注意事項(xiàng)：
1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲種雜交水稲近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差
B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)
C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)
D.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差
5.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，則（ ）
A. B. C. D.
7.已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
8.已知函數(shù)，則下列說法中不正確的是（ ）
A.的最小正周期為
B.的最大值為
C.在區(qū)間上單調(diào)遞增
D.
9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若，則（ ）
A. B.
C.函數(shù)的周期為2 D.
10.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，若，則平面截正方體所得截面的面積為（ ）
A. B. C. D.
11.榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
12.已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長線?線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓的圓心為.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有__________種.
14.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則__________.
15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，點(diǎn)是的中點(diǎn).若，且，則__________.
16.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列滿足：.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求正整數(shù)的最大值.
18.（本小題滿分12分）
學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲?乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲?乙獲得冠軍的概率分別記為.
（1）判斷甲?乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（若，則認(rèn)為甲?乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；
（2）用表示教師甲的總得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，.
（1）求證：平面；
（2）若直線與平面的夾角為，求的值.
20.（本小題滿分12分）
過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸，則的面積為2，其中為原點(diǎn).
（1）求拋物線的方程；
（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)時(shí)，的面積為.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
21.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（二）選考題：共10分.考生從22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)是曲線上的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值.
23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）記函數(shù)的最小值為，若正數(shù)滿足，證明：.
銅川市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試
數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.A 【解析】依題意，由，可得，當(dāng)時(shí)，符合題意，應(yīng)選項(xiàng)；當(dāng)或2時(shí)，不符合集合中元素的互異性，從而排除項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，從而排除項(xiàng).
2.D 【解析】復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選D項(xiàng).
3.A 【解析】易知，令，解得，故，即，從而，從而的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A項(xiàng).
4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故A正確；，，故B正確；甲種的樣本中位數(shù)為10.0，乙種的樣本中位數(shù)為10.0，故C正確.
，
，
顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故D錯(cuò)誤.
5.C 【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，
解得.故選C項(xiàng).
6.A 【解析】，.故選A.
7.C 【解析】若，根據(jù)糖水不等式可得，充分性得證；
若，則，即，故，必要性得證.
8.C 【解析】依題意，則函數(shù)的最大值為，最小值正周期為，從而可排除選項(xiàng).
，即，故在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項(xiàng).
為偶函數(shù)，從而，從而可排除D選項(xiàng).
9.D 【解析】為奇函數(shù)，，
又為偶函數(shù)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.
即函數(shù)的周期為4，即C項(xiàng)錯(cuò)誤.
由，令，得，即B項(xiàng)錯(cuò)誤.
又，故選D項(xiàng).
10.D 【解析】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，
過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，易知點(diǎn)都在截面內(nèi)，且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為的正六邊形，所求面積.故選D.
11.C 【解析】如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.
取的中點(diǎn)，連接，
又，則.
由對(duì)稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.
設(shè)球的半徑為，則，且，
從而，即，
當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，
從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.
當(dāng)點(diǎn)在線段外時(shí)，，解得（舍）.
故所求外接球的體積.故選項(xiàng).
12.A 【解析】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心在的角平分線上.
如圖，設(shè)圓與軸的切點(diǎn)分別為，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，公切點(diǎn)也在的角平分線上，則，
由橢圓的定義知，則，
，
，
.
又圓與圓的面積之比為圓與圓的半徑之比為3，
，即，故橢圓的離心率.
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.240 【解析】先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有種方法，
然后將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn)，有種方法，
由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同的游玩方式.
14. 【解析】由，得，由為外接圓的圓心，得，如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故.
15. 【解析】，
又，
.
為的一條中線，，
，即，解得，或（舍）.
由余弦定理得.
16. 【解析】，
令，得.
令，則.
令，則，即，即.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
，
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第11~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
兩式相減，得，
，
顯然也符合上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整數(shù)的最大值為15.
18.解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為，
則教師甲獲得冠軍的概率
，
則教師乙獲得冠軍的概率，
，
，
甲?乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.
（2）易知的所有取值為，
，
，
，
，
則的分布列為：
.
19.解：（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，
四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，，
平面平面平面.
（2）易知兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
，
設(shè)，則.
.
設(shè)平面的法向量為，
則即令，則.
又直線與平面的夾角為，
，解得.
.
20.解：（1）根據(jù)拋物線概念易知，
直線垂直于軸，
不妨設(shè)，代入，可得，
.
，解得.
拋物線的方程為.
（2）由（1）易知拋物線的準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率等于0時(shí)，不符合題意；
故可設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立消去得，
，得，
由韋達(dá)定理得，
，
，
.
，
原點(diǎn)到直線的距離，
，解得.
.
存在點(diǎn)，符合題目要求.
21.解：（1）當(dāng)時(shí)，，
.
，
所求切線方程為，即.
（2）函數(shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程有正根，
即有解，
令，則.
令，則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
又，
存在，使得.
，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
又，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，即.
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（二）選考題：共10分.考生從22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22.解：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
消去參數(shù)可得，即，
又由
可得，
曲線的極坐標(biāo)方程為.
（2）由（1）易知曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
曲線是以為圓心，半徑為5的圓，且過原點(diǎn)，
又過圓心，且為直角三角形.
.
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
面積的最大值為25.
23.解：（1）
不等式等價(jià)于或或
解得或或.
不等式的解集為.
（2）由（1）易知，即，
方法一：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
方法二：，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.-15
0
15
30
0.096
0.352
0.408
0.144

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