東莞市七校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡指定位置上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 請把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1.設(shè)集合，則AB=（    ）A.  B.  C.  D. 2.已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A.  B. 2 C.  D. 3.已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 4.在中，已知為上一點(diǎn)，若，則（    ）A． B． C． D．5.2022年11月，第五屆中國國際進(jìn)口博覽會在上海舉行，組委員會安排5名工作人員去A，B，C ，D這4個(gè)場館，其中A場館安排2人，其余場館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為（    ）A．240 B．120 C．60 D．486.若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（    ）A．2 B． C． D． 7.已知，，，則（    ）A.           B.             C.            D.  8. 若函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則的最小值為（    ）A.  B.   C.   D. 二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分. 請把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．是等差數(shù)列      B．          C．公差          D．10.分別是正方體的棱的中點(diǎn)，則（    ）A. 平面                       B. C. 直線與直線相交                    D. 與平面所成的角大小是11.已知函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（     ）A．在上單調(diào)遞增 B．是的一個(gè)對稱中心C．是奇函數(shù)                        D．在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>12.對于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A. 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B. 若方程有個(gè)不等的實(shí)根，則C. 當(dāng)時(shí)，D. 設(shè)，若對，，使得成立，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.已知，則_____.14.已知一個(gè)球的表面積在數(shù)值上是它的體積的倍，則這個(gè)球的半徑是_______.15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則________．16. 古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知，為圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線，且，若，則實(shí)數(shù)的最小值為          ．四、解答題: 本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. （本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18. （本小題滿分12分）在“雙減”政策背景之下，某校就推進(jìn)學(xué)校、家庭、社會體育教育的“一體化”，實(shí)現(xiàn)“教會、勤練、常賽”的核心任務(wù)．學(xué)校組織人員對在校學(xué)生“是否喜愛運(yùn)動(dòng)”做了一次隨機(jī)調(diào)查．共隨機(jī)調(diào)查了18名男生和12名女生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女生中分別有12人和6人喜愛運(yùn)動(dòng)，其余不喜愛． 喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男   女   總計(jì)   （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷性別與喜愛運(yùn)動(dòng)有關(guān)？（2）從被調(diào)查的女生中抽取3人，若其中喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635   附參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中． （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面 底面，，且，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值.    （本小題滿分12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，且．求：(1)      A；        (2)      的取值范圍．     21.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)P（2，）為橢圓C：）上一點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，且△PAB的面積為5．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)Q（1，0）的直線l與C相交于點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在x軸上方），AG，BH與y軸分別交于點(diǎn)M，N，記，分別為△AOM，△AON（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，證明為定值． 22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.  
東莞市七校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號12345678答案DCBACDBD1.因?yàn)榧?/span>，所以.故選：D2.由題：，，，所以.3.解析：，故選B4.因?yàn)?/span>，所以.5.分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結(jié)果；第二步：安排其余3人到剩余3個(gè)場館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為.6.雙曲線：的一條漸近線不妨為：，圓的圓心，半徑為：2，雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為，可得圓心到直線的距離為：，所以，，，又，即.故選：D．7.依題意，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，即，又在R上單調(diào)遞增，于是得，即，所以有.故選：B8. 由求導(dǎo)得：，于是得，函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，從而得，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 9. AB         10.  ABD        11.  AB       12. BD9.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，A正確；，B正確；因?yàn)楣?/span>，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，CD錯(cuò)誤；10.對A，因?yàn)檎襟w中且，故四邊形為平行四邊形，故.又由中位線性質(zhì)可得，且平面，平面，故平面.故平面，故A正確；對B，由A同理可得，，故成立，故B正確；對C，易得所在的平面為，顯然不在平面內(nèi)，故直線與直線異面，故C錯(cuò)誤；對D，由B，與平面所成的角即與平面所成的角，即，易得為，故D正確；故選：ABD11.因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>函數(shù)的零點(diǎn)依次構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，，，所以，把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位，得到，即，所以為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于A：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：，故是的一個(gè)對稱中心，故B正確；對于D：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AB12.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上都單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A不正確；當(dāng)時(shí)，的圖象在x軸上方，且在時(shí)，，在上的圖象在x軸下方，顯然是偶函數(shù)，在方程中，或時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，方程無實(shí)根，時(shí)，方程有個(gè)不等的實(shí)根，B正確；因，則有，即，于是得，C不正確；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，因?qū)?/span>，，使得成立，從而得，即得，D正確.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.  ：          14.；           15. ；           16.  13.解析：由的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以；方法二，令得14.設(shè)球的半徑為，則根據(jù)球的表面積公式和體積公式，可得，，化簡得.15.由題意知：是偶函數(shù)，則，即：,即：即：，解得：.故答案為：.16. 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知; ,所以，即，在中，,故，由題意可知： ,則，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號取得，又，所以，則 ，則實(shí)數(shù)的最小值為， 故答案為：四、解答題: 本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分. 17. （本小題滿分10分）  解：（1）證明：因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，可得；……………1分當(dāng)時(shí)，由可得，…………………………………………………2分所以，所以. ……………………………………………………4分是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. …………………………………………………5分（2）由（1）知，……………………………………………………………7分所以，…………………………………………………………………8分  …………10分18. （本小題滿分12分）解：由題得 喜愛運(yùn)動(dòng)不喜愛運(yùn)動(dòng)總計(jì)男12618女6612總計(jì)181230………………………2分假設(shè)是否喜愛運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：    ………………………………………………5分因此，沒有充分的把握判斷喜愛運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān). …………………………………………………6分（2）喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為的取值分別為：0，1，2，3，    …………………………………………7分則有：；；；.                                                     …………………………………………10分所以喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為的分布列為：0123………………………………………11分故數(shù)學(xué)期望    …………………………………12分（本小題滿分12分）證明：（1）設(shè)與交于，連接．因?yàn)?/span>為正方形的對角線，所以為中點(diǎn)，且，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，  因?yàn)?/span>，所以 …………………………2分因?yàn)槠矫?/span>底面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以     ……………………………………4分因?yàn)?/span>平面，，所以平面 ；…………………………………5分（2）因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以  因?yàn)槠矫?/span>底面，平面平面，所以 平面，……………6分因?yàn)?/span>，所以，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為4，則，故則，，，，，所以 ，……………………………………………………………8分設(shè)平面的一個(gè)法向量，因為，所以 ，令，則，所以，………………9分取平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，，  …………………………………………………………11分所以，所以平面與平面夾角的正弦值為 .………………………………………………12分（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)?/span>，  所以,   …………………………………………………………………………2分因?yàn)?/span>，，…………………………………………4分因?yàn)?/span>.   ……………………………………………………………………6分（2）由正弦定理，   ………………………………………8分   …………………………………………………………9分，     ………………………………………………………11分因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.  ………………………………………12分21.（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)椤?/span>PAB面積為5，點(diǎn)P（2，）為橢圓C：上一點(diǎn)，所以有；…………………………………………………4分（2）由題意可知直線l的斜率不為零，故設(shè)方程為，……………………………………5分與橢圓方程聯(lián)立為：，………………………………6分設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，，  ………………………………………7分直線AG的方程為：，令，得，即，同理可得：，  ………………………………………………………………………………9分，…………………………………………10分因?yàn)?/span>，所以有，于是有，因此為定值.…………12分解法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，直線AG的方程為：，令得，直線BH的方程為：，令得，  …………………………………………………………………………7分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，且，，由方程組得：，  …………………………………………………………………8分直線AG的方程為：，令得直線BH的方程為：，令得  ……………………………………9分  …………………………10分又，即，即………………11分，因此為定值.…………………12分22.（本小題滿分12分）解（1）由題設(shè)，， ………………………………1分①當(dāng)，即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；……………………………………2分②當(dāng)，即時(shí)，令，得當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增.      …………………………………………4分綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.   ……………………………………………………………………………5分（2）當(dāng)時(shí)，，又，得：，∴兩式相減得，又，可得     ……………6分法一：要證，只需證，兩邊同除以得：，令，故只需證即可.令，，     ……………………………………………9分令，則，∴當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，即，∴在上單調(diào)遞增，故，故原命題得證.………………………………12分法二：令，，，即，兩式相減得，要證，即只需證，即證，即，即，令，只需證即可.令，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，∴，故原命題得證，原不等式成立.………………………………………………12分

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