（120分鐘 150分）
第Ⅰ卷（選擇題，共40分）
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，相反數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）．解題的關鍵是先將化簡，再根據(jù)相反數(shù)的定義即可得解．
【詳解】解：，
∴的相反數(shù)是．
故選：B．
2. 如圖在線學習平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
根據(jù)軸對稱圖形定義進行分析即可．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，符合題意；
故選D．
3. 下列運算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式分別判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項錯誤；
B、，故選項錯誤；
C、，故選項錯誤；
D、，故選項正確；
故選D．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式，解題的關鍵是掌握各自的運算法則．
4. 在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+b與（其中a，b是常數(shù)，ab≠0）的大致圖象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)a，b的取值分類討論即可．
【詳解】解：若a＜0，b＜0，
則y＝ax+b經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)（ab≠0）位于一、三象限，故A選項符合題意；
若a＜0，b＞0，
則y＝ax+b經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)（ab≠0）位于二、四象限，故B選項不符合題意；
若a＞0，b＞0，
則y＝ax+b經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)（ab≠0）位于一、三象限，故C選項不符合題意；
若a＞0，b＜0，
則y＝ax+b經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)數(shù)（ab≠0）位于二、四象限，故D選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，掌握系數(shù)a，b與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像的關系是解決此題的關鍵．
5. 如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【詳解】過點P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故選：C．
6. 隨著互聯(lián)網(wǎng)技術的發(fā)展，我國快遞業(yè)務量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計從2018年到2020年，我國快遞業(yè)務量由507億件增加到833.6億件，設我國從2018年到2020年快遞業(yè)務量的年平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，業(yè)務量由507億件增加到833.6億件，2020年快遞業(yè)務量為833.6億件，逐年分析即可列出方程．
【詳解】設從2018年到2020年快遞業(yè)務量的年平均增長率為x，
2018年我國快遞業(yè)務量為：507億件，
2019年我國快遞業(yè)務量為：=億件，
2020年我國快遞業(yè)務量為：+，
根據(jù)題意，得：
故選C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出一元二次方程．
7. 已知關于x的分式方程=1的解是負數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A. m≤3B. m≤3且m≠2C. m＜3D. m＜3且m≠2
【答案】D
【解析】
【分析】解方程得到方程的解，再根據(jù)解為負數(shù)得到關于m的不等式結(jié)合分式的分母不為零，即可求得m的取值范圍.
【詳解】=1，
解得：x=m﹣3，
∵關于x的分式方程=1的解是負數(shù)，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
當x=m﹣3=﹣1時，方程無解，
則m≠2，
故m的取值范圍是：m＜3且m≠2，
故選D．
【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不為零是解題關鍵．
8. 矩形紙片中，為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，交于點，根據(jù)翻折的性質(zhì)知，，，垂直平分，說明，利用等積法求出的長，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：連接，交于點，
在矩形中，，，
∴，
∵將沿折疊得到，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵點為的中點，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故選：D．
【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，利用等積法求出的長是解題的關鍵．
9. 如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當⊙與直線只有一個公共點時，點A的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】當⊙與直線只有一個公共點時，則此時⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）；設切點為，此時點同時在⊙A與直線上，故可以表示出點坐標，過點作，則此時，利用相似三角形的性質(zhì)算出長度，最終得出結(jié)論．
【詳解】如下圖所示，連接，過點作，
此時點坐標可表示為，
∴，，
在中，，
又∵半徑為5，
∴，
∵，
∴，
則，
∴，
∴，
∵左右兩側(cè)都有相切的可能，
∴A點坐標為，
故選：D．
【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關鍵．
10. 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①拋物線過原點；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④拋物線的頂點坐標為（2，b）；
⑤當x＜2時，y隨x增大而增大．
其中結(jié)論正確的是（ ）
A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤
【答案】C
【解析】
【詳解】①∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點坐標為（4，0），
∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（0，0），結(jié)論①正確；
②∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線過原點，
∴﹣=2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，結(jié)論②正確；
③∵當x=﹣1和x=5時，y值相同，且均為正，
∴a﹣b+c＞0，結(jié)論③錯誤；
④當x=2時，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴拋物線的頂點坐標為（2，b），結(jié)論④正確；
⑤觀察函數(shù)圖象可知：當x＜2時，y隨x增大而減小，結(jié)論⑤錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④．
故選C．
第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分．直接填寫最后結(jié)果）
11. 如圖，已知， 垂足為點，，則等于_________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解答本題的關鍵是明確題意，熟練掌握知識點．
根據(jù)三角形的內(nèi)角可以求出的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
12. 分解因式：4ax2-ay2=________________.
【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差進行分解即可．
【詳解】原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案為a（2x+y）（2x-y）．
【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
13. 如圖，菱形ABCD的邊長為15，sin∠BAC=，則對角線AC的長為____.
【答案】24
【解析】
【詳解】試題分析：因為四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，BD與AC互相垂直且平分，因為，AB=15,所以BD=9，根據(jù)勾股定理可求的AC=12，即AC=24
考點：三角函數(shù)、菱形性質(zhì)及勾股定理；
14. 如圖，在中，，以點A為圓心、為半徑畫弧交于點E，連接，若，則圖中陰影部分的面積是_______．
【答案】
【解析】
【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DF，從而求得EB，最后由S陰影=S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC結(jié)合扇形面積公式、平行四邊形面積公式、三角形面積公式解題即可．
【詳解】解：過點D作DF⊥AB于點F，
∵，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB?AE= ，
∴S陰影=S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC

=
故答案為：．
【點睛】本題考查等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、扇形的面積公式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
15. 一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完．在整個過程中，容器中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示，則圖中a的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，結(jié)合題意分析分別求得進水速度和出水速度，即可求解．
【詳解】解：依題意，3分鐘進水30升，則進水速度升/分鐘，
3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
則排水速度為升/分鐘，
，
解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象問題，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關鍵．
16. 如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為______．
【答案】40
【解析】
【分析】過C1、C2、C3…作x軸垂線，垂足分別為D1、D2、D3…，求得，，，…是等腰直角三角形，D1、D2、D3…為OA1、A1A2、A2A3…中點；C1（y1，y1）代入反比例函數(shù)可得y1，C2（4+y2，y2）代入可得y2，…，根據(jù)坐標規(guī)律計算求值即可；
【詳解】解：如圖，過C1、C2、C3…作x軸垂線，垂足分別為D1、D2、D3…，
∵∠B1OA1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=…=45°，
∴，，，…是等腰直角三角形，
∵B1A1⊥x軸，B2A2⊥x軸，B3A3⊥x軸，…，
∴C1D1∥B1A1，C2D2∥B2A2，C3D3∥B3A3，…，
∵C1、C2、C3…為OB1、A1B2、A2B3…中點，
∴C1 D1、C2 D2、C3 D3、…為、、、…的中位線，
∴D1、D2、D3…為OA1、A1A2、A2A3…中點，
中： OD1=D1C1= y1，則C1（y1，y1），
，解得：y1=2（經(jīng)檢驗符合題意），即y1=，
中：A1D2=D2C2= y2，則x2=2y1+ y2，C2（4+y2，y2），
，解得：y2=（經(jīng)檢驗符合題意），即y2=，
中：設A2D3=D3C3=y3，則x3=2y1+2y2+y3，C2（+y3，y3），
，解得：y3=（經(jīng)檢驗符合題意），
同理可得y4=，
…，
y400=，
=++…+=40，
故答案為：40；
【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，公式法解一元二次方程，通過解一元二次方程方程求得坐標規(guī)律是解題關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及非零數(shù)的零次冪、特殊角三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡即可得到答案．
【詳解】解：
=
＝
＝．
【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各式是解答此題的關鍵．
18. 解不等式組：．
【答案】
【解析】
【分析】先解得每個不等式的解集，然后求出它們的公共部分即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式組的解集為．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答的關鍵．
19. 多功能家庭早餐機可以制作多種口味的美食，深受消費者的喜愛，在新品上市促銷活動中，已知8臺A型早餐機和3臺B型早餐機需要1000元，6臺A型早餐機和1臺B型早餐機需要600元．
（1）每臺A型早餐機和每臺B型早餐機的價格分別是多少元？
（2）某商家欲購進A，B兩種型號早餐機共20臺，但總費用不超過2200元，那么至少要購進A型早餐機多少臺？
【答案】（1）每臺A型早餐機80元，每臺B型早餐機120元；
（2）至少要購進A型早餐機5臺．
【解析】
【分析】（1）設A型早餐機每臺x元，B型早餐機每臺y元，根據(jù)等量關系列方程組求解即可；
（2）設購進A型早餐機n臺，根據(jù)總費用不超過2200元列出不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設A型早餐機每臺x元，B型早餐機每臺y元，依題意得：
，
解得：，
答：每臺A型早餐機80元，每臺B型早餐機120元；
【小問2詳解】
解：設購進A型早餐機n臺，依題意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要購進A型早餐機5臺．
【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，解題的關鍵的是理解題意找出等量關系列出方程，以及根據(jù)條件列出不等式求解．
20. 如圖，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：四邊形是矩形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點C是BE的中點，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵點C是BE的中點，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴四邊形ACED是矩形．
【點睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．
21. 2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某校舉行了主題“為推進地下水超采綜合治理，復蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護知識競賽．為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取了150名學生的初賽成績進行統(tǒng)計，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．
（1）表中___________，___________，___________；
（2）請補全頻數(shù)分布直方圖：
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學生中隨機選取2名學生參加復賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1）30，0.3，0.4
（2）見解析 （3）選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為
【解析】
【分析】（1）由總?cè)藬?shù)減去已知的頻數(shù)即可求出a的值，再根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)可得b、c的值；
（2）根據(jù)a的值補全直方圖即可；
（3）根據(jù)題意，列表，再根據(jù)概率公式求解即可．
【小問1詳解】
，
，
，
故答案為：30，0.3，0.4；
【小問2詳解】
頻數(shù)分布直方圖如圖所示：
【小問3詳解】
用分別表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：
共有12種等可能結(jié)果，其中選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種，
（選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生），
∴選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為．
【點睛】本題考查了統(tǒng)計表和頻數(shù)分布直方圖，涉及求頻率，畫頻數(shù)分布直方圖，用列表法或畫樹狀圖求概率，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
22. 如圖，兩個全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐標系中，在軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）把沿射線移動，當點落在圖象上的時，求點的坐標．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得AB=OA=OC=OD=，則可求得B點坐標，代入可求得k的值；
（2）由平移的性質(zhì)可知DD′∥OB，過D′作D′E⊥x軸于點E，交DC于點F，設CD交y軸于點M，由D點坐標，則可設出D′坐標，代入反比例函數(shù)解析式，則可得到關于D點坐標的方程，可求得D點坐標．
【詳解】解：（1）∵和 為全等的等腰直角三角形，，
∴，
∴點坐標為，
代入得，；
∴反比例函數(shù)解析式為；
（2）依題意，得，過作軸于點，交于點，
設交軸于點，
∵，，
∴，
∴點坐標為，
設橫坐標為，則，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
解得：，（舍去），
∴
【點睛】本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)等知識．在（1）中求得B點坐標是解題的關鍵，在（2）中表示出D′坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
23. 如圖，直線經(jīng)過上的點C，并且交直線于E，D，連接．
（1）試猜想直線與的位置關系，并說明理由；
（2）求證：；
（3）若，的半徑為3，求的面積．
【答案】（1）直線是的切線，理由見解析
（2）證明見解析 （3）12
【解析】
【分析】本題考查了圓的綜合題，其中涉及到的知識點有：①切線的判定，例如：第（1）題，是利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，得到，證明是的切線；②相似三角形的判定與性質(zhì)．例如：第（2）題，是根據(jù)題意證明兩個三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)，得到線段和的數(shù)量關系；③三角形的面積公式；④等腰三角形的性質(zhì)．
（1）連接，根據(jù)，可以證明，利用切線的判定定理，經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，得到是的切線；
（2）根據(jù)是直徑，直徑所對的圓周角是直角，以及圓的切線垂直于過切點的半徑，利用等量代換得到，又公共，可以證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)，對應線段的比相等得到．
（3）根據(jù)，得與的比例關系，最后由切割線定理列出方程求出的長．在直角三角形中，由勾股定理求得邊的長度；最后由三角形的面積公式即可求得的面積．
【小問1詳解】
解：直線是的切線．理由如下：
如圖，連接．
∵，
∴．
又∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
證明：∵是的直徑，
∴(直徑所對的圓周角是直角)，
∴(直角三角形的兩個銳角互余)．
又，
，
又，
，
，
；
【小問3詳解】
，
，
由（2）知，，則，
，
設，則，
，
解得，
，
，
∵，
∴，
∴．
在中，，
則根據(jù)勾股定理求得．
∴，
∴，
即的面積是12．
24. 2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學在C點測得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點測得B點的俯角∠DAB=30°．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．
（1）求該滑雪場高度h；
（2）據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設備每小時造雪量比乙設備少35m3，且甲設備造雪150m3所用的時間與乙設備造雪500m3所用的時間相等．求甲、乙兩種設備每小時的造雪量．
【答案】（1）235m
（2）甲種設備每小時的造雪量是15m3，則乙種設備每小時的造雪量是50m3
【解析】
【分析】（1）過B作BF∥AD，過D過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，設BE=tm，則CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；
（2）設甲種設備每小時的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗可得甲種設備每小時的造雪量是15m3，則乙種設備每小時的造雪量是50m3．
【小問1詳解】
解：過B作BF∥AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：
根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，
∴，
∵BC的坡度i=1：2.4，
∴BE：CE=1：2.4，
設BE=tm，則CE=2.4tm，
∵BE2+CE2=BC2，
∴t2+（2.4t）2=2602，
解得t=100（m），（負值已舍去），
∴h=AF+BE=235（m），
答：該滑雪場的高度h為235m；
【小問2詳解】
設甲種設備每小時的造雪量是xm3，則乙種設備每小時的造雪量是（x+35）m3，
根據(jù)題意得：，
解得x=15，
經(jīng)檢驗，x=15是原方程的解，也符合題意，
∴x+35=50，
答：甲種設備每小時的造雪量是15m3，則乙種設備每小時的造雪量是50m3．
【點睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應用，解題的關鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．
25. 已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．
（1）如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
（2）若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）①；②見解析
【解析】
【分析】（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．
（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．
②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．
【小問1詳解】
解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四邊形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形狀為等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案為：等腰三角形，．
【小問2詳解】
①過點E作于點H，如圖所示：
∵AC，BD均是直線l的垂線段，
∴，
∵是等邊三角形，且與重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，AE=6
在中，，
又由（1）知，
∴，則，
∴在中，由勾股定理得：．
②連接，如圖3所示：
∵，
∴，
∵由（1）知是等腰三角形，
∴是等邊三角形，
又∵是等邊三角形，
∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵．
26. 在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），點M為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點M作y軸的垂線，垂足為C，過點B作y軸的平行線，交CM于點D，點H為OC上的任一點，將線段HB繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)90°到HP．求∠PCD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，將點H改為y軸上的一動點，連接OP，BP，求OP+BP的最小值．
【答案】（1）y＝x2+x+
（2）∠PCD＝45°
（3）OP+BP的最小值為
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點M的坐標為（1，3），然后證明四邊形OBDC是正方形，過點P作PE⊥y軸，垂足為E點，連接PC，如圖2，證明△PEH≌△HOB得到PE＝OH，EH＝OB，然后推出EC＝EP，得到∠ECP＝45°，則∠PCD＝45°；
（3）根據(jù)∠PCD＝45°可知點P在直線PC上運動，作點O關于直線PC的對稱點F，連接BF與直線PC交于，連接，直線PC交x軸于點Q，連接FQ，則，，故當P在的位置，即B、F、P三點共線時，的值最小，最小為BF，由此求解即可．
【小問1詳解】
解：將點A（﹣1，0），B（3，0）代入中
得 ，
解得，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：∵拋物線解析式為，
∴點M的坐標為（1，3），
∵MC⊥y軸，BD∥y軸，∠COB=90°，
∴矩形OBDC中，CO＝OB＝3．
∴四邊形OBDC是正方形，
過點P作PE⊥y軸，垂足為E點，連接PC，如圖2，
∵∠PHB＝90°，
∴∠PHE+∠BHO＝90°，
∵∠OBH+∠BHO＝90°，
∴∠PHE＝∠OBH，
又HP＝HB，
∴△PEH≌△HOB（AAS），
∴PE＝OH，EH＝OB，
∵OB＝OC，
∴OC＝EH，
∴EC＝OH，
∴EC＝EP，
∴∠ECP＝45°，
∴∠PCD＝45°；
【小問3詳解】
解：如圖3，
由（2）可知，點P在直線PC上運動，
作點O關于直線PC的對稱點F，連接BF與直線PC交于，連接，直線PC交x軸于點Q，連接FQ，
∴，
∴，
∴當P在的位置，即B、F、P三點共線時，的值最小，最小為BF，
∵CD∥x軸，
∴∠PCD＝∠PQO＝45°，
∴OQ＝OC＝OB＝3，
由軸對稱的性質(zhì)可知：∠FQC＝∠PQO＝45°，F(xiàn)Q＝OQ＝3，
∴∠FQB＝90°，
∴BF＝，
∴OP+BP的最小值為．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線求解．
成績x/分
頻數(shù)
頻率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
c
A
B
C
d
A
BA
CA
dA
B
AB
CB
dB
C
AC
BC
dC
d
Ad
Bd
Cd

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