山東省臨沂市郯城縣2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號和座號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案寫在試卷上無效．
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．
第I卷（選擇題）
一、選擇題：每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求
1. 下列式子是二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義及二次根式的被開方數(shù)一定是非負數(shù)判斷即可；
【詳解】解：A．無意義，故A不符合題意；
B．是二次根式，故B符合題意；
C．是三次根式，故C不符合題意；
D．沒有說明a的取值范圍，時無意義，故D不符合題意；
故選B．
2. 下列四組數(shù)中，勾股數(shù)是（）
A. B. 9，40，41
C. D. 1，，2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．根據(jù)勾股數(shù)定義判斷即可．
【詳解】A、三個數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
B、，是勾股數(shù)，符合題意；
C、三個數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
D、三個數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意．
故選：B．
3. 下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了最簡二次根式的定義．判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【詳解】解：A、，符合最簡二次根式條件；故本選項符合題意；
B、，被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
C、，被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
D、，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意．
故選：A．
4. 下列計算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次根式混合運算，涉及二次根式加減乘除運算，通過相關(guān)運算法則逐項驗證即可得到答案，熟練掌握二次根式混合運算法則是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、不是同類二次根式，不能合并，，計算錯誤，不符合題意；
B、由二次根式減法運算可知，，計算錯誤，不符合題意；
C、由二次根式除法運算法則可得，計算錯誤，不符合題意；
D、由二次根式乘法運算法則可得，計算正確，符合題意；
故選：D．
5. 小軍不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，他帶了兩塊碎玻璃到商店配成了一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶的碎玻璃編號是（）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的定義以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解如何確定平行四邊形的四個頂點，四個頂點的位置確定了，平行四邊形的大小就確定了．確定有關(guān)平行四邊形，關(guān)鍵是確定平行四邊形的四個頂點，由此即可解決問題．
【詳解】解：只有③④兩塊角兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長線的交點就是平行四邊形的頂點，
∴帶③④兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大?。?br>故選B．
6. 勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25…這類勾股數(shù)的特點為勾為奇數(shù)，弦與股相差1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17…若此類勾股數(shù)的勾為（m為正整數(shù)），則股是（結(jié)果用含m的式子表示）（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．
根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】∵m為正整數(shù)，
∴為偶數(shù)．
設(shè)此類勾股數(shù)股是a，則弦為．
根據(jù)勾股定理得，
解得．
故選：B．
7. 我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等面積法證明即可．
【詳解】解：A、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
D、，根據(jù)圖形不能證明勾股定理；
故選：D．
8. 在中，是直線上一點，已知，，，，則的長為（）
A. 4或14B. 10或14C. 14D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)AC=13，AD=12，CD=5，可判斷出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，繼而可得出BC的長度．
【詳解】∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于點D在直線BC上，分兩種情況討論：
當點D在線段BC上時，如圖所示，
在Rt△ADB中，，
則；
②當點D在BC延長線上時，如圖所示，
在Rt△ADB中，，
則．
故答案為：Ａ．
【點睛】本題考查勾股定理和逆定理，需要分類討論，掌握勾股定理和逆定理的應(yīng)用為解題關(guān)鍵．
9. 如圖，的對角線AC、BD交于點O，DE平分交AB于點E，，連接OE．下列結(jié)論：①；②DB平分；③；④OE垂直平分BD．其中正確的個數(shù)有（）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
證得是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，求得，即，即可得到；依據(jù)，，可得，進而得出平分由三角形的中位線定理可得出，則可得出，則可得出結(jié)論．
詳解】解：在中，
，，平分，
，
是等邊三角形，
，
是的中點，
，
，
，即，
，
故①符合題意；
，，
，
平分，
故②符合題意；
是的中點，是的中點，
是的中位線，
，
，
，
，
垂直平分，
故③④符合題意，
所以正確的有4個．
故選：D．
10. 如圖，在中，，E是直角邊的中點，F(xiàn)是直角邊上的一個動點，將沿所在的直線折疊，得到，D是斜邊的中點，若，，則的最小值是（）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短的綜合運用；如圖所示點在以為圓心為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，即可求出．
【詳解】解：如圖所示點在以為圓心為半徑的圓上運動，當、、共線時時，此時的值最小，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，，
，
，
是邊的中點，，
，
∵E是直角邊的中點，D是斜邊的中點，，
∴，
∴．
故選：A．
第I卷（非選擇題）
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
11. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得：，
則實數(shù)x的取值范圍是：，
故答案為：．
12. 若最簡二次根式能與合并，則_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先化簡，根據(jù)最簡二次根式的定義計算即可，本題考查了同類二次根式，熟練化簡是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
且最簡二次根式能與合并，
故，
故答案為：7．
13. 若，，且，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)，，且，得出，，代入求值即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∵
∴，
∴．
故答案為：．
14. 如圖，在四邊形中，，平分，平分，點P，Q分別是，的中點，則_________．
【答案】##
【解析】
【分析】此題考查了三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接并延長交于點M，證明，得出，，求出，根據(jù)中位線性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：連接并延長交于點M，如圖所示：
∵，
∴，，
∵點Q是的中點，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵P是的中點，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
15. 如圖，在等腰直角三角形中，，E是上一點，，P是上一動點．則的最小值是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，作等腰直角三角形關(guān)于的對稱直角三角形，連接，由關(guān)于對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接，交于P，連接，則此時的值最小，進而利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖：作等腰直角三角形關(guān)于的對稱等腰直角三角形，連接，
由軸對稱的性質(zhì)可得，，
∴，
∴當三點共線時，最小，即此時最小，
∵等腰直角三角形中，，
∴由軸對稱的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴，
∴最小值為10，
故答案為：10．
16. 在中，，，，若以A、B、C、P四點為頂點組成一個平行四邊形，則這個平行四邊形的周長為_____．
【答案】14、16或18
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的長，然后分類討論即可確定答案，
本題考查了，勾股定理，拼接平行四邊形問題，解題的關(guān)鍵是：分情況討論．
【詳解】解：在中，，，，，
當以為對角線時，此時的周長為；
當以為對角線時，此時的周長為；
當以為對角線時，此時的周長為.
故答案為：14或16或18．
三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）直接利用二次根式的混合運算法則計算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．
【小問1詳解】
解：原式
【小問2詳解】
解：原式
18. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1．
（1）分別求出線段、的長度；
（2）在圖中畫線段，使得的長為，以、、三條線段能否構(gòu)成直角三角形，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）見解析；可以組成直角三角形，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
（1）結(jié)合網(wǎng)格的特點，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理畫出，再利用勾股定理得逆定理，即可判斷三角形
【小問1詳解】
解：由網(wǎng)格可知，，；
【小問2詳解】
解：如圖，，即即為所求作；
以、、三條線段能構(gòu)成直角三角形，理由如下：
，，，且，
，
以、、三條線段能構(gòu)成直角三角形．
19. 閱讀理解題：已知，將其分母有理化．小明同學是這樣解答的：．
請你參考小明的化簡方法，解決如下問題：
（1）計算：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本題主要考查分母有理化，熟練掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)題意可直接進行分母有理化，再合并同類二次根式即可求解；
（2）先分母有理化，然后再進行代值求解．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：∵，
∴
．
20. 如圖，中，，垂足分別為E，F(xiàn)．證明：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，進一步證出即可證出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 如圖，的對角線交于點O，過點O交于點E，交于點F，，證明：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證出，得出，再根據(jù)即可證出結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四邊形平行四邊形．
22. 如圖，的對角線與交于點O，若．
（1）求的度數(shù)；
（2）求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，直角三角形判定與性質(zhì)，
（1）通過平行四邊形性質(zhì)求出線段長，得出，即可求出結(jié)論；
（2）先求，即可求出周長；
【小問1詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
23. 如圖，點E是對角線上一點，點F在的延長線上，且，與交于點G．
（1）求證：；
（2）若G是的中點，連接，且，求證：．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)、三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，
（1）連接交于點O，證明是的中位線，即可證明結(jié)論；
（2）先證，再證，根據(jù)得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：如圖所示，連接交于點O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴是的中位線，
∴，即；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，
由（1）得，又，
∴，
∵G是的中點，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
24. 【問題初探】
（1）全省數(shù)學教研活動示范課中，張老師給出如下問題：
如下圖①所示，四邊形，點M和點N分別是邊和邊上的中點，點P是對角線的中點，．求證：．
結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．
【問題再探】
（2）張老師又給出如下問題：
如圖②所示，如果在一個四邊形中，點Ｐ和點Q分別為邊和邊的中點，且，，求兩點的距離．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】此題考查了三角形中位線定理、勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)；
（1）如圖①，利用中位線定理得到，，由得到，即可得到結(jié)論；
（2）如圖②，連接，取的中點，連接，，由三角形中位線定理得到，，，則，，進一步得到，根據(jù)勾股定理即可得到；
【詳解】（1）證明：點，分別是，的中點，
是的中位線，
，
點，分別是，的中點，
是的中位線，
，
，
，
；
（2）如圖②，連接，取的中點，連接，，
點，分別是，的中點，
∴是的中位線，
，
同理：是的中位線，
，
是的中位線，
，
，
是的中位線，
，
，
，
，
根據(jù)勾股定理得，．

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