1．（4分）2的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．（4分）如圖，榫卯結(jié)構(gòu)是我國一項精湛的木工技藝，該榫卯零件的主視圖是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）2023年福建交通建設(shè)精品工程不斷涌現(xiàn)，平潭海峽公鐵大橋獲評國家優(yōu)質(zhì)工程金獎，大橋全長16.323公里，全橋鋼結(jié)構(gòu)用量1240000噸，將數(shù)據(jù)“1240000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．124×104B．12.4×105C．1.24×106D．0.124×107
4．（4分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a3＝a5B．a(chǎn)（a﹣1）＝a2﹣1
C．a(chǎn)2÷a2＝0D．（3a）2＝9a2
5．（4分）如圖，A為反比例函數(shù)圖象上的一點，AB⊥x軸，△OAB的面積為2，則水墨蜻蜓在反比例函數(shù)圖象上的落點的坐標(biāo)可能為（ ）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，4）D．（1，5）
6．（4分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，則CD的長度為（ ）
A．2B．4C．D．
7．（4分）我國明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》中有“以碗知僧”趣題：“巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧．三百六十四只碗，恰合用盡不差爭．三人共食一碗飯，四人共進一碗羹．請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗飯，4名僧人合分一碗湯，一共用了364只碗，問有多少名僧人？設(shè)寺內(nèi)有x名僧人，則可列方程（ ）
A．3x+4x＝364B．
C．D．
8．（4分）近年來，福建走特色路、打特色牌，振興鄉(xiāng)村，發(fā)展特色小鎮(zhèn)旅游經(jīng)濟，實現(xiàn)鄉(xiāng)村居民創(chuàng)收．亮亮調(diào)查了家鄉(xiāng)小鎮(zhèn)10家餐飲企業(yè)的年收入情況，并繪制成下表（數(shù)據(jù)已取整）．根據(jù)圖表信息，下列描述正確的是（ ）
A．年收入的中位數(shù)為4.5
B．年收入的眾數(shù)為5
C．年收入的平均數(shù)為4.4
D．年收入的方差為6.4
9．（4分）如圖，學(xué)校為舉辦文藝匯演搭建了舞臺及登臺的臺階，臺階總高度AB＝60cm，臺階部分鋪紅地毯，地毯長度為140cm，支撐鋼梁DE⊥AC，且D為BC的中點，則鋼梁DE的長為（ ）
A．20cmB．24cmC．32cmD．40cm
10．（4分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動該正五邊形，使得O為AD的中點，且點A，B，C，D在以點O為圓心的圓上，過點C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
二、填空題（本題共6個小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）如圖，數(shù)軸上的三個點中，表示負(fù)數(shù)的是點 ．
12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，且EA平分∠BED．若DE＝5，則AD的長為 ．
13．（4分）如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，尺規(guī)作圖如下：以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交邊BC于點D，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧分別交于點E，F(xiàn)，連接EF，EF與AB，BC分別交于點G，H，則∠AGH＝ ．
14．（4分）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發(fā)有為、昂揚向上的精神風(fēng)貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”的四張質(zhì)地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機抽取一張不放回，再從盒中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上都印有漢字“龘”的概率為 ．
15．（4分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，則a3b+2a2b2+ab3的值為 ．
16．（4分）拋物線W：y＝x2﹣2x+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，將拋物線W沿y軸向上平移得到拋物線W'，拋物線W'與y軸交于點D，當(dāng)CD＝OC時，拋物線W'與x軸有且只有一個交點，則AB的長為 ．
三、解答題（本題共9個小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）計算：+|﹣2|﹣（）﹣1．
18．（8分）解方程組：．
19．（8分）如圖，點E，F(xiàn)分別在平行四邊形ABCD的邊BC，AD上，且AF＝CE，求證：∠BAE＝∠DCF．
20．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，∠ABC＝40°，D為的中點，連接BD，CD，AD，OE∥BC，交⊙O于點E．
（1）求∠ABD的度數(shù)；
（2）若AB＝6，求扇形EOB的面積．
22．（10分）AI的迅猛發(fā)展在多個領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級利用課余時間舉辦了人工智能知識競賽活動，并從七、八年級各隨機抽取了10名學(xué)生代表的成績（滿分：5分）進行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．
a．七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人．
b．七年級10名學(xué)生代表成績的條形統(tǒng)計圖（尚不完整），八年級10名學(xué)生代表成績的扇形統(tǒng)計圖及七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差對比表格如下．
七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差
請根據(jù)以上信息，解答下列問題．
（1）學(xué)生代表成績比較整齊的是 年級．（填“七”或“八”）
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）若共有400名學(xué)生參與競賽，根據(jù)七年級和八年級學(xué)生代表的成績，請估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)．
23．（10分）閱讀下列材料，回答問題．
（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容．
（2）小明求得AB用到的幾何知識是 ．
（3）請你同時利用皮尺和測角儀，通過在棧道上行走并測量長度、角度等幾何量的方式，結(jié)合解直角三角形的知識，求玻璃棧道的高AB．寫出你的測量及求解過程．（注：無法確定點B的具體位置，點B不能直接使用）
要求：請在圖5中畫出相應(yīng)圖形，測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．
24．（12分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的頂點為A（0，3），點B（2，4）在二次函數(shù)的圖象上，M為二次函數(shù)圖象上的一動點．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為8時，連接AM，N為線段AM上的一動點，過點N作NP∥y軸，交拋物線于點P，作NQ⊥y軸，交y軸于點Q，求NP+NQ的最大值．
（3）如圖2，連接MB并延長，交一次函數(shù)y＝x的圖象于點C，過點C作CD∥y軸，交二次函數(shù)的圖象于點D，連接MD．小林發(fā)現(xiàn)，在點M運動的過程中，直線MD始終經(jīng)過某個定點，請直接寫出該定點的坐標(biāo)，不必說明理由．
25．（14分）如圖1，在△ABC中，AB⊥BC，CP為∠ACB的平分線，交AB于點P，過點A作AM⊥AC，交CP的延長線于點M，過點P作PQ⊥AC于點Q，過點M作MN⊥AB于點N，MN＝AQ．
（1）求證：AN＝PB．
（2）若NP＝2，PB＝3，求CM的長．
（3）如圖2，在（2）的條件下，E是線段MN上的一點，連接EP并延長，交邊BC于點K，D是邊AC上的一點，連接DK，∠DKE＝∠ACB，EF⊥PM于點H，交CB的延長線于點F，若，求DQ的長．
2024年福建省福州市高新區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10個小題，每小題4分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1．（4分）2的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
【解答】解：2的相反數(shù)是﹣2，
故選：C．
【點評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．
2．（4分）如圖，榫卯結(jié)構(gòu)是我國一項精湛的木工技藝，該榫卯零件的主視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看，底層是一個較大的矩形，上層中間是一個小矩形．
故選：A．
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
3．（4分）2023年福建交通建設(shè)精品工程不斷涌現(xiàn)，平潭海峽公鐵大橋獲評國家優(yōu)質(zhì)工程金獎，大橋全長16.323公里，全橋鋼結(jié)構(gòu)用量1240000噸，將數(shù)據(jù)“1240000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．124×104B．12.4×105C．1.24×106D．0.124×107
【答案】C
【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：1240000＝1.24×106，
故選：C．
【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a3＝a5B．a(chǎn)（a﹣1）＝a2﹣1
C．a(chǎn)2÷a2＝0D．（3a）2＝9a2
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項、單項式乘多項式、同底數(shù)冪的除法、積的乘方分別計算判斷即可．
【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；
B、a（a﹣1）＝a2﹣a，故此選項不符合題意；
C、a2÷a2＝1，故此選項不符合題意；
D、（3a）2＝9a2，故此選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了合并同類項、單項式乘多項式、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方與積的乘方，熟練掌握這些運算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，A為反比例函數(shù)圖象上的一點，AB⊥x軸，△OAB的面積為2，則水墨蜻蜓在反比例函數(shù)圖象上的落點的坐標(biāo)可能為（ ）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，4）D．（1，5）
【答案】C
【分析】根據(jù)k的幾何含義可得k的值，從而根據(jù)k＝xy判斷即可．
【解答】解：∵AB垂直于x軸，△OAB的面積為2，k＞0，
∴k＝2×2＝4，
∴y＝，
∵1×4＝4，
∴水墨蜻蜓在反比例函數(shù)圖象上的落點的坐標(biāo)可能是（1，4），
故選：C．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)y＝中k＝xy．
6．（4分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，則CD的長度為（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，結(jié)合垂直的定義、平行線的性質(zhì)求出∠CBD＝30°，∠D＝90°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：在等邊△ABC中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D＝90°，
∴CD＝BC＝2，
故選：A．
【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）我國明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》中有“以碗知僧”趣題：“巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧．三百六十四只碗，恰合用盡不差爭．三人共食一碗飯，四人共進一碗羹．請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗飯，4名僧人合分一碗湯，一共用了364只碗，問有多少名僧人？設(shè)寺內(nèi)有x名僧人，則可列方程（ ）
A．3x+4x＝364B．
C．D．
【答案】D
【分析】由“設(shè)和尚的個數(shù)為x，3個和尚合吃一碗飯“知共用飯碗x只，由“4個和尚合分一碗湯“知共用湯碗x只，再根據(jù)總用了364只碗，即可列出方程．
【解答】解：根據(jù)題意得，
x+x＝364．
故選：D．
【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是以碗的只數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．
8．（4分）近年來，福建走特色路、打特色牌，振興鄉(xiāng)村，發(fā)展特色小鎮(zhèn)旅游經(jīng)濟，實現(xiàn)鄉(xiāng)村居民創(chuàng)收．亮亮調(diào)查了家鄉(xiāng)小鎮(zhèn)10家餐飲企業(yè)的年收入情況，并繪制成下表（數(shù)據(jù)已取整）．根據(jù)圖表信息，下列描述正確的是（ ）
A．年收入的中位數(shù)為4.5
B．年收入的眾數(shù)為5
C．年收入的平均數(shù)為4.4
D．年收入的方差為6.4
【答案】C
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的定義逐一計算即可．
【解答】解：這組數(shù)據(jù)排列為3、4、4、4、4、4、5、5、5、6，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，中位數(shù)為＝4，
平均數(shù)為×（3+4×5+5×3+6）＝4.4，
方差為×[（3﹣4.4）2+（4﹣4.4）2×5+（5﹣4.4）2×3+（6﹣4.4）2]＝0.64，
故選：C．
【點評】本題主要考查方差、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握方差、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義．
9．（4分）如圖，學(xué)校為舉辦文藝匯演搭建了舞臺及登臺的臺階，臺階總高度AB＝60cm，臺階部分鋪紅地毯，地毯長度為140cm，支撐鋼梁DE⊥AC，且D為BC的中點，則鋼梁DE的長為（ ）
A．20cmB．24cmC．32cmD．40cm
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得：AB⊥BC，從而根據(jù)垂直定義可得∠DEC＝∠ABC＝90°，再根據(jù)已知易得：BC＝80cm，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長，然后根據(jù)線段的中點定義可得CD＝40cm，再證明△ECD∽△BCA，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵AB＝60cm，AB+BC＝140cm，
∴BC＝140﹣60＝80（cm），
∴AC＝＝＝100（cm），
∵點D是BC的中點，
∴CD＝BC＝40（cm），
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ECD∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝24，
∴鋼梁DE的長為24cm，
故選：B．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動該正五邊形，使得O為AD的中點，且點A，B，C，D在以點O為圓心的圓上，過點C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（ ）
A．18°B．30°C．36°D．54°
【答案】B
【分析】連接OC，OB，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠BOC＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF＝90°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接OC，OB，
∵五邊形OABCD的正五邊形，
∴AB＝BC＝CD，
∴，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，
∵點C作⊙O的切線EF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，
故選：B．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6個小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）如圖，數(shù)軸上的三個點中，表示負(fù)數(shù)的是點 M ．
【答案】M．
【分析】根據(jù)數(shù)軸的概念和數(shù)軸上各點的分布即可得出答案．
【解答】解：由數(shù)軸可知，取右方向為正方向，可得：在原點左側(cè)的各點為負(fù)數(shù)，在原點右側(cè)的各點為正數(shù)，
∵M點在原點的左側(cè)，N點，P點在原點的右側(cè)，
∴表示負(fù)數(shù)的是點M，
故答案為：M．
【點評】本題考查的是數(shù)軸，正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握數(shù)軸的定義和數(shù)軸上各點的分布是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，且EA平分∠BED．若DE＝5，則AD的長為 5 ．
【答案】5．
【分析】過點A作AF⊥DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AB＝AF，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得AF＝DC，進而得出△ADF≌△DEC即可解答．
【解答】解：過點A作AF⊥DE，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵EA平分∠BED．
∴AB＝AF＝DC，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，尺規(guī)作圖如下：以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交邊BC于點D，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧分別交于點E，F(xiàn)，連接EF，EF與AB，BC分別交于點G，H，則∠AGH＝ 135° ．
【答案】135°．
【分析】由作圖可知，EF垂直平分BD，由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【解答】解：由作圖可知，EF垂直平分BD，
∴∠GHB＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴∠AGH＝∠B+∠GHB＝90°+45°＝135°，
故答案為：135°．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的作法與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的作法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發(fā)有為、昂揚向上的精神風(fēng)貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”的四張質(zhì)地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機抽取一張不放回，再從盒中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上都印有漢字“龘”的概率為 ．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的兩張卡片上都印有漢字“龘”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上都印有漢字“龘”的結(jié)果有2種，
∴抽取的兩張卡片上都印有漢字“龘”的概率為＝．
故答案為：．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
15．（4分）已知a+b＝2，ab＝﹣5，則a3b+2a2b2+ab3的值為 ﹣20 ．
【答案】﹣20．
【分析】先將原式變形為ab×（a+b）2，再將a+b＝2，ab＝﹣5代入，即可得出答案．
【解答】解：原式＝ab×（a2+2ab+b2）
＝ab×（a+b）2，
將a+b＝2，ab＝﹣5代入，
∴原式＝﹣5×22＝﹣20，
故答案為：﹣20．
【點評】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，熟練掌握其運算方法是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）拋物線W：y＝x2﹣2x+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，將拋物線W沿y軸向上平移得到拋物線W'，拋物線W'與y軸交于點D，當(dāng)CD＝OC時，拋物線W'與x軸有且只有一個交點，則AB的長為 ．
【答案】．
【分析】設(shè)向上平移得到拋物線W'的解析式為y＝x2﹣2x+n+m，利用CD＝OC，得到m＝n，利用拋物線W'與x軸有且只有一個交點，求得n＝；設(shè)A（α，0），B（β，0），則α，β是方程x2﹣2x+＝0的根，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+n與y軸交于點C，
∴C（0，n），
∴OC＝n．
設(shè)向上平移得到拋物線W'的解析式為y＝x2﹣2x+n+m，
∵拋物線W'與y軸交于點D，
∴D（0，m+n），
∴OD＝m+n．
∴CD＝OD﹣OC＝m．
∵CD＝OC，
∴m＝n．
∴拋物線W'的解析式為y＝x2﹣2x+2n，
∵拋物線W'與x軸有且只有一個交點，
∴（﹣2）2﹣4×1×2n＝0，
∴n＝．
∴拋物線W的解析式為y＝x2﹣2x+，
設(shè)A（α，0），B（β，0），則α，β是方程x2﹣2x+＝0的根，
∴α+β＝2，αβ＝．
∴AB＝|α﹣β|＝＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共9個小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）計算：+|﹣2|﹣（）﹣1．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的運算法則化簡計算即可．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣2
＝
【點評】本題考查實數(shù)的運算、負(fù)指數(shù)冪的原式法則、絕對值的化簡等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考基礎(chǔ)題．
18．（8分）解方程組：．
【答案】．
【分析】利用加減消元法解方程組即可．
【解答】解：，
①﹣②得：4y＝﹣4，
解得：y＝﹣1，
將y＝﹣1代入①得：x﹣1＝﹣1，
解得：x＝0，
故原方程組的解為．
【點評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，點E，F(xiàn)分別在平行四邊形ABCD的邊BC，AD上，且AF＝CE，求證：∠BAE＝∠DCF．
【答案】見解析．
【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AB＝CD，BC＝AD，對角相等可得∠B＝∠D，然后求出DF＝BE，再利用“邊角邊”證明兩三角形全等即可得到結(jié)論．
【解答】證明：在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
即DF＝BE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE＝∠DCF．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出DF＝BE是證明三角形全等的關(guān)鍵．
20．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【答案】，．
【分析】先通分括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法，然后將x的值代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：（1+）÷
＝?
＝?
＝，
當(dāng)x＝+1時，原式＝＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，∠ABC＝40°，D為的中點，連接BD，CD，AD，OE∥BC，交⊙O于點E．
（1）求∠ABD的度數(shù)；
（2）若AB＝6，求扇形EOB的面積．
【答案】（1）65°；
（2）π．
【分析】（1）連接AC，則∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，根據(jù)點D為BC弧的中點得∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝25°，進而得∠CBD＝∠CAD＝25°，據(jù)此可得∠ABD的度數(shù)；
（2）先求出⊙O為3，再根據(jù)OE∥BC得∠BOE＝∠ABC＝40°，然后根據(jù)扇形EOB的面積公式可得出答案．
【解答】解：（1）連接AC，如下圖所示：

∵AB為⊙O的直徑，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵點D為BC弧的中點，
∴BD?。紺D弧，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°，
∴∠CBD＝∠CAD＝25°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+25°＝65°；
（2）∵AB＝6，
∴OB＝AB＝3，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠ABC＝40°，
∴扇形EOB的面積為：＝π．
【點評】此題主要考查了圓周角定理，扇形的面積，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握圓周角定理和扇形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．
22．（10分）AI的迅猛發(fā)展在多個領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級利用課余時間舉辦了人工智能知識競賽活動，并從七、八年級各隨機抽取了10名學(xué)生代表的成績（滿分：5分）進行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．
a．七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人．
b．七年級10名學(xué)生代表成績的條形統(tǒng)計圖（尚不完整），八年級10名學(xué)生代表成績的扇形統(tǒng)計圖及七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差對比表格如下．
七、八年級學(xué)生代表成績的平均數(shù)與方差
請根據(jù)以上信息，解答下列問題．
（1）學(xué)生代表成績比較整齊的是 七 年級．（填“七”或“八”）
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）若共有400名學(xué)生參與競賽，根據(jù)七年級和八年級學(xué)生代表的成績，請估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)．
【答案】（1）七；
（2）見解析；
（3）160人．
【分析】（1）根據(jù)方差的意義判斷即可；
（2）根據(jù)七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人，求出2分和3分的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；
（3）用400乘以參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵1.16＜1.56，
∴學(xué)生代表成績比較整齊的是七年級；
故答案為：七；
（2）∵七年級10名學(xué)生代表成績的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個得分的人數(shù)均不少于1人，
∴2分和3分的人數(shù)分別有1人和4人，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（3）抽取的八年級學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)有10×（20%+20%）＝4（人），
400×＝160（人），
答：估計參與競賽的學(xué)生的成績不低于4分的人數(shù)有160人．
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)，方差和用樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
23．（10分）閱讀下列材料，回答問題．
（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容．
（2）小明求得AB用到的幾何知識是 矩形的對邊相等 ．
（3）請你同時利用皮尺和測角儀，通過在棧道上行走并測量長度、角度等幾何量的方式，結(jié)合解直角三角形的知識，求玻璃棧道的高AB．寫出你的測量及求解過程．（注：無法確定點B的具體位置，點B不能直接使用）
要求：請在圖5中畫出相應(yīng)圖形，測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示，測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．
【答案】（1）矩形，vt；
（2）矩形的對邊相等；
（3）AB＝a．
【分析】（1）根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)以及物理知識解答即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)銳角的三角函數(shù)值定理來解答即可．
【解答】解（1）由題意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四邊形ABMN為矩形，
∴AB＝MN＝vt m．
故答案為：矩形，vt；
（2）小明根據(jù)矩形的對邊相等來設(shè)計方案；
故答案為：矩形的對邊相等；
（3）在B的一側(cè)取一點E，用測角儀測量∠BEA＝α，再取一點F，測量EF的長a，以及∠BFA＝β，如圖：
∵AB⊥FB，
∴tanα＝，tanβ＝，
∴BE＝，BF＝，
又∵BF﹣BE＝a，
∴AB＝a．
【點評】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，結(jié)合物理知識，熟練運用矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義是本題解題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的頂點為A（0，3），點B（2，4）在二次函數(shù)的圖象上，M為二次函數(shù)圖象上的一動點．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，當(dāng)點M的橫坐標(biāo)為8時，連接AM，N為線段AM上的一動點，過點N作NP∥y軸，交拋物線于點P，作NQ⊥y軸，交y軸于點Q，求NP+NQ的最大值．
（3）如圖2，連接MB并延長，交一次函數(shù)y＝x的圖象于點C，過點C作CD∥y軸，交二次函數(shù)的圖象于點D，連接MD．小林發(fā)現(xiàn)，在點M運動的過程中，直線MD始終經(jīng)過某個定點，請直接寫出該定點的坐標(biāo)，不必說明理由．
【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+3；
（2）n＝6時，NP+NQ取得最大值，最大值為9；
（3）直線MD恒過定點（2，6）．
【分析】（1）把點A（0，3）和點B（2，4）代入y＝ax2+c，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先求出點M的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，然后設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，2n+3），則點P（n，n2+3），NQ＝n，得出NP+NQ＝2n+3﹣（n2+3）+n＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣6）2+9，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及n的取值范圍求出最大NP+NQ的最大值；
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，+3），直線MB的表達(dá)式為y＝k′x+b′，把點M，B坐標(biāo)代入解析式，求出直線MB的表達(dá)式為y＝（m+2）x+3﹣m，然后再求出點D坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線MD的解析式，然后得出直線MD恒過定點（2，6）．
【解答】解：（1）把點A（0，3）和點B（2，4）代入y＝ax2+c，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+3；
（2）∵M為二次函數(shù)圖象上的點，且點M的橫坐標(biāo)為8，
∴y＝﹣×82+3＝19，即點M（8，19）．
設(shè)直線AM的表達(dá)式為y＝kx+b，
將點A（0.3），M（8.19）代入，
得，
解得，
∴直線AM的表達(dá)式為y＝2x+3，
設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，2n+3），則點P（n，n2+3），NQ＝n，
∴NP+NQ＝2n+3﹣（n2+3）+n＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣6）2+9，
∵﹣＜0，0≤n≤8，
∴當(dāng)n＝6時，NP+NQ取得最大值，最大值為9；
（3）（2，6）．理由：
設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，+3），直線MB的表達(dá)式為y＝k′x+b′，
將點B（2，4），M（m，+3）代入y＝k′x+b′得，
解得，
∴直線MB的表達(dá)式為y＝（m+2）x+3﹣m，
令y＝x，解得x＝，
將x＝代入y＝x2+3，得y＝+3，
∴點D坐標(biāo)為（，+3），
設(shè)直線MD的表達(dá)式為y＝k″x+b″，
將點M（m，+3），D（，+3）代入，得，
解得，
∴直線MD的表達(dá)式為y＝x﹣＝，
∴當(dāng)m＝2時，y＝＝＝6，
即直線MD恒過定點（2，6）．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線與拋物線的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．
25．（14分）如圖1，在△ABC中，AB⊥BC，CP為∠ACB的平分線，交AB于點P，過點A作AM⊥AC，交CP的延長線于點M，過點P作PQ⊥AC于點Q，過點M作MN⊥AB于點N，MN＝AQ．
（1）求證：AN＝PB．
（2）若NP＝2，PB＝3，求CM的長．
（3）如圖2，在（2）的條件下，E是線段MN上的一點，連接EP并延長，交邊BC于點K，D是邊AC上的一點，連接DK，∠DKE＝∠ACB，EF⊥PM于點H，交CB的延長線于點F，若，求DQ的長．
【答案】（1）見解析過程；
（2）CM＝5；
（3）．
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得BP＝PQ，由“AAS”可證△AMN≌△PAQ，可得AN＝QP＝BP；
（2）由勾股定理可求MN，MP的長，通過證明△MNP∽△CBP，即可求解；
（3）由相似三角形的性質(zhì)可求BC＝6，由銳角三角函數(shù)可求x的值，可求BK的長，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求CT，KT的長，即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，CP為∠ACB的平分線，PQ⊥AC
∴BP＝PQ，
∵PQ⊥AC，AM⊥AC，
∴∠ANM＝∠AQP＝90°，
∴∠MAN+∠PAQ＝90°＝∠PAQ+∠APQ，
∴∠APQ＝∠MAN，
又∵MN＝QA，
∴△AMN≌△PAQ（AAS），
∴AN＝QP，MN＝AQ，
∴AN＝BP；
（2）解：∵NP＝2，PB＝3＝PQ＝AN，
∴BN＝AP＝5＝AM，
∴MN＝＝＝4，
∴AQ＝MN＝4，
∴MP＝＝＝2，
∵MN⊥AB，BC⊥AB，
∴MN∥BC，
∴△MNP∽△CBP，
∴，
∴，
∴CP＝3；
∴MC＝5；
（3）如圖，過點N作NG∥EF，交FC于G，作KT⊥AC于T，
∵△MNP∽△CBP，
∴，
∴＝，
∴BC＝6，
∵AB＝3+3+2＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CQ＝10﹣4＝6，
∵，
∴設(shè)BK＝2x，F(xiàn)K＝5x，
∵MN∥BC，EF∥GN，
∴四邊形EFGN是平行四邊形，△ENP∽△KBP，
∴EN＝FG，，
∴EN＝x＝FG，
∵NG∥EF，EF⊥MP，
∴NG⊥MP，
∴∠NMP+∠MPN＝∠MPN+∠GNB＝90°，
∴∠NMP＝∠BNG，
∴tan∠NMP＝tan∠BNG＝，
∴，
∴GB＝
∴x++2x＝5x，
∴x＝，
∴BK＝3，
∴BK＝BP＝3＝CK，
∴∠BKP＝45°，
∵cs∠ACB＝，
∴，
∴CT＝，
∴KT＝＝，
∵∠BKD＝∠BCD+∠KDC＝∠PKD+∠BKP，
∴∠BKP＝∠KDC＝45°，
∴DT＝KT＝，
∴DQ＝6﹣﹣＝．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
平均數(shù)
方差
七年級
3.2
1.16
八年級
3.2
1.56
任務(wù)：利用浮球測量一個玻璃棧道的高AB，玻璃棧道橋面為透明玻璃，可觀測到玻璃棧道下方的物體．如圖1，棧道建設(shè)在兩山體之間，棧道下方為河面，玻璃棧道與河面平行，浮球A在玻璃棧道正下方的河面上．
工具：如圖2，工具有一把皮尺（測量長度小于AB）、一臺測角儀及一架無人機．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點間的距離，測角儀的功能是測量俯角的大?。?br>例如：如圖3，測角儀可測得∠POQ的度數(shù)，測角儀的高度忽略不計．
小明利用無人機測量玻璃棧道的高AB，其測量和求解過程如下．
測量過程：如圖4，任選玻璃棧道上的一點M，從橋邊（與橋高度相同）釋放無人機，無人機豎直勻速下降至水面N處停止下降，無人機的下降速度為v m/s，下降時間為t s．
求解過程：由題意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四邊形ABMN為① ，
∴AB＝MN＝② m．
龍
行
龘
龘
龍
（龍，行）
（龍，龘）
（龍，龘）
行
（行，龍）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龍）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龍）
（龘，行）
（龘，龘）
平均數(shù)
方差
七年級
3.2
1.16
八年級
3.2
1.56
任務(wù)：利用浮球測量一個玻璃棧道的高AB，玻璃棧道橋面為透明玻璃，可觀測到玻璃棧道下方的物體．如圖1，棧道建設(shè)在兩山體之間，棧道下方為河面，玻璃棧道與河面平行，浮球A在玻璃棧道正下方的河面上．
工具：如圖2，工具有一把皮尺（測量長度小于AB）、一臺測角儀及一架無人機．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點間的距離，測角儀的功能是測量俯角的大小．
例如：如圖3，測角儀可測得∠POQ的度數(shù)，測角儀的高度忽略不計．
小明利用無人機測量玻璃棧道的高AB，其測量和求解過程如下．
測量過程：如圖4，任選玻璃棧道上的一點M，從橋邊（與橋高度相同）釋放無人機，無人機豎直勻速下降至水面N處停止下降，無人機的下降速度為v m/s，下降時間為t s．
求解過程：由題意，知∠MNA＝∠BMN＝∠NAB＝90°，
∴四邊形ABMN為① 矩形 ，
∴AB＝MN＝② vt m．

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