一、選擇題
1．若，則( )
A.B.C.D.
2．已知全集，集合，則( )
A.B.C.D.
3．已知，，則向量在向量方向上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．若函數(shù)滿足，則( )
A.0B.1C.2D.-1
5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則( )
A.19B.22C.25D.27
6．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M為拋物線與橢圓的公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．溶液酸堿度是通過來計(jì)量的.的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.例如純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，則純凈水的是7.當(dāng)時(shí)，溶液呈酸性，當(dāng)時(shí)，溶液呈堿性，當(dāng)(例如：純凈水)時(shí)，溶液呈中性.我國規(guī)定飲用水的值在之間，則下列選項(xiàng)正確的是( )(參考數(shù)據(jù)：取)
A.若蘇打水的是8，則蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升
B.若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是
C.若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的是
D.若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則該種水適合飲用
10．?dāng)S一枚骰子，記事件A：擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；事件B：擲出的點(diǎn)數(shù)大于2.則下列說法正確的是( )
A.B.
C.D.
11．如圖，在長方體中，，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.直線平面
B.三棱錐的體積為
C.三棱錐的外接球的表面積為
D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
12．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線C.則下列說法正確的是( )
A.曲線C的方程為
B.若直線與曲線C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是
C.當(dāng)O，A，P三點(diǎn)不共線時(shí)，若點(diǎn)，則射線平分
D.過曲線C外一點(diǎn)作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為M，N，則直線過定點(diǎn)
三、填空題
13．已知，則______.
14．2023年12月6日上午，2023世界5G大會(huì)在鄭州國際會(huì)展中心拉開帷幕.世界5G大會(huì)是全球5G領(lǐng)域國際性盛會(huì)，也是首次在豫舉辦.本次大會(huì)以“5G變革共繪未來”為主題，以持續(xù)推動(dòng)5G不斷演進(jìn)創(chuàng)新為目標(biāo).現(xiàn)場(chǎng)邀請(qǐng)全球有影響力的科學(xué)家、企業(yè)家、國際組織負(fù)責(zé)人等參會(huì)，并進(jìn)行高層次、高水平交流研討.為確保大會(huì)順利進(jìn)行，面向社會(huì)招聘優(yōu)秀志愿者，參與大會(huì)各項(xiàng)服務(wù)保障工作.現(xiàn)從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務(wù)組”、“物料組”、“機(jī)動(dòng)組”四個(gè)不同的崗位工作，每人去一個(gè)組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有______種.(用數(shù)字作答)
15．已知是正四面體的外接球的一條直徑，點(diǎn)P在正四面體表面上運(yùn)動(dòng)，正四面體的棱長是2，則的取值范圍為______.
16．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是______.
四、解答題
17．某自行車廠為了解決復(fù)合材料制成的自行車車架應(yīng)力不斷變化問題，在不同條件下研究結(jié)構(gòu)纖維按不同方向及角度黏合強(qiáng)度，在兩條生產(chǎn)線上同時(shí)進(jìn)行工藝比較實(shí)驗(yàn)，為了比較某項(xiàng)指標(biāo)的對(duì)比情況，隨機(jī)地抽取了部分甲生產(chǎn)線上產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的p值，并計(jì)算得到其平均數(shù)，中位數(shù)，隨機(jī)地抽得乙生產(chǎn)線上100件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的值，并繪制成如下的頻率分布直方圖.
(1)求乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)p值的平均數(shù)與中位數(shù)y(每組值用中間值代替，結(jié)果精確到0.01)，并判斷乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)p值是否更好(如果，則認(rèn)為乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)p值較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)p值更好，否則不認(rèn)為更好).
(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，抽出指標(biāo)p值不小于70的產(chǎn)品個(gè)數(shù)用X表示，求X的數(shù)學(xué)期望與方差.
18．已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.
(1)求角A的值；
(2)若點(diǎn)D滿足，且，求的值.
19．如圖，在五面體中，底面為平行四邊形，平面，為等邊三角形，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
20．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，，，…，，使得，，，，…，，成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
21．已知點(diǎn)A是雙曲線的上頂點(diǎn).
(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，延長交雙曲線于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)雙曲線C與直線有唯一的公共點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l垂直的直線分別交x軸，y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.
22．設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)證明：.
參考答案
1．答案：C
解析：，
，
故選：C.
2．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>則，，
因?yàn)槿?，所以，或?br>所以，A正確；，B錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；或，D錯(cuò)誤，
故選：A.
3．答案：D
解析：向量在向量方向上的投影向量為.
故選：D.
4．答案：A
解析：由兩邊分別求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：A.
5．答案：A
解析：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，由，可得，，
所以可得，，
又可得，
所以.
故選：A.
6．答案：C
解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
拋物線的焦點(diǎn)為，
橢圓的左焦點(diǎn)為，
由題意可得，所以，
將代入拋物線方程解得，
所以，
由橢圓的定義可得，所以，
在中，由勾股定理得，
即，即，
所以，解得(舍去)，
即橢圓的離心率為.
故選：C.
7．答案：B
解析：由及可得，
根據(jù)其值域?yàn)?，且?br>由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，
即可得，解得.
故選：B.
8．答案：D
解析：，，，
令，，
，
因?yàn)椋裕?br>令，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
故，所以在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，即，
故選：D.
9．答案：ABC
解析：對(duì)于A，若蘇打水的是8，即，所以，
即蘇打水中的氫離子濃度為摩爾/升，所以A正確；
對(duì)于B，若胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則，即B正確；
對(duì)于C，若海水的氫離子濃度是純凈水的倍，則海水的氫離子濃度是，
因此，即海水的是，所以C正確；
對(duì)于D，若某種水中氫離子的濃度為摩爾/升，則；
而不在范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，即D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
10．答案：CD
解析：由題意，，基本事件的總數(shù)為6，
則，故A錯(cuò)誤；
事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且不大于2，則，
事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)且大于2，則，
所以，故B錯(cuò)誤；
事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)且大于2，則，
事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)且不大于2，則，
所以，故C正確；
，，
所以，故D正確.
故選：CD.
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A，由長方體性質(zhì)可得，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
又平面，且，
所以平面平面，又平面，
平面.故A正確；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)，平面，所以點(diǎn)P到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，
則.故B正確；
對(duì)于C，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)外接球半徑為r，
所以，所以外接球的表面積為.故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，連接，，則直線與平面所成角即，
在中，，當(dāng)最小時(shí)，最大，，
此時(shí)，，
所以直線與平面所成角正弦值的最大值為.故D正確.
故選：ABD.
12．答案：ACD
解析：對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，則由，可得，化簡可得，故A正確；
對(duì)于B，曲線C的方程為，圓心為，半徑為，直線，即，
若直線與曲線C有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，
解得或，則k的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)O，A，P三點(diǎn)不共線時(shí)，，則，
，，則，所以，
所以由角平分線定理的逆定理知射線平分，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)曲線C外一點(diǎn)，因?yàn)?，，所以M，N在以為直徑的圓上.
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以為直徑的圓方程為
化簡得：，
因?yàn)閮蓤A的公共弦，所以直線的方程為，
即，令，解得，則直線過定點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD.
13．答案：/
解析：由可得，
所以，
即.
故答案為：.
14．答案：
解析：根據(jù)題意可知6人中選派4人參與選派方式共有種，
其中甲、乙都不參與的選派方式共有種，
其中甲、乙至少有一人參加且甲去“簽到組”的選派方式共有種，
所以甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種.
故答案為：.
15．答案：
解析：如下圖所示：
設(shè)A點(diǎn)在平面內(nèi)的攝影為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，易知E在上，且平面；
又正四面體的棱長是2，所以可得，
在正中，由勾股定理可得；
設(shè)外接球半徑為R，則可知，
即，解得；
易知，
又因?yàn)槭峭饨忧虻囊粭l直徑，所以，且；
因此，
易知，
所以，；
因此可知的取值范圍為.
故答案為：.
16．答案：
解析：將不等式變形可得，
即，
構(gòu)造函數(shù)，可得；
令，則；
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
利用單調(diào)性并根據(jù)可得，
即可得，即對(duì)恒成立，因此即可；
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
因此正實(shí)數(shù)的最大值是.
故答案為：.
17．答案：(1)，，乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)P值更好
(2)，
解析：(1)，
因?yàn)椋?br>所以中位數(shù)在區(qū)間上，
則，解得，
即中位數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)P值更好；
(2)指標(biāo)P值不小于70的概率為，
由題意可得，
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由以及可得
，
即，
可得，又，
所以，即，
可得，又,
解得.
(2)如下圖所示：
由可得，，，；
在中，由正弦定理可得，即，
由可得，
化簡可得，整理可得，
所以.
19．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)不妨設(shè)，則，
在平行四邊形中，，，，連接，
由余弦定理得，即，
，.
又，，，
平面，又平面.
平面平面.
(2)
取中點(diǎn)G，連接，，，
由(1)易知平面，且.
如圖，以A為原點(diǎn)，分別以射線，所在直線為x，y軸，豎直向上為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
得，令，得，
設(shè)平面的法向量為，則，
得，令，得，
，
所以平面與平面夾角的余弦值.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由可得，即，
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)為正，且，可得，即；
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
即；
又，所以，
兩式相減可得，
所以；
當(dāng)時(shí)，也符合上式，故；
所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式，；
(2)設(shè)等差數(shù)列，，，，…，，的公差為，
則，；
所以；
可得，
；
兩式相減可得
；
所以.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意得，
故直線方程為，即，
聯(lián)立與得，
由韋達(dá)定理得，解得，
故，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
(2)聯(lián)立與得，
，
，由，解得，則，
又，，
故，由題可知，
過點(diǎn)P且與l垂直的直線方程為，即，
令得，令得，
因?yàn)?，所以，故，顯然，
代入中得，
化簡得，即；
22．答案：(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
解析：(1)由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，
首先研究時(shí)，，
又，所以，
令，則，因此在上單調(diào)遞增；
所以，即可得，
因此在上單調(diào)遞增；
所以，
又為偶函數(shù)，可得時(shí)，也成立；
因此.
(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
令，且，可得，
即，
由(1)可得，當(dāng)時(shí)，；
又且，所以，
可得，即，也即，
所以可得
，
即可得.

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