1. 下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．
【詳解】A，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；
B，，故該選項(xiàng)不符合題意；
C，無意義，不是二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；
D，，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2. 三邊分別為下列長(zhǎng)度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 5，12，13
C. 2，3，D. 12，16，20
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷，如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形．
【詳解】因?yàn)?2+（)2=3=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以A不符合題意；
因?yàn)?2+122=169=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以B不符合題意；
因?yàn)?2+（）2=10≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，所以C符合題意；
因?yàn)?22+162=400=202，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
3. 下列計(jì)算正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；利用二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、與不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B、與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；
C、原式，所以C選項(xiàng)不符合題意；
D、原式，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在中，．則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 32B. 16C. 21D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，然后可得的周長(zhǎng)．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴的周長(zhǎng)是：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．
5. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是勾股定理求兩點(diǎn)距離，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，軸于點(diǎn)，
，
，，
，
點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，
故選：B．
6. 下列說法中正確的是（ ）
A. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
B. 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
C. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
D. 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了菱形，矩形，正方形，平行四邊形的判定，根據(jù)特殊四邊形的判定定理逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】解：A. 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 對(duì)角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
7. 如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，則EF的長(zhǎng)是（ ）

A. 7B. 8C. 7D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】12和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，求出小正方形的邊長(zhǎng)7，即可利用勾股定理得出EF的值．
【詳解】∵AE=5，BE=12，即12和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，
小正方形的邊長(zhǎng)=12-5=7，
∴EF=；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
8. 如圖的數(shù)軸上，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為1，3，線段于點(diǎn)，且長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．若以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點(diǎn)，則點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及勾股定理．根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系解答即可.
【詳解】解：在直角三角形中，．
∴點(diǎn)P表示的數(shù)為．
故選：A．
9. 若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，由題意得出，求解即可得出答案，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
解得：，
故選：C．
10. 如圖，菱形中，，，過點(diǎn)作，且，連接、，交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為( )
A B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理；先證明出四邊形是矩形，進(jìn)而勾股定理求得的長(zhǎng)，證明，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求解．
【詳解】解：四邊形是菱形，，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
∴
∴
中，
∴
∴
∵菱形中，，
∴，
中，，
∴
故選：D．
二．填空題
11. 要使式子有意義，則x可取的一個(gè)數(shù)是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．
【詳解】解：∵式子有意義，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一個(gè)數(shù)，
故答案為：如4等（答案不唯一，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答的關(guān)鍵．
12. 如圖，在中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，先勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形中位線定理即可完成．
【詳解】解：在中，，，，
、分別是的中點(diǎn)，
是的中位線，
．
故答案為：．
13. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝120°，AD＝3，則AC的長(zhǎng)是_____．

【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分，則△BOC是等腰三角形；已知∠AOB＝120°，即可求出∠DBA＝30°，由AD＝3，可求出AC=BD=6．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，矩形的對(duì)角線相等且互相平分，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形．
又∵∠AOB＝120°，
∴∠DBA＝∠CAB=30°．
在Rt△DAB中，AD＝3，∠DBA=30°，
∴BD=2AD=6．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6．
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，對(duì)角線相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相關(guān)性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于D，則的長(zhǎng)為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出的面積和用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后利用面積公式即可計(jì)算出的長(zhǎng)．
【詳解】解：由題意可得，
的面積是：，
由勾股定理得，
∵是高，
∴，
解得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
15. 如圖，一架秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.5m（水平距離BC＝1.5m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1m，秋千的繩索始終拉直，則繩索AD的長(zhǎng)是 _____m．
【答案】2.5
【解析】
【分析】設(shè)繩索AD的長(zhǎng)為x m，則AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行線間距離處處相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
設(shè)繩索AD的長(zhǎng)為x m， 則AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即繩索AD的長(zhǎng)是2.5m，
故答案為：2.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在，上，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，將線段沿翻折得到線段，過點(diǎn)作于，連接．證明，推出，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，將線段沿翻折得到線段，過點(diǎn)作于，連接．

，，
由翻折可知，，，，
，
又，
的最小值就是線段的長(zhǎng)，
在中，，，，
則，
∴，，
，
的最小值為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題．
三、解答題
17. 計(jì)算：|
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先計(jì)算二次根式的乘法、化簡(jiǎn)二次根式、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算二次根式的加減法即可得．
【詳解】解：
18. 已知，，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了平方差公式和完全平方公式因式分解、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)；
（1）根據(jù)的值，可以求得的值，然后將所求式子變形，再計(jì)算即可；
（2）根據(jù)的值，可以計(jì)算出的值，然后即可求得所求式子的值．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，，
∴．
19. 如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是邊和上的點(diǎn)，且，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
20. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，BC=CD=2，AD=3，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．
【答案】四邊形ABCD的面積為1+．
【解析】
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀，然后利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：在△ACB中，∠B=90°，AB=1，BC=2，
∴AC= ，
在△ACD中，，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四邊形ABCD的面積=AB?BC+AC?CD
=×1×2+××2
=1+．
故四邊形ABCD的面積為1+．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面積計(jì)算公式的運(yùn)用，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，平分，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求四邊形面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)．
（1）由和平分可得，從而，進(jìn)而根據(jù)菱形的定義得證結(jié)論；
（2）由求出，進(jìn)而，，在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，即可求得的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式即可解答．
【小問1詳解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
∵四邊形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
22. 如圖，已知矩形．
（1）若點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，且，請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)E的位置，并將圖形補(bǔ)充完整；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，已知，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本考查了作線段，矩形的性質(zhì)，勾股定理；
（1）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由（1）可得，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：如圖，點(diǎn)即為求作的點(diǎn)；
理由如下，
根據(jù)作圖可得，
∴，
四邊形是矩形，
，
∴，
∴，
【小問2詳解】
解：∵四邊形是矩形，
，，，，
，，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
，
．
23. 我們新定義這樣一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形三邊長(zhǎng)分別是，和，因?yàn)?，所以這個(gè)三角形是常態(tài)三角形．
（1）若三邊長(zhǎng)分別是，和，試判斷是否為常態(tài)三角形，并說明理由；
（2）如圖，在中，，，，在上，且，若是常態(tài)三角形，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）是 （2）的長(zhǎng)為
【解析】
【分析】本題考查了新定義題，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)；
（1）根據(jù)常態(tài)三角形的定義判定即可；
（2）先證明是直角三角形，再由是常態(tài)三角形，分和兩種情況求出出的長(zhǎng)，從而解決問題．
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以此三角形是常態(tài)三角形．
【小問2詳解】
解：已知是常態(tài)三角形，分和兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)時(shí)，由，可得時(shí)，
解得：，
則，
在中，．
②當(dāng)時(shí)，由，可得，
解得：，
則，
在中，，
，不符合題意，舍去．
故的長(zhǎng)為．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，且頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別位于軸、軸上．若滿足．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）取的中點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)位于線段上，且．點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接．請(qǐng)你直接寫出線段長(zhǎng)度的最大值__________．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，算術(shù)平方根的非負(fù)性以及偶次冪的非負(fù)性求得的值，即可求解；
（2）證明，得到（），則，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大，進(jìn)而求解．
【小問1詳解】
解：∵滿足即．
∴，
∴，即
【小問2詳解】
與關(guān)于所在直線對(duì)稱，
，，
連接，
，
，，
設(shè)，，
在中，，即，
，
；
，，
，
同理，
，
，，
（），
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)；
【小問3詳解】
取的中點(diǎn)，連接，．
，
∴
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，則，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大，
則的最大值．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，已知正方形，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）如圖2，在（1）的條件下，平移圖1中線段，使A點(diǎn)與重合，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上點(diǎn)F處，連接，取中點(diǎn)，連接，求證：；
（3）如圖3，與相交于點(diǎn)O，當(dāng)， 時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）證明，即可求證；
（2）在上截取，如圖，則是等腰直角三角形，證明，可得，，從而得到，再利用三角形中位線定理，即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)D作交于點(diǎn)N，作，交延長(zhǎng)線于M，則四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意可得，，再證明，可得，再證明，可得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得x的值，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：在上截取，如圖，則是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴；
即；
【小問3詳解】
解：如圖3，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)N，作，交延長(zhǎng)線于M，則四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
即，
設(shè)，則，
在中，，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．

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