?成都石室中學(xué)高2023屆三診復(fù)習(xí)題6(理科)
班級(jí)______ 姓名______
一、選擇題
1．已知，則 （????）
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)，，則（????）
A．1 B． C．2 D．
3．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載；一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（????）
A．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺 B．春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的晷長相同
C．立春的晷長與立秋的晷長相同 D．立冬的晷長為一丈五寸
4．黨的二十大于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告中提出：積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．某村計(jì)劃安裝總裝機(jī)容量為200千瓦的光伏發(fā)電機(jī)，經(jīng)測算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電800度，若該村有村民300戶，從中隨機(jī)抽取50戶，得到其年用電量情況如直方圖所示，根據(jù)直方圖可得下列說法正確的是（????）
A．全村年用電量的眾數(shù)一定是500度
B．抽取50戶用電量的中位數(shù)小于其平均數(shù)
C．根據(jù)50戶用電量的平均值可以估計(jì)計(jì)劃安裝的光伏發(fā)電機(jī)組夠全村用電
D．全村用電量為度的概率約為0.0015
5.等差數(shù)列 中，，當(dāng) 取得最小值時(shí)，n的值為（????）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
6．已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，焦距為，則該雙曲線的虛軸長為（????）
A． B． C． D．
7．北京公交101路是北京最早的無軌電車之一，最早可追溯至1957年.游客甲與乙同時(shí)從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車，甲將在朝陽門外站之前的任意一站下車，乙將在神路街站之前的任意一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（?? ??）

A． B． C． D．
8．設(shè)，，，則（????）
A． B． C． D．
9．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，的最大值為（????）
A． B．12 C． D．36
10．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．


11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，，若，則的極值情況是（????）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極小值，也無極大值
12．如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐，則下列結(jié)論中正確的是（????）
①翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3
②存在某個(gè)點(diǎn)位置，滿足平面平面
③當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為
④當(dāng)時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為
A. ①③④ B.①③ C. ①②③ D. ①②③④


二、填空題
13．的展開式中的系數(shù)為______．
14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．
15．甲烷分子式為，其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個(gè)氫原子的正中間位置，四個(gè)碳?xì)滏I長度相等，用表示碳原子的位置，用表示四個(gè)氫原子的位置，設(shè)，則__________.
16．海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深（單位：米）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為，其中；然后，假設(shè)某貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是__________.
①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；
②若，貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；
③若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；
④若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大.


















三、解答題
17．某地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系基于五大發(fā)展理念構(gòu)建，包括創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)一級(jí)指標(biāo)．該地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)測算方法以2015年作為基期并設(shè)指數(shù)值為100，通過時(shí)序變化，觀察創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)值的變動(dòng)趨勢．分別計(jì)算創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分指數(shù)，然后合成為該地區(qū)區(qū)域發(fā)展總指數(shù)，如下圖所示．
若年份x（2015年記為，2016年記為，以此類推）與發(fā)展總指數(shù)y存在線性關(guān)系．
(1)求年份x與發(fā)展總指數(shù)y的回歸方程；
(2)若規(guī)定發(fā)展總指數(shù)大于115的年份為和諧發(fā)展年，和諧發(fā)展年中發(fā)展總指數(shù)低于130的視為良好，記1分，發(fā)展總指數(shù)大于130的視為優(yōu)秀，記2分，從和諧發(fā)展年中任取三年，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：回歸方程，其中，，，．













18. 在中，，D為中點(diǎn)， .
(1)若，求的長；(2)若 ，求的長.



























19．如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足.
(1)證明：直線平面；(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.

















20.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，P為C上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|PA|=|PO|，的面積為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)B為C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：
































21.已知函數(shù)，其中.
（1）證明：恒有唯一零點(diǎn)；
（2）記（1）中的零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，證明：圖象上存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).














22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；
(2)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線與曲線，分別交于異于極點(diǎn)的，兩點(diǎn)，求的面積．













23．（1）已知正數(shù)，，滿足，求證：；
（2）已知正數(shù)，，滿足，求證：．



















成都石室中學(xué)高2023屆三診復(fù)習(xí)題6(理科)
班級(jí)______ 姓名______
1．已知，則 （????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出集合A，根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即可得答案.
【詳解】由題意解，可得 ，
所以，
則，
故選：B.
2．已知復(fù)數(shù)，，則（????）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模長公式即可求解.
【詳解】∵，∴．
故選：B
3．我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載；一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（????）

A．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺
B．春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的晷長相同
C．立春的晷長與立秋的晷長相同
D．立冬的晷長為一丈五寸
【答案】C
【分析】根據(jù)所給條件結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行分析判斷即可得解.
【詳解】由題意知：設(shè)晷長為等差數(shù)列，公差為，
則，，解得.
∴相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長減少的量為一尺，故A正確.
秋分的晷長為：，春分的晷長為：75，
春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的晷長相同，故B正確.
立春的晷長為105，立秋的晷長為45，故C不正確.
立冬的晷長為：即為一丈五寸，故D正確.
故選：C.
4．黨的二十大于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告中提出：積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和，立足我國能源資源稟賦，堅(jiān)持先立后破，有計(jì)劃分步驟實(shí)施碳達(dá)峰行動(dòng)，深入推進(jìn)能源革命，加強(qiáng)煤炭清潔高效利用，加快規(guī)劃建設(shè)新能源體系，積極參與應(yīng)對(duì)氣候變化全球治理．在碳達(dá)峰碳中和背景下，光伏發(fā)電作為我國能源轉(zhuǎn)型的中堅(jiān)力量發(fā)展迅速．某村計(jì)劃安裝總裝機(jī)容量為200千瓦的光伏發(fā)電機(jī)，經(jīng)測算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電800度，若該村有村民300戶，從中隨機(jī)抽取50戶，得到其年用電量情況如直方圖所示，根據(jù)直方圖可得下列說法正確的是（????）

A．全村年用電量的眾數(shù)一定是500度
B．抽取50戶用電量的中位數(shù)小于其平均數(shù)
C．根據(jù)50戶用電量的平均值可以估計(jì)計(jì)劃安裝的光伏發(fā)電機(jī)組夠全村用電
D．全村用電量為度的概率約為0.0015
【答案】C
【分析】由頻率分布直方圖求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間內(nèi)的頻率，由此判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槌槿?0戶的年用電眾數(shù)為500，所以全村年用電眾數(shù)的估計(jì)值為500，
所以全村年用電眾數(shù)不一定等于500，所以A錯(cuò)誤．
由圖可知從左至右各組用電頻率分別為0.14，0.16，0.30，0.26，0.14，
則中位數(shù)為，
而平均數(shù)，
因?yàn)椋?br /> 所以抽取50戶用電量的中位數(shù)大于其平均數(shù)，所以B錯(cuò)誤．
全村估計(jì)年用電量為度，
年發(fā)電量約為度度，所以C正確．
由頻率分布直方圖可得，抽取的50戶中，用電量為度的戶數(shù)的頻率為，
所以全村用電量為度的戶數(shù)的概率約為，D錯(cuò)誤．
故選：C.
5.等差數(shù)列 中，，當(dāng) 取得最小值時(shí)，n的值為（????）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，可得通項(xiàng)公式，繼而求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)即可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則 ，
解得，則，
所以，
由于，故當(dāng)n取4或5時(shí)，取得最小值，
故選：A.
6．已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，焦距為，則該雙曲線的虛軸長為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，求出的值，即可得出雙曲線的虛軸長.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
由題意可知，可得，所以，，則，
因此，該雙曲線的虛軸長為.
故選：B.

7．北京公交101路是北京最早的無軌電車之一，最早可追溯至1957年.游客甲與乙同時(shí)從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車，甲將在朝陽門外站之前的任意一站下車，乙將在神路街站之前的任意一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，確定總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)之比即為所求概率.
【詳解】甲下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站，乙下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站、關(guān)東店站、東大橋路口西站.
所以甲、乙下車的所有情況共有種，
其中甲比乙后下車的情況有：
乙在小莊路口東站下車，甲可以在呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；
乙在呼家樓西站下車，甲可以在關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；
乙在關(guān)東店站下車，甲可以在東大橋路口西站、神路街站下車；
乙在東大橋路口西站下車，甲可以在神路街站下車；
共有10種.
故甲比乙后下車的概率為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于常考題型.
8．設(shè)，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)證明出，令，可以判斷出最??；利用作商法比較出，即可得到答案.
【詳解】設(shè).
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，且時(shí)，，即．
所以，，所以最小，
又因?yàn)?，所以．綜上可知，．
故選：B
9．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，的最大值為（????）

A． B．12 C． D．36
【答案】A
【分析】建立直角坐標(biāo)系，將數(shù)量積最大值問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解.
【詳解】去除不必要的線條和圖案，以E為原點(diǎn)，直線AD為x軸建立直角坐標(biāo)系如下圖：

則有 ，設(shè) ， ，
，其中 在圓D上，
令 ，則原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)z的最大值，
顯然當(dāng)圓D與直線 在x軸上方相切時(shí)z最大，
即 ；
故選：A.
10．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系和垂直關(guān)系可知四邊形為矩形，結(jié)合直線傾斜角大小可確定，由此利用表示出，結(jié)合橢圓定義可構(gòu)造齊次方程求得離心率.
【詳解】
記橢圓的左焦點(diǎn)為，
由對(duì)稱性可知：四邊形為平行四邊形，，
；
，，四邊形為矩形，，
又，，又，，
，，，
橢圓的離心率.
故選：C.
11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，，若，則的極值情況是（????）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極小值，也無極大值
【答案】C
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式由條件求，由此可得，再根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可.
【詳解】∵，∴．
取可得，，
由，令，得，
因?yàn)?，可得?br /> ∴，則，
∴．
令，則；
令，，
易知時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，
又，當(dāng)時(shí)， ，時(shí)，，
∴存在，，使得．
不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
∴既有極大值，又有極小值．
故選：C.
12．如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐，則下列結(jié)論中不正確的是（????）

A．翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3
B．存在某個(gè)點(diǎn)位置，滿足平面平面
C．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為
D．當(dāng)時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為
【答案】B
【分析】當(dāng)平面平面時(shí)，體積最大，求出底面積和高，即可求出最值，判斷A項(xiàng)；找出平面與平面所成的二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出，即可說明B項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)作，根據(jù)題意可得即為直線與平面所成的角.根據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)可推出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)果，得出C項(xiàng)；由已知可推得平面平面.設(shè)球心為，的外心為，點(diǎn)為等腰梯形的外心，可得四邊形為矩形，進(jìn)而求出即半徑的長，即可得出外接球的表面積.
【詳解】
如圖1，設(shè)，分別是，的中點(diǎn).則，，，且.
對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大. 的高為，四邊形為高為的梯形，梯形面積，體積，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)平面平面，則，有，，可得平面，即為平面與平面所成的二面角，由可知，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，如圖1，過點(diǎn)作，垂足為.由B分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即為直線與平面所成的角.由題意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可知，即，又，且，則平面，又平面，則平面平面.四棱錐的外接球球心為，的外心為，則平面.如圖2，易知點(diǎn)為等腰梯形的外心，則平面，
則四邊形為矩形，且，從而有，從而該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為，故D項(xiàng)正確.
故選：B.

13．的展開式中的系數(shù)為______．
【答案】80
【分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：
，
令，得，
則所求系數(shù)為.
故答案為：80.
14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．
【答案】-1
【分析】由，列出方程，求出的值.
【詳解】定義域?yàn)镽，
由得：，
因?yàn)?，所以，?
故答案為：-1
15．甲烷分子式為，其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個(gè)氫原子的正中間位置，四個(gè)碳?xì)滏I長度相等，用表示碳原子的位置，用表示四個(gè)氫原子的位置，設(shè)，則__________.
【答案】
【分析】設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，計(jì)算，根據(jù)余弦定理得到，再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】根據(jù)題意知三棱錐為正四面體，為正四面體外接球球心，
延長與平面相交于，則為的中心，連接，

設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，則，
平面，平面，故，
，
故，解得，
則，.
故答案為：

16．海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深（單位：米）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為，其中；然后，假設(shè)某貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減??；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是__________.
①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；
②若，貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；
③若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；
④若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大.
【答案】①④
【分析】根據(jù)船離海底距離為，解三角不等式可判斷①；由船離海底距離，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷②；船離海底距離，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可判斷③、④
【詳解】①不卸貨，則吃水恒為2米，
船離海底為，
當(dāng)時(shí)，，則，
解得，所以最多停留時(shí)間為小時(shí)，故①正確；
②立即卸貨，吃水深度，且，
解得，
此時(shí)船離海底，
，
所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
由，，
此段時(shí)間都可以?？?，
又，，故②錯(cuò)誤；
③與④，，，
，，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，船底離海底的距離最大.
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出船離海底距離的關(guān)系式，此題綜合性比較強(qiáng)，考查了知識(shí)的應(yīng)用能力以及計(jì)算能力.


17．某地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系基于五大發(fā)展理念構(gòu)建，包括創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)一級(jí)指標(biāo)．該地區(qū)區(qū)域發(fā)展指數(shù)測算方法以2015年作為基期并設(shè)指數(shù)值為100，通過時(shí)序變化，觀察創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)值的變動(dòng)趨勢．分別計(jì)算創(chuàng)新發(fā)展、協(xié)調(diào)發(fā)展、綠色發(fā)展、開放發(fā)展和共享發(fā)展5個(gè)分指數(shù)，然后合成為該地區(qū)區(qū)域發(fā)展總指數(shù)，如下圖所示．

若年份x（2015年記為，2016年記為，以此類推）與發(fā)展總指數(shù)y存在線性關(guān)系．
(1)求年份x與發(fā)展總指數(shù)y的回歸方程；
(2)若規(guī)定發(fā)展總指數(shù)大于115的年份為和諧發(fā)展年，和諧發(fā)展年中發(fā)展總指數(shù)低于130的視為良好，記1分，發(fā)展總指數(shù)大于130的視為優(yōu)秀，記2分，從和諧發(fā)展年中任取三年，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：回歸方程，其中，，，．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，

【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)求，，利用公式和參考數(shù)據(jù)求，，由此可得回歸方程；
（2）由條件確定隨機(jī)變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值.
【詳解】（1）由已知，
所以
又
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
∴．
（2）由題可知，和諧發(fā)展年有5個(gè)，其中計(jì)分為1分的年份有3個(gè)，計(jì)分為2分的年份有2個(gè)．
∴，，．
所以X的分布列為
X
3
4
5
P



數(shù)學(xué)期望為．


18. 在中，，D為中點(diǎn)， .
(1)若，求的長；
(2)若 ，求的長.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）設(shè)，由正弦定理求得，結(jié)合，以及，可推出，再由，推出，聯(lián)立解方程可得答案.
【詳解】（1）在中，，
則 ，
在中，
，
所以.
（2）設(shè)，
在和中，由正弦定理得，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又由，整理得：，②
聯(lián)立①②得，，即.，
解得或，
又，故，
所以.
19．如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足.

(1)證明：直線平面；
(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）延長和交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得到為中點(diǎn)，即可得到且，從而得到，即可得解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）證明：延長和交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
由，故，所以，所以，
所以，所以為中點(diǎn)，
又且，且，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則.
所以.
設(shè)平面的法向量，由，得，
取，
故所求角的正弦值為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

20.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，P為C上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|PA|=|PO|，的面積為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)B為C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：

21.已知函數(shù)，其中.
（1）證明：恒有唯一零點(diǎn)；
（2）記（1）中的零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，證明：圖象上存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).

22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；
(2)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線與曲線，分別交于異于極點(diǎn)的，兩點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）假設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)，即可得到，再由點(diǎn)在上即可求出的軌跡方程；
（2）首先求出及點(diǎn)到射線的距離，即可求出的面積.
【詳解】（1）解：假設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)，
由題意，因?yàn)?，所以?br /> 所以曲線的極坐標(biāo)方程為.
（2）解：由題意可得，
又因?yàn)榈缴渚€的距離，
所以.
23．（1）已知正數(shù)，，滿足，求證：；
（2）已知正數(shù)，，滿足，求證：．
【答案】（1）答案見解析 ；（2）答案見解析 ．
【分析】（1）利用基本不等式可得：，，兩式相加即可得證；
（2）變形，然后利用基本不等式即可得證．
【詳解】（1）證明：，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∵，∴．
（2）證明：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由，等號(hào)成立的條件是，，，
∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．

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