本試卷滿分150分，考試時間120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知命題：向量，所在的直線平行，命題：向量，平行，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
3．已知點，，向量，，則與的夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．在平行四邊形中，已知，，，，則（ ）
A．9B．C．6D．
6．為測量河對岸的直塔的高度，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點，，測得的大小為，點，的距離為，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫椋邳c處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則直塔的高為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖所示的矩形中，，滿足，，為的中點，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
8．如圖，在邊長為4的等邊中，點為中線的三等分點（靠近點），點為的中點，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。
9．下列說法正確的是（ ）
A．已知，，若與共線，則
B．若，，則
C．若，則一定不與共線
D．若，，為銳角，則實數(shù)的范圍是
10．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項中正確的是（ ）
A．對應(yīng)的點位于第二象限B．為純虛數(shù)
C．的模長等于D．的共軛復(fù)數(shù)為
11．如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官?。┕偶苁穷愃朴跁苁降哪酒?，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封檔，便于從各個位置觀賞架上放置的器物．某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．設(shè)為線段上任意一點，則的取值范圍是
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．設(shè)是虛數(shù)單位，是實數(shù)，若是實數(shù)，則 ________．
13．已知，，若與為共線向量，則實數(shù)________．
14．在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
如圖，已知正三棱錐的底面邊長為2，正三棱錐的高．
（1）求正三棱錐的體積；
（2）求正三棱錐的表面積．
16．（15分）
已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且
邊．
（1）求的周長；
（2）若角，求的面積．
17．（15分）
已知，．
（1）當(dāng)為何值時，與垂直？
（2）若，，且，，三點共線，求的值．
18．（17分）
在中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大?。?br>（2）求的取值范圍．
19．（17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，對任意兩個向量，，作：，．當(dāng)，不共線時，記以，為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)，共線時，規(guī)定．
（1）分別根據(jù)下列條件求；
①，；②，；
（2）若向量，求證：；
（3）若，，是以為圓心的單位圓上不同的點，記，，．
①當(dāng)時，求的最大值；
②寫出的最大值．（只需寫出結(jié)果）
銀川市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期中考試
數(shù)學(xué)試題參考答案
本試卷滿分150分，考試時間120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．【解析】“命題：向量，平行”等價于“向量，所在的直線平行或重合”，所以是的充分不必要條件．
2．【解析】
法一：，所以．
法二：根據(jù)，所以．
3．【解析】易得，，
則．
4．【解析】由正弦定理，
又，即，
所以，即，即．
5．如圖，為上靠近的三等分點，為上靠近的三等分點，所以，，
所以，即，即①，
，即，即②，
①-②得：，所以，
所以．
6．【解析】設(shè)，
在中，，在中，，
在中，，解得．
7．【解析】
因為為的中點，，所以．
8．【解析】，
，
所以
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。
9．【解析】已知，，若與共線，則，解得，A正確；
當(dāng)時，，，則錯誤，B錯誤；
模長與共線沒有任何關(guān)系，C錯誤，
為銳角，則，解得，D正確．
10．【解析】，所以A正確；
，B正確；
，C正確：
，其共軛復(fù)數(shù)為，D錯誤．
11．【解析】以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，，，所以A正確；
，，，
即，解得，所以，B錯誤；
，，，，
所以，C錯誤；
設(shè)，所以，，
所以，
所以當(dāng)時，取得最小值為，當(dāng)時，取得最大值為40，
所以的取值范圍是，D正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．【解析】，
若是實數(shù)，則，所以
13．【解析】，，若與為共線向量，則，解得．
14．【解析】因為，所以．
因為，，三點共線，所以，
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
15．【解析】
（1），所以．
（2）連接并延長交于，則在等邊三角形中，，
所以，
所以，
所以．
16．【解析】
（1）由正弦定理，因為，所以，
所以，即的周長為．
（2）由余弦定理，即，解得，
所以．
17．【解析】
（1），，
當(dāng)與垂直時，，即，解得，
所以當(dāng)時，與垂直．
（2），，
若，，點共線，則，即，解得．
18．【解析】
（1）根據(jù)正弦定理，
即，即，所以，
又，所以．
（2）因為，所以，所以，其中，
所以，
因為，所以，所以．
19．【解析】
（1）①；
②，所以．
（2），
因為，即，，所以與，不平行，
所以．
，
所以．
（3）①當(dāng)時，不妨設(shè)，，設(shè)，
所以
所以當(dāng)時，取得最大值為．
②的最大值為．
．

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