值為．
當(dāng)時(shí)，，，，；
當(dāng)時(shí)，，，，
所以函數(shù)的取值范圍為．
（3）因?yàn)?，所以，從?br>所以兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得對(duì)恒成立，
即大于的最大值，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．
（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
-1
0
1
0.3
0.5
c
0
1
2
減
極小值
增
100
106
118
130
0．2
0．3
0．4
0．1

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