一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.1B.C.3D.
3．已知，是兩個平面，m，n是兩條直線，且，，，則“”是“”的( )
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．設(shè)函數(shù)的圖像與x軸相交于點P，則該曲線在點P處的切線方程為( )
A.B.C.D.
5．由動點P向圓引兩條切線，，切點分別為A，B，若四邊形為正方形，則動點P的軌跡方程為( )
A.B.
C.D.
6．某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為( )
A.12B.18C.20D.60.
7．已知O為坐標(biāo)原點，，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，P是雙曲線C上一點，若直線和的傾斜角分別為和，且，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.5C.2D.
8．對任意兩個非零的平面向量和，定義：，.若平面向量，滿足，且和都在集合中，則( )
A.1B.C.1或D.1或
二、多項選擇題
9．已知函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示，A，B為的圖像與x軸的交點，C為圖像上的最高點，是邊長為1的等邊三角形，，則( )
A.
B.直線是圖像的一條對稱軸
C.的單調(diào)遞減區(qū)間為
D.的單調(diào)遞增區(qū)間為
10．設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與拋物線E相交于點A，B，與x軸相交于點C，，，則( )
A.E的準線方程為
B.p的值為2
C.
D.的面積與的面積之比為9
11．已知函數(shù)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，且，則( )
A.的圖像關(guān)于點對稱B.
C.D.
三、雙空題
12．已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則__________，__________.
13．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，設(shè)，則__________，__________.
四、填空題
14．在長方體中，，，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為__________.
五、解答題
15．如圖，四棱錐的底面是正方形，設(shè)平面與平面相交于直線l.
（1）證明：.
（2）若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知正項數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
17．假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為.
（1）若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.
（2）該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計劃如下：先投n（，）個球，若這n個球都投進，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投個.試問n為何值時，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？
18．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過，兩點.
（1）求C的方程.
（2）A，B是C上兩個動點，D為C的上頂點，是否存在以D為頂點，為底邊的等腰直角三角形？若存在，求出滿足條件的三角形的個數(shù)；若不存在，請說明理由.
19．已知函數(shù)，.
（1）是否存在實數(shù)m，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
（2）已知，是的零點，，是的零點.
①證明：；
②證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：由得，即，
，所以.
故選：B.
2．答案：D
解析：令，則，所以，解得，，
所以，故，
故選：D.
3．答案：A
解析：用平面代表平面，平面代表平面，
當(dāng)如圖所示時顯然m與平面不垂直，
反之，當(dāng)時，又，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：A.
4．答案：C
解析：令，即，即，解得，
故，，則，
則其切線方程為：，即.
故選：C.
5．答案：B
解析：因為四邊形為正方形，且，所以，
故動點P的軌跡是以M為圓心，為半徑的圓，其方程為.
故選：B.
6．答案：C
解析：根據(jù)題意，可分為兩類：
①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個空隙中的一個時，有種方法；
②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個空隙中的兩個時，有種方法，
由分類計數(shù)原理得，共有種不同的差法.
故選：C.
7．答案：B
解析：由題意得，
所以直線的斜率為，直線的斜率為，
設(shè)，則有，，解得，，
代入雙曲線方程，得，
又，所以，
化簡可得：，，
所以，解得或（，舍）.
故選：B.
8．答案：D
解析：因為，
設(shè)向量和的夾角為，因為，所以，
得到，
又，所以，
又在集合中，所以，即，得到，
又因為，所以或1，
所以或，
故選：D.
9．答案：BC
解析：對于A，由圖可得：的最小正周期為2，所以，即，
易得，所以，
因為，所以，，，
由五點作圖法可得：，即，所以，
所以，故A不正確；
對于B，由于，為最大值，
所以直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；
對于C，令，解得；，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；
對于D，令，解得；，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D不正確，
故選：BC.
10．答案：BD
解析：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，可得，
所以，，
因為，所以，故，
因為，，由拋物線定義可得，，，
則，解得或，
因為，所以，則E的準線方程為，故B正確，A錯誤；
又E的方程為，，，
把代入可得，，
不妨設(shè)，，則，故C錯誤；
設(shè)F到直線的距離為d，
的面積，的面積，
則的面積與的面積之比，故D正確.
故選：BD.
11．答案：ACD
解析：對于A中，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
則關(guān)于對稱，可得關(guān)于對稱，
因為函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，可得，，解得，，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以A正確；
對于B中，由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，
因為，可得，
則，
兩式相減得，即，所以B不正確；
對于C中，令，
可得，
因為，所以，
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
由，可得，所以，
因為函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)，
所以，
由，可得，
即，令，可得，所以，
所以，所以，所以C正確；
對于D中，因為，且函數(shù)關(guān)于對稱，可得，，
又因為，令，可得，所以，
再令，可得，所以，
由，可得，，，，
可得，
又由函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且，
所以
，所以D正確.
故選：ACD.
12．答案：；1
解析：根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域為R，
則有，，即，解得，
當(dāng)，時，，其定義域為R，且，即為奇函數(shù)，故，；
故答案為：；1.
13．答案：0；/0.0625
解析：正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形，五個3角形各自角度之和，
正五邊形的內(nèi)角和；每個角為，
三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，
三角形內(nèi)角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，
即.
；
因為，
所以.
故答案為：0；.
14．答案：10
解析：平面截四面體的截面如圖所示，
設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，
且，，
在矩形中，，，，，，，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故答案為：10.
15．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因為四棱錐的底面是正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面平面，
所以；
（2）因為，取的中點O，連接，則，
因為平面平面，平面平面，
則平面，所以以O(shè)坐標(biāo)原點建立如圖坐標(biāo)系，
因為，，是正方形，所以，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，，
取，，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時，由，即，解得：，
所以，則數(shù)列為首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
所以，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足條件，
所以的通項公式為；
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依題意，該同學(xué)投籃4次，恰好投中2次的概率.
（2）設(shè)該同學(xué)投籃的次數(shù)為X，則X的可能值為n，，，，
于是，，
數(shù)學(xué)期望，
令，，則，
，顯然數(shù)列是遞減的，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
即有，因此最大，
所以當(dāng)時，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大.
18．答案：（1）
（2）存在，3個
解析：（1）由題設(shè)橢圓C的方程為（，，），
因為橢圓過，兩點，
所以，得到，，所以橢圓C的方程為.
（2）由（1）知，易知直線，的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)，，直線為，直線為，
由橢圓的對稱性知，當(dāng)時，顯然有，滿足題意，
當(dāng)時，由，消y得到，
所以，，即，
同理可得，
所以，
設(shè)中點坐標(biāo)為，則，，
所以中垂線方程為，
要使為為底邊的等腰直角三角形，則直中垂線方程過點，
所以，整理得到，
令，則，，
所以t有兩根，，且，，即有兩個正根，
故有2個不同的值，滿足，
所以由橢圓的對稱性知，當(dāng)時，還存在2個符合題意的三角形，
綜上所述，存在以D為頂點，為底邊的等腰直角三角形，滿足條件的三角形的個數(shù)有3個.
19．答案：（1）存在，且
（2）①證明見解析
②證明見解析
解析：（1）由題意得，，，
當(dāng)時，，，所以和在上都單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時，若和在上的單調(diào)區(qū)間相同，
則和有相同的極值點，即，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
所以無解，
綜上，當(dāng)時，和在上的單調(diào)區(qū)間相同；
（2）①由題意，有兩個零點，，
若，則，所以在R上單調(diào)遞增，不符合題意，
若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，解得，得證；
②令，，得，，即，，
令，，則，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，
它們有公共點，如圖，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.

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