一、選擇題
1．若集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若復數(shù)，則( )
A.B.C.D.i
3．已知平面向量，滿足，，則( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù)，則( )
A.的圖象關于點對稱B.的圖象關于直線對稱
C.為偶函數(shù)D.的最小正周期為
5．甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是( )
A.B.C.D.
6．若圓與圓的公共弦長為，則( )
A.B.C.2D.4
7．打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術（即“積層造型法”）.過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如髖關節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）.已知利用打印技術制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內挖去一個正方體后的剩余部分（正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量約為（取，精確到0.1）( )
A.B.C.D.
8．設，，，則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．設等差數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是( )
A.B.
C.不是等差數(shù)列D.
10．已知拋物線的焦點為F，，是C上相異兩點，則下列結論正確的是( )
A.若，則
B.若，且，則
C.若，則
D.若，則的最小值為
11．已知正方體的棱長為2，M，N分別是AB，的中點，則( )
A.
B.
C.平面MND截此正方體所得截面的周長為
D.三棱錐的體積為1
12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當時，，則下列選項中正確的是( )
A.關于對稱B.是周期為4的函數(shù)
C.D.
三、填空題
13．二項式展開式中常數(shù)項是________.（填數(shù)字）
14．已知，則______.
15．已知雙曲線的焦點為F，O為坐標原點，P為C上一點，且為正三角形，則雙曲線的離心率為______.
16．三棱錐中，，，點D是側棱的中點，且，則三棱錐的外接球O的表面積___________.
四、解答題
17．在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.
（1）求角B；
（2）若，求面積的最大值.
18．已知數(shù)列的前n項和為，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前n項和.
19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，，，，，，Q為PD的中點.
（1）求證：平面ABQ；
（2）求二面角的正弦值.
20．第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWrldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關，隨機抽取了男?女同學各100名進行調查，部分數(shù)據(jù)如表所示：
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關？
（2）社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人射門一次，假設各人射門相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
附：.
21．已知橢圓的右焦點為，點在E上.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值.
22．函數(shù).
（1）若對恒成立，求a的取值范圍；
（2）設，證明：.
參考答案
1．答案：D
解析：因為，又，
所以.
故選：D.
2．答案：B
解析：因為，所以.
故選：B.
3．答案：D
解析：因為，所以，
又，所以，
所以，
所以.
故選：D.
4．答案：C
解析：，的圖象關于點不對稱，故A選項不正確.
，的圖象關于直線不對稱，故B選項不正確.
因為，
又，即，故為偶函數(shù)，故C選項正確.
的最小正周期為，故D選項不正確.
故選：C.
5．答案：C
解析：將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成種等可能的結果，用表格表示如下：
記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6”，
則事件A的可能結果有種，即，
所以事件A的概率為：，
故選：C.
6．答案：A
解析：圓與圓兩式相減，
整理得公共弦所在直線方程為，
又，圓心為，半徑為2，公共弦長為，
則圓心到直線的距離，
化簡得，
解得：.驗證知符合題意.
故選：A.
7．答案：C
解析：如圖，是幾何體的軸截面
圓錐底面直徑為，半徑為，
母線與底面所成角的正切值為，圓錐的高為，
設正方體的棱長為a，則，解得.
該模型的體積.
制作該模型所需原料的質量約為.
故選：C.
8．答案：A
解析：令，則，
當時，，所以在上單調遞減，
所以，即，
所以，即，
令，則，
令，
因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，
所以，
即，
所以函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以，
即，所以，所以，
綜上所述，.
故選：A.
9．答案：ABD
解析：等差數(shù)列滿足，，設公差為d，
由，
則，解得，.
則，
故選項AB正確；
又，則，
且，
故數(shù)列是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，故C錯誤；
由，得，
故D正確.
故選：ABD.
10．答案：AD
解析：對于A，因為，所以F為的中點，
根據(jù)拋物線的對稱性知，直線與x軸垂直，
所以，正確；
對于B，因為，所以，即，又，所以，
所以，解得或，錯誤；
對于C，若，則，當且僅當A，B，三點共線時等號成立，錯誤；
對于D，拋物線的焦點為，準線l方程為，
過點A作準線l的垂線，垂足為點N，
由拋物線的定義得，則，
當點N、A、M三點共線時，取得最小值，且最小值為.正確.
故選：AD.
11．答案：BCD
解析：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
，，，
因為，所以與不平行，A不正確；
因為，所以，B正確；
如圖，取的中點P，取的中點Q，連接，，，，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為M，Q分別為，的中點，所以，所以，
平面截正方體所得截面為梯形，
因為正方體的棱長為2，所以，，
，
所以平面截此正方體所得截面的周長為，C正確；
由上面分析可知，，平面，平面，
所以平面，即點M到平面的距離等于點Q到平面的距離，
，
而，
所以三棱錐的體積為1，D正確.
故選：BCD.
12．答案：BC
解析：定義在R上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，
即，所以函數(shù)關于對稱，
從而，故，可得的最小正周期為4，
故選項A錯誤，B正確；
由于，則，，
當時，，
所以，
則，
故選項C正確；
因為，，所以，，，
又的最小正周期為4，所以每個周期的和，
所以，
故選項D錯誤.
故選：BC.
13．答案：240
解析：展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項為，
故答案為:240.
14．答案：
解析：由，解得，
則.
故答案為：.
15．答案：或
解析：由對稱性，不妨設F為右焦點，則P在右支上，設雙曲線左焦點為，
依題意，三角形為正三角形，
則，連接，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案為：.
16．答案：或
解析：如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長為h，則的中點O到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則O為圓柱的外接球球心，且有.
本題中，依題意，由，，得.
連接，由點D是的中點且，則，且，
又，，則，可知，
又，所以平面.
可將三棱錐置于圓柱中，且的外接圓為圓，
圓的半徑為，所以，三棱錐的外接球的直徑為，則，
故三棱錐的外接球的表面積.
故答案為：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為，
由正弦定理得，
又因為，可得，則，
即，可得，
因為，所以.
（2）因為，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，
所以，當且僅當時，等號成立，
所以的面積，
即的面積的最大值為.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，，所以；
當時，由，則，
可得，
整理得，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故.
（2）由（1）可得：，
則，
，
兩式相減得：，
所以.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）平面，平面，，，
又，且平面，平面，
所以平面，所以，
，Q為的中點，所以，
又，且平面，平面，
所以平面.
（2）以A為坐標原點，直線AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
則，，，
設平面ABQ的法向量為，
則，
取，則，
設平面BQE的一個法向量為，
則，取，，
則.
所以二面角的正弦值為，
故所求二面角的正弦值為.
20、
（1）答案：表格見解析，有
解析：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表如下：
可得，
所以有的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關.
（2）答案：分布列見解析，
解析：由題意，3人進球總次數(shù)的所有可能取值為0，1，2，3，
可得，，
，，
所以隨機變量的分布列為：
所以的數(shù)學期望為.
21．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意得，又點在橢圓上，
則，解得，
故所求橢圓E的標準方程為.
（2）由題意知直線l的斜率不為0，可設l方程為，
聯(lián)立，消x得，
則，
設，，
由韋達定理得，，，
則，
且
，
又則直線的方程為：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
則，
則.
即為定值.
22．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由，，
則，令，解得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
所以的最小值為，
要使對恒成立，則，解得，
故a的取值范圍為.
（2）由（1）知，當時，，
即：，當且僅當時，等號成立.
所以當時，，即，，
令，，又，
則，
即：，
故，，，
…，
，
各式相加得，
.
故命題得證.
喜歡足球
不喜歡足球
合計
男生
40
女生
30
合計
k
甲
乙
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
喜歡足球
不喜歡足球
合計
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合計
90
110
200
0
1
2
3
P

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