高一數(shù)學(xué)
【命題單位：重慶縉云教育聯(lián)盟】
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；
3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回；
4.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．已知兩點(diǎn)，則與向量同向的單位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在正方形ABCD中，下列命題中正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
5．在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，若點(diǎn)，滿足，，其中且，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．
6．在中，，點(diǎn)D在上，，，則（ ）
A．8B．10C．12D．16.
7．在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是且落在整點(diǎn)處．則點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)，則最大值為（ ）
A．13B．C．5D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)：的點(diǎn)為，則下列結(jié)論中正確的為（ ）
A．若，則B．若在直線上，則
C．若為純虛數(shù)，則D．若在第四象限，則
10．已知復(fù)數(shù)，，則（ ）
A．是純虛數(shù)B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．D．
11．已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的面積為
C．
D．在的外接圓上，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知向量，則與同向的單位向量為 .
13．在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足，則 ．
14．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，，，則的最大值為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
16．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，i是虛數(shù)單位.
(1)，計(jì)算與；
(2)設(shè)，求證：，并指出向量滿足什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).
17．設(shè)的外接圓半徑是均為銳角，且.
(1)證明：不是銳角三角形；
(2)證明：在的外接圓上存在唯一的一點(diǎn)，滿足對(duì)平面上任意一點(diǎn)，有.
18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，點(diǎn)分別在等邊的邊上（不含端點(diǎn)）.若面積的最大值為，求.
19．復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為實(shí)部，稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

(1)設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；
(3)在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.
1．D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】由已知得
，
則復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：D.
2．C
【分析】
由平面向量的坐標(biāo)表示與單位向量的概念求解，
【詳解】
由得，則，
與向量同向的單位向量為，
故選：C
3．D
【分析】根據(jù)正方形，利用平面向量的概念及幾何意義求解.
【詳解】由圖可知：
A. ，故錯(cuò)誤；
B. ，故錯(cuò)誤；
C. 不共線，故錯(cuò)誤；
D. ，故正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
4．D
【分析】
直接將解出來(lái)再化解即可.
【詳解】
.
故選：D
5．C
【分析】由可得，由可得，又，所以
化簡(jiǎn)，并根據(jù)得到，利用基本不等式得出結(jié)論.
【詳解】由題意可得
由可得，
由可得，
又，所以
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)
故選：C.
【點(diǎn)睛】如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個(gè)向量模長(zhǎng)已知且數(shù)量積可求，常見(jiàn)的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.
6．C
【分析】用表示出，從而根據(jù)數(shù)量積的定義及題中條件和可求出的值.
【詳解】在中，因?yàn)椋?
所以，
所以.
故選：C．
7．B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.
【詳解】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為，
因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，
設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，
可得
則，兩式相加可得，
因?yàn)?，則或，
當(dāng)時(shí)，則次數(shù)為；
當(dāng)，則次數(shù)為；
綜上所述：次數(shù)最小值為10.
故選：B.
8．A
【分析】建立直角坐標(biāo)系，可以表示出的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，即可用與表示出，即可求出答案.
【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，且，
則


故當(dāng) 時(shí)，有最大值為13
故選：A.
9．CD
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念直接判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則，得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樵谥本€上，所以，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若為純虛數(shù)，則，即，此時(shí)虛部不為0，故C正確；
對(duì)于D，若在第四象限，則，解得，故D正確.
故選：CD
10．AD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則，故D正確.
故選：AD.
11．ABD
【分析】利用余弦定理計(jì)算，利用余弦定理計(jì)算，判斷A；根據(jù)面積公式計(jì)算三角形的面積，判斷B；利用正弦定理計(jì)算，判斷C；設(shè)，用表示出，，得出關(guān)于的三角函數(shù)，從而得到的最大值，判斷D.
【詳解】在三角形中，由余弦定理，
，故，故正確；
在中，由余弦定理得：，
，故正確；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正確；
，，，，
，
為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，
顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上．
故，設(shè)，則，，
，
，，
，其中，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．
故選：．
12．
【分析】先根據(jù)題意設(shè)出與同向的單位向量的坐標(biāo)，再根據(jù)單位向量的定義列出關(guān)于的方程，解出即可得到答案
【詳解】設(shè)與同向的單位向量
又，
又為單位向量， ，即 ，解得

故答案為：
13．1
【分析】
解法1，先用正弦定理邊角互化，再用和差和誘導(dǎo)公式求解即可；
解法2：先用射影定理化簡(jiǎn)，用正弦定理邊角互化即可求解.
【詳解】解法1：，
而，
∴．
解法2：由射影定理，，
又由題意，，∴，故，∴，
∵，∴，故．
故答案為：1
14．##
【分析】由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，得角為鈍角，角為銳角，所以要取最大值，只要取最小值，由已知條件可得，由可得的范圍，結(jié)合余弦定理可得的范圍，從而由余弦定理可求得答案
【詳解】在中，因?yàn)?，?br>所以，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以由正弦定理得，
所以，
所以角為鈍角，角為銳角，
所以要取最大值，則取最大值，取最小值，從而取最小值．
又，
由，得，
，
由取最大值時(shí)，，
此時(shí)由余弦定理可得，
從而求得，即最大值為．
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡(jiǎn)可解；
（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡(jiǎn)求范圍.
【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，
則，展開(kāi)可得，
.
（2）由正弦定理，
則
，其中，
是銳角三角形，，.
，，
顯然，當(dāng)時(shí)，，
.
16．(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析，
【分析】
（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可計(jì)算出；
（2）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律分別求出的平方，利用作差法可得，此時(shí)需滿足.
【詳解】（1）根據(jù)可得，
；
且，所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
可得；
因?yàn)椋?br>所以，
因此，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)向量滿足.
17．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由正弦定理，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，由的單調(diào)性證明；
（2）由，得到，即，設(shè)外接圓圓心為，再利用向量運(yùn)算證明.
【詳解】（1）證明：記在中，所對(duì)的邊分別長(zhǎng)度為.
根據(jù)正弦定理，有，所以.
根據(jù)，有，
得到，
因?yàn)槎际卿J角，根據(jù)的(復(fù)合函數(shù))單調(diào)性得到，
所以，所以，所以不是銳角三角形；
（2）因?yàn)椋裕?br>所以，所以，得到，
設(shè)外接圓圓心為，則有，
得到對(duì)平面上所有成立，必須有，
根據(jù)是直角和平面幾何知識(shí),得到在外接圓上，并且根據(jù)平面向量基本定理得到唯一.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）借助正弦定理及三角恒等變換公式可得，借助余弦定理與正弦定理可將表示為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（2）借助面積公式，可得的最大值，設(shè)，結(jié)合正弦定理可將表示成正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得取得最大值時(shí)的.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>在中，有
，
，，；
（2）由（1）可知，由于面積的最大值為，
則，得，所以的最大值為，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，
在中，由正弦定理得所以，
得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，
其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或（舍去）.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角后，將借助角表示出來(lái)，從而化為正弦型函數(shù)，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)得到其取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的.
19．(1)，
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）直接利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算即可；
（2）設(shè)，的模為，的模為，，通過(guò)題意可得，發(fā)現(xiàn)，從而無(wú)意義，再根據(jù)角的范圍求解即可；
（3）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，利用復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)的定義列式計(jì)算即可.
【詳解】（1）
,
；
（2）設(shè)，的模為，的模為，，
對(duì)于有，，
對(duì)于有，，
所以，
所以，
，
所以無(wú)意義，即的角的終邊在軸上，
又，
所以，
即
（3）
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在復(fù)平面內(nèi)，過(guò)原點(diǎn)作的平行線，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，則，
所以，
即，
即
根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

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