（總分：150分，時(shí)間：120分鐘 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1. 滿足且的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的結(jié)果，以及子集的關(guān)系，確定集合中的元素，即可求解集合的個(gè)數(shù).
【詳解】由可得：，，.又因?yàn)椋?br>所以或.
故選：B
2. 在中，“是鈍角”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】先將等價(jià)變形，兩邊平方后得，且三點(diǎn)不共線，即可做出判斷.
【詳解】“”等價(jià)于“”，
所以，
從而，
在中，顯然三點(diǎn)不共線，即兩個(gè)向量不能方向相反，則是鈍角，則必要性成立，
若是鈍角，則，則，則充分性成立，
則“是鈍角”是“”的充要條件.
故選：C．
3. 如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績的極差為31，乙的成績的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. 乙的成績的中位數(shù)為D. 乙的成績的方差小于甲的成績的方差
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合莖葉圖的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，以及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差，依次分析選項(xiàng)，即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，甲得分的極差為31，，解得：，A正確；
對(duì)于B，乙的平均數(shù)為，解得，B正確；
對(duì)于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)是26，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，甲的平均數(shù)，與乙的平均數(shù)相同，但根據(jù)莖葉圖可得乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；
故選：C．
4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）的過程中，從到時(shí)，比共增加了（ ）
A. 1項(xiàng)B. 項(xiàng)C. 項(xiàng)D. 項(xiàng)
【答案】D
【解析】
【分析】分別計(jì)算出和的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而作差即得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，共項(xiàng)，
則共項(xiàng)，
所以比共增加了項(xiàng)，
故選：D
5. 已知函數(shù)，則下列說法正確是（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B. 的周期為
C. 是的一個(gè)對(duì)稱中心D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式化簡可得，根據(jù)函數(shù)圖象逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】由函數(shù)，
由此可作出的函數(shù)圖象，如圖所示，
對(duì)于A中，由，
所以關(guān)于直線不對(duì)稱，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由，所以B正確；
對(duì)于C中，由函數(shù)圖象可知，不存在對(duì)稱中心，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，因?yàn)椋?，?br>所以函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 物理學(xué)家本·福特提出的定律：在b進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為.應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤.若，則k的值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】，
而，故．
故選：C．
7. 已知函數(shù)的圖象在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則的取值可以為（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范圍，即可判斷.
【詳解】由，則，
則，，
依題意可得且、、，
所以，
所以，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)、分別取、時(shí)滿足題意.
故選：D
8. 佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效.因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的由六個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個(gè)六面體中，棱AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（ ）

A. 平行B. 相交C. 異面且垂直D. 異面且不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】可將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個(gè)三棱錐拼接的六面體，它們共一個(gè)底面，即可判斷，的位置關(guān)系．
【詳解】將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個(gè)三棱錐拼接的六面體，它們共一個(gè)底面，
且兩點(diǎn)重合，所以與相交，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖與其直觀圖的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
9. 甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出甲、乙到達(dá)的時(shí)刻，列出所有基本事件的約束條件同時(shí)列出這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待約束條件，利用線性規(guī)劃作出平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式求出概率.
【詳解】設(shè)甲船到達(dá)泊位的時(shí)間為，乙船到達(dá)泊位的時(shí)間為，則，
這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待，則，
畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分，
，
則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率為.
故選：C
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，向量，且.若點(diǎn)的軌跡與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)和（點(diǎn)在軸上方），雙曲線右焦點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，消參得其軌跡方程，然后與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立求得點(diǎn)P和Q的縱坐標(biāo)，從而把面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)絕對(duì)值比即可求解.
【詳解】由于向量，點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋渣c(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為，
與雙曲線其中一條漸行線，聯(lián)立，得，
聯(lián)立，得，
因此.
故選：D
11. 如圖，射線與圓，當(dāng)射線從開始在平面上按逆時(shí)針方向繞著原點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)（，分別為和上的點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過）時(shí)，它被圓截得的線段長度為，其導(dǎo)函數(shù)的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，確定，表示出，即可求得弦長的表達(dá)式，利用求導(dǎo)公式，即可得答案.
【詳解】由圓可得，
連接，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，則，
由，可得，
故，
則
，
即，
故選：C
12. 若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合可行域可知當(dāng)時(shí)，不成立，所以可以把化為，設(shè)，根據(jù)可行域求出的取值范圍；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域，
如圖所示，，，，
可知當(dāng)時(shí)，原式不成立，
所以可轉(zhuǎn)化為，
設(shè)，根據(jù)可行域可知，，
設(shè)，（），
則，，
因?yàn)?，所以恒成立?br>則單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，，
所以，
所以，解得，
故選：B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
故答案為：.
14. 已知a是1，2的等差中項(xiàng)， b是 1， 16的等比中項(xiàng)， 則ab等于_________ ；
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差和等比中項(xiàng)的定義求，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭堑炔钪许?xiàng)，所以，
因?yàn)槭牵牡缺戎许?xiàng)，所以，
，所以.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意實(shí)數(shù)均滿足，若，，則________________.
【答案】
【解析】
【分析】通過賦值得到的值，之后猜想的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，之后代入表達(dá)式即可求得答案.
【詳解】令即可求出，
令即可求出，
，，
結(jié)合，，，，可猜想.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，由上述知成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí)有，
則當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
.
所以成立，所以.
故答案為：.
16. 某單位使用的圓臺(tái)形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑?下口直徑?母線的長度依次等于，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當(dāng)水面恰好到達(dá)杯底（到達(dá)底面圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】用平面截對(duì)接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線，本題水面到達(dá)杯底的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺(tái)）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸，是圓臺(tái)的軸線，作于，記與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，由實(shí)際情形知，點(diǎn)在圓臺(tái)的過軸線的中點(diǎn)且與軸線垂直的截面圓上，由垂徑定理知垂直平分，再求橢圓的離心率即可.
【詳解】由教材章頭圖知識(shí)知道，用平面截對(duì)接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對(duì)于本題，如圖，水面到達(dá)杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺(tái)）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長軸，是橢圓的短軸.是圓臺(tái)的軸線，作于，則
，
，
記與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則，
，
，
，
由實(shí)際情形知，點(diǎn)在圓臺(tái)的過軸線的中點(diǎn)且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，
，
記橢圓的離心率為，長半軸長?短半軸長?半焦距為，
則.
故答案為：.
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17. 如圖，在四邊形中，已知點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，，．

（1）求的值；
（2）設(shè)AC=3，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件可得‖，則，，再利用正弦定理可求得結(jié)果；
（2）在中利用正弦定理可求出，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)镃點(diǎn)關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，
所以DB平分，所以，
因?yàn)?，所以，BC=CD，
所以‖，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以．
【小問2詳解】
因?yàn)樵谥?，由正弦定理?
所以，，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，
．
18. 某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
（1）求的值;
（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多 1株高度低于的概率.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，即可求解；
（2）首先確定高度在和的株數(shù)，再按照超幾何分布，即可求解；
（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)概率公式，以及條件概率公式，即可求解.
【小問1詳解】
依題意可得，解得；
【小問2詳解】
由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，所以可取0，1，2.
所以，，
所以的分布列為：
所以
【小問3詳解】
從所有花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，
則，，
所以.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)，且是的極值點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）答案見解析.
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)分析的符號(hào)，討論的單調(diào)性，即可求解.
（2）先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值的關(guān)系，得到，再結(jié)合要證不等式構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性與最值即可證明.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
由是的極值點(diǎn)，得，即，
，
而，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.
設(shè)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，所以.
20. 已知平面與平面是空間中距離為1的兩平行平面，，，且，和的夾角為.
（1）證明：四面體的體積為定值；
（2）已知，且，，，，均在半徑為的球面上.當(dāng)，與平面的夾角均為時(shí)，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）四面體補(bǔ)成一個(gè)斜三棱柱，這個(gè)斜三棱柱的體積為定值，則四面體的體積為定值.
（2）首先判斷球心的位置，然后判斷出點(diǎn)的軌跡，然后求得的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】（1）如圖，平移線段使得與重合，并將四面體補(bǔ)成一個(gè)斜三棱柱.
則該斜棱柱的底面積，高，所以該斜棱柱的體積為定值.
此斜棱柱恰好可以分為兩兩底面積相同，高相同的三個(gè)三棱錐.
于是這三個(gè)三棱錐的體積都相等，都是斜棱柱的.
所以四面體的體積為，是定值.
（2）設(shè)球心是，并設(shè)與平面，平面的距離分別是，.
由可知，在，的中垂面和，的中垂面的交線上.
設(shè)的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是.則由勾股定理得.
注意到，所以，，共線，且平面.
因?yàn)?，且，與平面的夾角均為，所以.
而，，，，均在球上，所以在以為圓心，為直徑的圓上.
所以.
于是，，所以.
21. 已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為.
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過原點(diǎn)作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件可得即可得橢圓方程；
（2）先設(shè)切線的方程為，切線的方程為，由題意得環(huán)繞圓方程，由直線與圓相切及同解方程可得是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圓心在橢圓上得，由的范圍可得最終答案.
【小問1詳解】
由題意，得且，又，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】

設(shè)切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.
由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因?yàn)橹本€與“環(huán)繞圓”相切，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，
化簡得.
同理可得.
所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以.
又因?yàn)椤碍h(huán)繞圓”的圓心在橢圓上，所以代入橢圓方程中，
可得，解得.
所以.
又因?yàn)榍?，所以?
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范圍是.
選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)) ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）寫出直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；
（2）若將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值.
【答案】（1）直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消去參數(shù)t可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程先根據(jù)公式化為直角坐標(biāo)方程，再化為參數(shù)方程即可.
（2）利用參數(shù)方程，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)到直線的距離的最小值即可.
小問1詳解】
因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為(t為參數(shù)) ，曲線的極坐標(biāo)方程為，
消去參數(shù)，直線的普通方程為，
曲線的普通方程為：，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
【小問2詳解】
由（1）有：的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
由題意知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
所以可設(shè)點(diǎn)，又直線的普通方程為，
故點(diǎn)到直線的距離為：，
所以當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)到直線的距離的最小值為.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23. 已知函數(shù)．
解不等式；
若a、，，，證明：．
【答案】（1）.（2）見解析.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）用分段討論法解絕對(duì)值不等式．（2）由綜合法證明不等式，注意因式分解的應(yīng)用 ．
試題解析：（1）由得：，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
綜上，不等式的解集為.
（2）證明：，
因?yàn)?，，即，?br>所以 ，
所以，即，所以原不等式成立.
【點(diǎn)睛】
解絕對(duì)值不等式常用方法一是數(shù)形結(jié)合，二是分段討論，也就是找到每個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)再分段討論．

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