數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1．已知向量，，若共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．已知的面積為，則（ ）
A．13B．14C．17D．15
4．如圖，正方形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，則（ ）

A．2B．C．D．
5．已知向量滿足，，且在方向上的投影向量的模與在方向上的投影向量的模相等，則等于（ ）
A．B．C．4D．5
6．在中， ，，，點(diǎn)滿足 ，則（ ）
A．0B．2C．D．4
7．中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（ ）
A．64mB．74mC．52mD．91m
8．已知銳角，，，則邊上的高的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）= i2020，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．復(fù)數(shù)z的模為B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
C．復(fù)數(shù)z的虛部為D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
10．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．直線必過邊的中點(diǎn)
C．
D．若，且，則
11．在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若B+C=2A，則面積的最大值為
B．若，且只有一解，則b的取值范圍為
C．若C=2A，且為銳角三角形，則c的取值范圍為
D．為的外心，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為 ．
13．河中水流自西向東流速為，小船自南岸點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)，該小船行駛的方向?yàn)? ，小船在靜水中的速度為 ．
14．如圖，點(diǎn)，在無法到達(dá)的河對(duì)岸，為測量出，兩點(diǎn)間的距離，在河岸邊選取，兩個(gè)觀測點(diǎn)，測得，，，，則，兩點(diǎn)之間的距離為 （結(jié)果用m表示）.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．已知，．
(1)若與垂直，求k的值；
(2)若為與的夾角，求的值．
16．設(shè)復(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)．
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù);
(2)若，求的值;
(3)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（其中S為△ABC的面積）.
(1)求B；
(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.
18．設(shè)，均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.
(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若，且是關(guān)于x的方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求.
19．如圖，設(shè)中角、、所對(duì)的邊分別為、、，為邊上的中線，已知，，．

(1)求邊、的長度；
(2)求的面積；
(3)點(diǎn)為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與邊、（不含端點(diǎn)）分別交于、．若，求的值．
1．A
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列方程求的值.
【詳解】因?yàn)?，，共線，
所以，所以，
故選：A.
2．A
【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念可知即可求，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由題意知：,可得，
所以,根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為.
故選：A
3．C
【分析】先根據(jù)三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】的面積，所以，
由余弦定理得，因此.
故選：C.
4．D
【分析】利用平面向量基本定理選擇和作為一組基底，表示出，根據(jù)列出方程組即可求解.
【詳解】由已知可得
,
由圖可知,所以，解得,
所以，
故選：.
5．A
【分析】設(shè)向量的夾角為，由題意可得，再由向量的模長公式求解即可.
【詳解】設(shè)向量的夾角為，
所以在方向上的投影向量的模為，
在方向上的投影向量的模為，
所以，則，所以，
所以.
故選：A.
6．A
【分析】用，，表示和，最后代入進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可。
【詳解】由題可得：，
，
所以
由于，，，
則，，
所以，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以三角形為背景，把平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算巧妙的結(jié)合在一起，用基底，，表示和是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
7．B
【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解.
【詳解】因?yàn)橹校?，，?br>所以，
因?yàn)橹校?，?br>所以，
由題意，，，
則，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故選：B
8．C
【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.
【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，設(shè)邊上的高為，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以邊上的高的取值范圍為.
故選：C.
9．ABC
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的共軛，復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【詳解】解：復(fù)數(shù)滿足，整理得．
對(duì)于A：由于，故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由于，故，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：復(fù)數(shù)的虛部為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故該點(diǎn)在第一象限內(nèi)，故D正確；
故選：ABC．
10．ACD
【分析】根據(jù)題設(shè)條件，化簡得到，可判定A是正確的；根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡得到，可判定B不正確；根據(jù)，得到，結(jié)合三角形的面積公式，可判定C正確；根據(jù)向量的數(shù)量積和模的運(yùn)算公式，可判定D是正確的.
【詳解】如圖所示，點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正確的；
在中，設(shè)為的中點(diǎn)，
由，可得，
所以，所以直線不過邊的中點(diǎn)，所以B不正確；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正確；
由，可得
因?yàn)?，且?br>可得，
所以，所以D是正確的.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本概念，向量的線性運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算及應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及平面向量的數(shù)量積和模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
11．ACD
【分析】對(duì)于A，由正弦定理可得，根據(jù)求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面積公式可判斷A；由正弦定理得，利用可判斷B；求出，利用為銳角三角形得的范圍，由正弦定理得，求出的范圍可判斷C；做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)可得，利用數(shù)量積公式計(jì)算可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，所以?br>若，且，所以，
由余弦定理得，
由，可得，即，
則面積，所以面積的最大值為，故A正確；
對(duì)于B，若，且，由正弦定理得，
所以，當(dāng)時(shí)即，所以時(shí)有一解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若C=2A，所以，且為銳角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，故C正確；
對(duì)于D，如圖做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，
設(shè)，所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
12．
【分析】設(shè)單位向量坐標(biāo)為，根據(jù)向量共線公式及求模公式，化簡計(jì)算，即可得答案.
【詳解】設(shè)與向量平行的單位向量的坐標(biāo)為，
由題意得，解得或，
故答案為：
13． 北偏西方向
【分析】利用平面向量來進(jìn)行求解，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得到答案.
【詳解】如圖所示，的方向代表水流方向，且，
的方向即為小船行駛的方向，且，，，
則，故，
故，小船行駛的方向?yàn)楸逼鞣较颍?br>且，即小船在靜水中的速度為.
故答案為：北偏西方向，.
14．##
【分析】先分別求出和，在中，利用余弦定理即可解得.
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所?
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
.
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合垂直的坐標(biāo)表示求解作答.
（2）利用向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.
【詳解】（1）因?yàn)?，，則，，
依題意，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，則，，
因此，而，
所以.
16．(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念列式求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解；
（3）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義列式求解.
【詳解】（1）若z是純虛數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，z是純虛數(shù).
（2）若，則，
所以.
（3）因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
則，解得，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和三角形的面積公式求解；
（2）利用正弦定理邊化角將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>則，
所以，又，則；
（2）由△ABC為銳角三角形及，
得且，所以，
由正弦定理，
得
，
因?yàn)椋?br>所以，即的取值范圍是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)為純虛數(shù)可得其實(shí)部為零，虛部不為零，從而可求參數(shù)的值；
（2）用實(shí)數(shù)表示，根據(jù)其模長可求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求.
【詳解】（1）由題可知，其中，
∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴，且，
∴.
（2）∵，∴，∴，
∴關(guān)于的方程的兩根分別為，，
∵對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴，且 ，
∵，∴，
∴，或，
∵，∴，∴，∴，
∴.
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡得出，再結(jié)合可求得邊、的長度；
（2）設(shè)，由題意可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合可得出關(guān)于的等式，解出的值，進(jìn)而可得出的值，利用三角形的面積公式可求得的面積；
（3）設(shè)，，其中、，根據(jù)、、三點(diǎn)共線可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合可得出，然后利用三角形的面積公式可求得的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，，即，
所以，，即，即．
又因?yàn)?，所以?
（2）解：設(shè)，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，
所以，，
則，
，
，①
整理得，即，
得或，
由①，得，所以，，則，
故，
因此，．
（3）解：由（2）知，，為的中點(diǎn)，則．
設(shè)，，其中、．
所以，得．
又、、三點(diǎn)共線，則、共線，
設(shè)，則，所以，，
因?yàn)?、不共線，則，即，
由，得，
又，
所以，
即，
又因?yàn)椋?br>所以，，所以，，解得，
所以：，，
所以．

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