湖北省武漢市武昌區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 若二次根式有意義，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到不等式，求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴a+2≥0，
∴a≥?2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2. 下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，能熟記最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．
【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，
B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意，
C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，
D、不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
故選：B．
3. 下列計(jì)算中，正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】解：A、與不是同類二次根式不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，本選項(xiàng)正確；
C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B.
4. 用下列長(zhǎng)度的線段首尾相連構(gòu)成三角形，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 9，16，25B. 5，4，3C. 0.6，0.8，1D. 5，13，12
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可解答．
【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
5. 如圖，一根長(zhǎng)為8米的豎直木桿在離地面3米的處折斷，則木桿頂點(diǎn)落在地面離木桿底端處的距離的長(zhǎng)為（）
A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查勾股定理解直角三角形，正確理解題意進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知，米，米，
則米，
在中，米，
故選：C．
6. 如圖，在中，已知，，若平分交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可以推導(dǎo)出等角，進(jìn)而得到等腰三角形，推得，根據(jù)、的值，求出的長(zhǎng)．在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
7. 已知，菱形的周長(zhǎng)為，其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則菱形的面積（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積，可求，，由菱形的面積為對(duì)角線乘積的一半，即可求解．掌握性質(zhì)及面積求法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
四邊形是菱形，且周長(zhǎng)是，，
，，，，
在中，，
，
菱形的面積：，
故選：D．
8. 如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為的形狀，并使其面積變?yōu)榫匦蚊娣e的一半，則的最小內(nèi)角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、面積的計(jì)算以及等邊三角形的判定及性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可知在中，，取中點(diǎn)，連接，可證得為等邊三角形，可知，則．熟練掌握平行四邊形和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵平行四邊形的面積為矩形的一半且同底，
∴平行四邊形的高是矩形寬的一半．
在中，，
取中點(diǎn)，連接，則，
∴，則為等邊三角形，
∴，則．
故選：A．
9. 如圖，點(diǎn)為中邊中點(diǎn)，為中點(diǎn)，交于，若，，，則的長(zhǎng)為（）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，證明，得到，證明，由相似三角形的性質(zhì)得到，，延長(zhǎng)到點(diǎn)H，令，證明四邊形是平行四邊形，得到，，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理得到，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N，證明，得到，由三線合一得到是等腰三角形，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，
∵為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
延長(zhǎng)到點(diǎn)H，令，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，
則，，
∴，
解得：
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N，
則，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，注意在有中線的題目里，倍長(zhǎng)中線是常見(jiàn)的輔助線作法．
10. 已知在中，，平分，且滿足，則下列四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理可得，即可證得，延長(zhǎng)至，使得，連接，，過(guò)點(diǎn)作交于，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，，可證，得，則，則，由，知，可知，則，得，可證，在上取，可知，得，，則，過(guò)點(diǎn)作交于，則為等腰直角三角形，易證，再結(jié)合，，得，可證得，可得，類比此法，在取，則為等腰直角三角形，可證得，進(jìn)而可得．
【詳解】解：在中，，
∵，
∴，則，故①正確；
延長(zhǎng)至，使得，連接，，
過(guò)點(diǎn)作交于，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，，
∴，則，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，則，
∴為等腰直角三角，則，
又∵，
∴，
∴，則，
即：，
∴，故③正確；
由上可知，則，
上取，可知，
∴，，則，
過(guò)點(diǎn)作交于，則為等腰直角三角形，
∴，，則，
又∵，，
∴，
∴，則，
∴，故②正確；
在取，則為等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正確；
綜上，正確的有①②③④，共4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11. 計(jì)算：__________，__________，__________.
【答案】 ①. ②. ③. ##
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分母有理化法則分別計(jì)算即可.
【詳解】解：，，
故答案為：，，
12. 已知是正整數(shù)，是整數(shù)，請(qǐng)寫一個(gè)符合題意的的值__________.
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式．根據(jù)二次根式的意義，結(jié)合題意，求出一個(gè)符合題意的值，即可．
【詳解】解：∵是整數(shù)，
∴符合題意，
故答案是：2（答案不唯一）．
13. 如圖，在正方形外側(cè)作等邊，連接，，則為__________度．
【答案】30
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)可得，，，由等邊三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而求得，的度數(shù)即可．掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在正方形中，，，
則，
在等邊中，，，
則，，
∴，
∴，
故答案為：30．
14. 如圖，沿方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線上湖的另一邊的處同時(shí)施工.取，米，米，則，兩點(diǎn)的距離是__________米.
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出，再求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)勾股定理分別求出，即可求解．
詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
，
，
∵米，
米，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴米．
故答案為：．
15. 已知，則代數(shù)式的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算和求代數(shù)式的值，代數(shù)式變形后，代入字母的值，按照二次根式的運(yùn)算法則和順序進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
故答案為：
16. 如圖，在正方形中，，，，分別為，，上的點(diǎn)，連接，，若，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】作，，證明，，得到，在中，應(yīng)用勾股定理，即可求解，
本題考查了，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，兩點(diǎn)之間，線段最短，解題的關(guān)鍵是：構(gòu)造全等三角形得到．
【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴的最小值為的長(zhǎng)度，
在中，，，
故答案為：．
三、解答題（共8小題，共72分）
17. 計(jì)算：
（1）；
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算．
（1）先化簡(jiǎn)各式，再進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
原式
．
18. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：
（1）根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可；
（3）根據(jù)（1）（2）所求，利用整體代入法求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，
∴．
19. 如圖，將的對(duì)角線向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)和點(diǎn)，且使．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形為菱形．（不需要說(shuō)明理由）
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）連接交于，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論；
（2）添加條件為：，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接交于，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
又∵，
∴，即：，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
添加條件為：，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形為菱形．
20. 傍晚，子涵同學(xué)去小區(qū)遛狗，她觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時(shí)，牽繩的手離地面高度為米，小狗的高米，小狗與子涵的距離米．（繩子一直是直的）
（1）此時(shí)，牽狗繩的長(zhǎng)為_________米；
（2）子涵將手上的小球扔至3.2米遠(yuǎn)的處，若她站著不動(dòng)，將牽狗繩放長(zhǎng)至3.5米，則小狗能否將小球撿回來(lái)?請(qǐng)說(shuō)明理由．（假設(shè)小狗碰到球就能將球撿回來(lái)）
【答案】（1）2.6 （2）小狗能將小球撿回來(lái)，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定及性質(zhì)，理解并掌握勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)作，由題意可知四邊形是矩形，得米，米，則米，在中，由勾股定理即可求解；
（2）當(dāng)小狗跑至?xí)r，米，過(guò)點(diǎn)作，由題意可知四邊形是矩形，得米，米，則米，在 Rt△BNF 中， BN=√11.24 米，比較于3.5的大小即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作，由題意可知四邊形是矩形，
∴米，米，則米，
在中，米，
故答案為：2.6；
【小問(wèn)2詳解】
小狗能將小球撿回來(lái)，理由如下：
當(dāng)小狗跑至?xí)r，米，過(guò)點(diǎn)作，由題意可知四邊形是矩形，
∴米，米，則米，
在中，米，
而，
∵
∴小狗能將小球撿回來(lái)．
21. 如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中，，，，都是格點(diǎn)，是上一點(diǎn).僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．

（1）如圖1，請(qǐng)你在內(nèi)部作出格點(diǎn)，使，延長(zhǎng)與正方形的一邊交于點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏险尹c(diǎn)，使值最??；
（2）如圖2，先畫點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，再畫出的中點(diǎn)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）取格點(diǎn)，延長(zhǎng)與正方形的一邊交于點(diǎn)，由正方形的對(duì)稱性，取格點(diǎn)，連接，交于，即為所求；
（2）取格點(diǎn)，連接，取格點(diǎn)，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，即為所求．
【小問(wèn)1詳解】
解：取格點(diǎn)，由勾股定理可知，，
延長(zhǎng)與正方形的一邊交于點(diǎn)，
由正方形的對(duì)稱性，取格點(diǎn)，連接，交于，
則，
∴，
如圖，即為所求；
【小問(wèn)2詳解】
取格點(diǎn)，可知，，且，
∴四邊形為平行四邊形，
連接，取格點(diǎn)，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，則，
又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
∴，則，
∴，則：點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴為三條中線的交點(diǎn)，
∴是中邊上的中線，
∴為的中點(diǎn)，
如圖所示，即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，格點(diǎn)作圖，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
22. 如圖，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．
（1）當(dāng)________秒時(shí)，；
（2）當(dāng)________秒時(shí)，；
（3）當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）或7
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)定理．
（1）由題意可知，，，，則，若，則四邊形是平行四邊形，可知，由此列出方程即可求解；
（2）由題意可知，，，則為等腰直角三角形，作，則為等腰直角三角形，可知，即：，若，則，可知四邊形是平行四邊形，得，由此列出方程即可求解；
（3）由題意可知，，則，當(dāng)時(shí)，，若，則四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，若，則四邊形是平行四邊形，分別列出方程即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，，，，
∴，，，則，
若，則四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，則，
∴，解得：，
即：當(dāng)秒時(shí)，；
故答案為：3；
【小問(wèn)2詳解】
∵，，，
∴，，則為等腰直角三角形，
∴，
作，則等腰直角三角形，
∴，則，即：，
若，則，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，則，
∴，解得：，
即：當(dāng)秒時(shí)，；
故答案為：；
【小問(wèn)3詳解】
∵，，，，
∴，，，，則，
∵，，則，
當(dāng)時(shí)，，
若，則四邊形是平行四邊形，
即：，解得：；
當(dāng)時(shí)，，
若，則四邊形是平行四邊形，
即：，解得：；
綜上，當(dāng)或7時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
23. 問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：梓航在學(xué)完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中有一種很好的勾股定理的證法：如圖1，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過(guò)證明，的方法來(lái)證明勾股定理.
愛(ài)思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論，如圖2，若以的直角邊，為邊向外任意作，，斜邊上的，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，直線被所截線段為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立.請(qǐng)你幫他完成證明.

問(wèn)題證明：
（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖3，當(dāng)四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，且時(shí)，求證：，（按梓航的分析，完成填空）
分析：過(guò)作交直線，于，，過(guò)作交，于，；
可證；同理可證；
另外易得________________
可得成立.
（2）再探究一般情形，如圖2，當(dāng)四邊形，四邊形，四邊形均為平行四邊形，且時(shí)，求證：.
問(wèn)題探索：
（3）將圖2特殊化，如圖4，若，，，，且，請(qǐng)你直接寫出的值_______________（用含，的式子表示）.
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知得出，，，直接可得；
（2）過(guò)分別作的垂線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)為矩形的面積和，根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解；
（3）連接，取中點(diǎn)，連接，得過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，得出，過(guò)點(diǎn)作，則四邊是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得出，，則，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，
∴，
故答案為：．
（2）如圖所示，過(guò)分別作的垂線，
∵，，
∴
∴，
同理可得
由（1）可得
∴
（3）如圖所示，連接，取中點(diǎn)，連接，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則
∴
∴
∴
∵，，四邊形是平行四邊形，
∴
∴
∴
又
∴
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，則四邊是平行四邊形，
∴
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵
∴
又∵
∴，則
∴，，
∴
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為矩形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為邊上一點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)時(shí)．
分別求出，的值；
連接，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，，求出的度數(shù)；
（2）如圖，在上取點(diǎn)，使，若，，，則請(qǐng)直接寫出的值____________．
【答案】（1），；；
（2）．
【解析】
【分析】（）由得，再根據(jù)，，則，從而求出的值即可；
過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)證明是的平分線，再證明和即可求解；
（）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)，作，，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，角所對(duì)直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
由，要使有意義則，
∵，，
則，
∴，解得，
∴；
如圖，過(guò)作于點(diǎn)，
由折疊性質(zhì)可知：，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即是的平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)，作，，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，，
∴，，
在和中，由勾股定理得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式非負(fù)性，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形與折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

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