一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）
1．下列各式的計算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打開電視機，正在播放《開學第一課》B．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°D．買一張彩票，一定不會中獎
3．“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡丹開.”這是清朝袁枚所寫五言絕句《苔》，這首詠物詩啟示我們身處逆境也要努力綻放自己，要和苔花一樣盡自己所能實現(xiàn)人生價值，苔花也被稱為“堅韌之花”.袁枚所寫的“苔花”很可能是苔類孢子體的苞蔭，某孢子體的苞蔭直徑約為0.0000084m，將數(shù)據(jù)0.0000084用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，把一個含30°角的直角三角尺的一個頂點放在直尺的一邊上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．彈簧掛上物體后伸長，已知一彈簧的長度（cm）與所掛物體的質(zhì)量（kg）之間的關系如表，下列說法錯誤的是（ ）
A．在沒掛物體時，彈簧的長度為10cm
B．彈簧的長度隨物體的質(zhì)量的變化而變化，物體的質(zhì)量是因變量，彈簧的長度是自變量
C．在彈簧能承受的范圍內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量每增加1kg，彈簧的長度就增加2.5cm
D．在彈簧能承受的范圍內(nèi)，當物體的質(zhì)量為4kg時，彈簧的長度為20cm
6．下列說法中正確的個數(shù)有（ ）
（1）兩直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.
（2）鈍角三角形三內(nèi)角的平分線的交點不一定在三角形內(nèi)部.
（3）相等的角是對頂角.
（4）銳角三角形的任意兩個內(nèi)角的和大于90°
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．如圖，在中，，.按以下步驟尺規(guī)作圖：①以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交和的延長線于點，.②分別以，為圓心，同樣的長為半徑畫弧，兩弧交于點.③作射線.則的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．如圖，在長方形中，動點從出發(fā)，以一定的速度，沿方向運動到點處停止（提示：當點在上運動時，點到的距離始終等于和）.設點運動的路程為，的面積為，如果與之間的關系如圖所示，那么長方形的面積為（ ）
A．6B．9C．15D．18
9．小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，小麗兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在處接住她后用力一推，爸爸在處接住她.若點距離地面的高度為1.5m，點到的距離為1.7m，點距離地面的高度是1.6m，，則點到的距離為（ ）
A．1mB．1.6mC．1.4mD．1.8m
10．如圖，在中，，平分交于點，平分交于點，、交于點.則下列說法正確的個數(shù)為（ ）
①；②，③若，則；④；⑤.
A．2個B．3個C．4個D．5個
二、填空題（共5題，每題3分，共15分）
11．如圖所示的計算程序中，與之間的關系式是__________.
12．已知是一個完全平方式，則的值是：__________.
13．如圖，，要利用“”得到，需要增加的一個條件是__________.
14．如圖，在中，邊上的高，點為上的點，且，若，則圖中陰影部分面積為__________.
15．如圖，點在線段上，于，于.，且cm，cm，點以2cm/s的速度沿向終點運動，同時點以3cm/s的速度從開始，在線段上往返運動（即沿運動），當點到達終點時，，同時停止運動.過，分別作的垂線，垂足為，.設運動時間為s，當以，，為頂點的三角形與全等時，的值為__________.
三、解答題（共7題，共55分）
16．（8分）（1）（4分）計算：；
（2）（4分）先化簡，再求值：，其中，.
17．（7分）如圖反映的是小華從家里跑步去體育館，在那里鍛煉了一段時間后又走到文具店去買筆，然后散步回家，其中（分）表示時間，（千米）表示小華離家的距離.根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）（2分）體育館距離小華家__________千米，小華在體育館鍛煉了__________分鐘；
（2）（2分）體育館距離文具店__________千米，小華在文具店買筆用了__________分鐘；
（3）（3分）小華從家跑步到體育館，從文具店散步回家的速度分別是多少千米/小時？
18．（8分）如圖，、在上，且，，，求證：與互相平分，且.補全下面的解題過程：
證明：，
__________＝__________，即，
在和中，
（__________________），
.
（__________________）.
在和中，
（__________________），
，，即與互相平分.
19．（6分）在一個不透明的口袋中裝有白、紅、黑三種顏色的小球，其中白球3個，紅球3個，黑球2個，它們除了顏色外其他都相同.
（1）（2分）從袋中隨機摸出1個球，摸出白球的概率是___________；
（2）（2分）從袋中隨機摸出1個球，摸出黑球的概率是___________；
（3）（2分）向袋中加入___________個黑球，可以使摸出紅球的概率變?yōu)?
20．（8分）如圖，，，點在邊上，，和相交于點.
（1）（4分）求證：；
（2）（4分）若，求的度數(shù).
21．（8分）閱讀下列材料，解決相應問題：
（1）（1分）36和84___________“友好數(shù)對”.（填“是”或“不是”）
（2）（4分）為探究“友好數(shù)對”的本質(zhì)，可設“友好數(shù)對”中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且；另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且，則，，，之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整；
解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對”中的兩個數(shù)分別表示為和，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后兩個數(shù)依次表示為___________和___________.
因為它們是友好數(shù)對，所以___________.
即，，，的等量關系為：__________.
（3）（3分）若有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，另一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為.且這兩個數(shù)為“友好數(shù)對”，求出這兩個兩位數(shù).
22．（10分）在學習全等三角形知識時，數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”.這個數(shù)學興趣小組進行了如下操作：
（1）（2分）如圖1，在和中，，，，連接，，當點落在邊上，且，，三點共線時，則在這個“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度數(shù)為____________.
（2）如圖2，已知，分別以、為直角邊向兩側作等腰直角和等腰直角，其中，連接、，線段和交于點.
①（4分）證明：且；
②（4分）若與在同一直線上，如圖3，延長與交于點，連接并延長，的延長線與邊交于點，且，若和的面積之和為20，的面積為6，求線段的長.
2023-2024學年深圳外國語學校七年級（下）期中
數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題）
1.【解答】解：A、，故此選項錯誤；
B、，無法合并，故此選項錯誤；
C、，故此選項錯誤；
D、，正確；
故選：D.
2.【解答】解：A、打開電視機，正在播放《開學第一課》，是隨機事件，不符合題意；
B、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；
C、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件，符合題意；
D、買一張彩票，一定不會中獎，是隨機事件，不符合題意；
故選：C.
3.【解答】解：0.0000084用科學記數(shù)法表示為.
故選：B.
4.【解答】解：直尺的對邊平行，
，
.
故選：D.
5.【解答】解：根據(jù)條件，可列關系式為：.
A.在沒掛物體時，彈簧的長度為10cm，根據(jù)圖表，當質(zhì)量時，，故此選項正確，不符合題意；
B、反映了所掛物體的質(zhì)量和彈簧的長度之間的關系，所掛物體的質(zhì)量是自變量；彈簧的長度是因變量，故此選項錯誤，符合題意；
C.在彈簧能承受的范圍內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量每增加1kg，彈簧的長度就增加2.5cm，故此選項正確，不符合題意；
D、由關系式m，解得，在彈簧的彈性范圍內(nèi)，故此選項正確，不符合題意；
故選：B.
6.【解答】解：（1）兩平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故該說法不正確；
（2）鈍角三角形三內(nèi)角的平分線的交點一定在三角形內(nèi)部，故該說法不正確；
（3）相等的角不一定是對頂角，故該說法不正確；
（4）銳角三角形的任意兩個內(nèi)角的和大于90°，故該說法正確.
故選：A.
7.【解答】解：，，
，
由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，
.
故選：A.
8.【解答】解：由題意可知，當點從點運動到點時，的面積不變，結合圖象可知，當點從點運動到點時，的面積逐漸變小直到為0，結合圖象可知，
長方形的面積為：.
故選：D.
9.【解答】解：點距離地面的高度為1.5m，點距離地面的高度是1.6m，
點距離地面的高度為1.5m，點距離地面的高度是1.6m，
（m），
，
，
，
又由題意可知，，
，
m，，
（m），
點到的距離為1.8m，
故選：D.
10.【解答】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正確；
②當是的中線時，，
而平分，故②錯誤；
③如圖，延長至，使，連接，
，
，
，
，
，，
為角平分線，
，
，
，
，
，故③正確；
④如圖，作的平分線交于點.
由①得，
，
，
，
，，
，，
，，
，故④正確；
⑤過作，于點，，
由④知，為的角平分線，
，
，
，，
，故⑤正確.
綜上所述：正確的有①③④⑤，共4個，
故選：C.
二、填空題（共5小題）
11.【解答】根據(jù)圖示可知，與之間的函數(shù)關系為：，
故答案為：.
12.【解答】解：是一個完全平方式，
，
，
故答案為：4.
13.【解答】需要增加的一個條件是.
，
，
即，
在和中，
.
故答案為：.
14.【答案】20.
【解答】解：，
，
故答案為：20.
15.1或.
【解答】解：當點在上，點在上時，以，，為頂點的三角形與全等，
，
，
，
當點在上，點第一次從點返回時，以，，為頂點的三角形與全等，
，
，
，
綜上所述，的值為1或.
16.（1）【解答】解：原式；
（2）【分析】原式先利用完全平方公式、單項式乘多項式、平方差公式展開，再合并同類項即可化簡，最后把、的值代入計算可得.
【解答】解：原式.
當、時，
原式
.
17.（1）（2分）體育館距離小華家2.5千米，小華在體育館鍛煉了15分鐘；
（2）（2分）體育館距離文具店1千米，小華在文具店買筆用了20分鐘；
（3）（3分）小華從家跑步到體育館，從文具店散步回家的速度分別是多少千米/小時？
【分析】（1）根據(jù)觀察函數(shù)圖象的縱坐標，可得距離，觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得時間；
（2）根據(jù)觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得體育館與文具店的距離，觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得在文具店停留的時間；
（3）根據(jù)觀察函數(shù)圖象的縱坐標，可得路程，根據(jù)觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得回家的時間，根據(jù)路程與時間的關系，可得答案。
【解答】解：（1）由縱坐標看出體育館距離小華家2.5千米，由橫坐標看出小華在體育館鍛煉了15分鐘；
故答案為：2.5；15.
（2）由縱坐標看出體育館距離文具店（千米），由橫坐標看出小華在文具店買筆用了（分）.
故答案為：1：20.
（3）小華從家跑步到體育館的速度為（千米小時），
小華從文具店散步回家的平均速度是（千米/小時）.
答：小華從家跑步到體育場的速度為10千米/小時；小華從文具店散步回家的速度為千米/小時.
（兩個算式各1分，答1分）
18.【分析】先證得，再證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明與互相平分.
【解答】證明：，
即，
在和中，
，
.
在和中，
，
，，
即與互相平分.
19.【分析】（1）根據(jù)概率公式計算，即可得到答案；
（2）根據(jù)概率公式計算，即可得到答案；
（3）設向袋中加黑球的數(shù)量為，結合概率公式，通過求解分式方程，即可得到答案.
【解答】（每空2分）解：（1）根據(jù)題意，小球共個，
從袋中隨機地摸出1個球，共8種情況，
白球3個，
從袋中隨機地摸出1個球，摸出白球的概率；
（2）結合（1）的結論，得：從袋中隨機地摸出1個球，共8種情況，
黑球2個，
從袋中隨機地摸出1個球，摸出黑球的概率；
（3）設向袋中加黑球的數(shù)量為，
從袋中隨機地摸出1個球，共種情況，
摸出紅球的概率為，且紅球3個，
，
，
時，，
是方程的解，
向袋中加4個黑球，可以使摸出紅球的概率變?yōu)?
20.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何圖形.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；
（2）由（1）可知：，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；
【解答】（1）證明：和相交于點，
.
在和中，
，.
又，
，
.
在和中，
.
（2），
，.
在中，
，，
，
.
【點評】本題考查全等三角形，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.
21.（1）（1分）36和84是“友好數(shù)對”.（填“是”或“不是”）
（2）（4分）為探究“友好數(shù)對”的本質(zhì)，可設“友好數(shù)對”中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且；另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且，則，，，之間存在一個等量關系，其探究和說理過程如下，請你將其補充完整；
解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對”中的兩個數(shù)分別表示為和，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后兩個數(shù)依次表示為和.
因為它們是友好數(shù)對，所以.
即，，，的等量關系為：.
（3）（3分）若有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，另一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為.且這兩個數(shù)為“友好數(shù)對”，求出這兩個兩位數(shù).
【分析】（1）計算和，根據(jù)定義判斷；
（2）利用“十位數(shù)字個位數(shù)字”表達出交換后的兩位數(shù)，結合友好數(shù)對的的定義列出等量關系，并化簡；
（3）根據(jù)“”得，解方程得到，寫出兩個兩位數(shù).
【解答】解：（1），，
，
和84是友好數(shù)對.
故答案為：是.
（2）一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為；另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
交換后十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，另一個的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
兩個數(shù)依次表示為，，
這兩個數(shù)是友好數(shù)對，
，
化簡得：.
故答案為：，，，.
（3）由（2）得：，
解得：，
兩個兩位數(shù)為：31和39.
22.【解答】（1）如圖1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案為：，40°；
（2）①和均為等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
②和的面積之和為20，和均為等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
的面積為6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
.物體的質(zhì)量（kg）
0
1
2
3
4
5
彈簧的長度（cm）
10
12.5
15
17.5
20
22.5
“友好數(shù)對”
已知兩個兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數(shù)為“友好數(shù)對”.例如，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對”.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
B
A
A
D
D
C

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