2024成都石室中學(xué)高三下學(xué)期三診模擬考試數(shù)學(xué)（文）含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（總分：150分，時(shí)間：120分鐘）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1．滿足且的集合的個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
2．在中，“是鈍角”是“”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績(jī)的極差為31，乙的成績(jī)的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．乙的成績(jī)的中位數(shù)為D．乙的成績(jī)的方差小于甲的成績(jī)的方差
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明（）的過(guò)程中，從到時(shí)，比共增加了（）
A．1項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)
5．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的周期為
C．是的一個(gè)對(duì)稱中心D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
6．物理學(xué)家本·福特提出的定律：在b進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為.應(yīng)用此定律可以檢測(cè)某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤.若，則k的值為（）
A．7B．8C．9D．10
7．已知函數(shù)的圖象在兩個(gè)不同點(diǎn)與處的切線相互平行，則的取值可以為（）
A．B．1C．2D．
8.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲(chóng)、開(kāi)竅的功效.因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的由六個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來(lái)，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個(gè)六面體中，棱AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（）
A．平行B．相交C．異面且垂直D．異面且不垂直
9．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率為（）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，向量，且.若點(diǎn)的軌跡與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)和（點(diǎn)在軸上方），雙曲線右焦點(diǎn)為，則（）
A．B．C．D．
11．如圖，射線與圓，當(dāng)射線從開(kāi)始在平面上按逆時(shí)針?lè)较蚶@著原點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)（、分別為和上的點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)）時(shí)，它被圓截得的線段長(zhǎng)度為，則函數(shù)的解析式為（）
A． B． C． D．
12．若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則 .
14．已知a是1與2的等差中項(xiàng)， b是 1與16的等比中項(xiàng)，則ab等于 .
15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于任意實(shí)數(shù)均滿足，若，，則 .
16.成都石室中學(xué)校園文創(chuàng)產(chǎn)品圓臺(tái)形紙杯如圖所示，其內(nèi)部上口直徑?下口直徑?母線的長(zhǎng)度依次等于、、，將紙杯盛滿水后再將水緩慢倒出，當(dāng)水面恰好到達(dá)杯底（水面恰好同時(shí)到達(dá)上口圓“最低處”和下口圓“最高處”）的瞬間的水面邊緣曲線的離心率等于 .
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17．（本小題滿分12分）成都石室中學(xué)生物基地里種植了一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)生物基地里部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若從高度在和中分層抽樣抽取5株，再在這5株中隨機(jī)抽取2株，求抽取的2株高度均在內(nèi)的概率.
18．（本小題滿分12分）如圖，在平面四邊形中，已知點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，，．
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)設(shè)，求.
19．（本小題滿分12分）已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)，且是的極值點(diǎn)，證明：.
20．（本小題滿分12分）已知平面與平面是空間中距離為1的兩平行平面，，，且，和的夾角為.
(Ⅰ)證明：四面體的體積為定值；
(Ⅱ)已知異于、兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且、、、、均在半徑為的球面上.求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.過(guò)原點(diǎn)作橢圓的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為，求的取值范圍.
選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；
(Ⅱ)若將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值.
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．
(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)若、，，，證明：．成都石室中學(xué)2023-2024年度下期高2024屆三診模擬
數(shù)學(xué)試題（文）參考答案
（總分：150分，時(shí)間：120分鐘）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1. B【解析】由可得：，.又因?yàn)椋?br>所以或.故選：B
2.C【解析】“”等價(jià)于“”，
所以
從而，顯然A，B，C不共線，原條件等價(jià)于是鈍角.故選：C．
3. C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，甲得分的極差為31，，解得：，A正確；
對(duì)于B，乙的平均數(shù)為，解得，B正確；
對(duì)于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)是26，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，甲的平均數(shù)，與乙的平均數(shù)相同，但根據(jù)莖葉圖可得乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：C．
4.D【解析】因?yàn)?，所以，共?xiàng)，
則共項(xiàng)，所以比共增加了項(xiàng)，故選：D
5. B【解析】由函數(shù)，
由此可作出的函數(shù)圖象，如圖所示，
對(duì)于A中，由，
所以關(guān)于直線不對(duì)稱，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由，所以B正確；
對(duì)于C中，由函數(shù)圖象可知，不存在對(duì)稱中心，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，因?yàn)椋?，?br>所以函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：B.
6. C【解析】，
而，故．故選：C．
7.D【解析】由，則，則，，
依題意可得且、、，所以，所以，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)、分別取、時(shí)滿足題意.故選：D
8.B【解析】將平面展開(kāi)圖還原為直觀圖，可得兩個(gè)三棱錐拼接的六面體，它們共一個(gè)底面，且兩點(diǎn)重合，所以與相交，故選：B
9. C【解析】設(shè)甲船到達(dá)泊位的時(shí)間為，乙船到達(dá)泊位的時(shí)間為，則，
這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待，則，
畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分，，
則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率為.故選：C
10. D【解析】由于向量，且，則點(diǎn)的軌跡為，
與雙曲線其中一條漸行線，聯(lián)立，得，同理得，
因此.故選：D
11. C【詳解】由圓可得圓的極坐標(biāo)方程為，
化簡(jiǎn)得到，聯(lián)立方程組，
得到方程，
則，故選：C.
12.B【解析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，，，，
由知，并可轉(zhuǎn)化為，
設(shè)，根據(jù)可行域可知，，
設(shè)，（），
則，，
因?yàn)?，所以恒成立，則單調(diào)遞增，且，
所以令，得，則在時(shí)單調(diào)遞減；令，得，則在時(shí)單調(diào)遞增，又，，，
所以，所以，解得，故選：B.
第Ⅱ卷（共90分）
填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13. 【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.
14. 【解析】因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，因?yàn)槭?，的等比中?xiàng)，所以，，所以.故答案為：.
15. 【解析】令即可求出，
令即可求出，
，
結(jié)合，，，，可猜想.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，由上述知成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí)有，
則當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
.
所以成立，所以.
故答案為：.
16. 【解析】由教材章頭圖知識(shí)知道，用平面截對(duì)接圓錐所得截面邊緣曲線是圓錐曲線.對(duì)于本題，如圖，水面到達(dá)杯底（底面圓“最高處”）的瞬間，水面邊緣曲線是橢圓，作紙杯（圓臺(tái)）的與水面垂直的軸截面，則是橢圓的長(zhǎng)軸，是橢圓的短軸.是圓臺(tái)的軸線，作于，則
，
，
記與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則，
，
，
，
由實(shí)際情形知，點(diǎn)在圓臺(tái)的過(guò)軸線的中點(diǎn)且與軸線垂直的截面圓上，.由垂徑定理知垂直平分，，
記橢圓的離心率為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?短半軸長(zhǎng)?半焦距為，
則.故答案為：.
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17.(1)；(2)
【解析】（1）依題意可得，解得；……2分
（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，因此記高度在植株為，記高度在植株為，
則所有選取的結(jié)果為（,）、（,）、（,）、（,）、（,）、（,）、（,）、（,）、（,）、（,）共10種情況，6分
令抽取的2株高度均在內(nèi)為事件，事件的所有情況為（,）、（,）、（,）共3種情況，10分
即.……12分
18.(1) (2)
【解析】（1）因?yàn)镃點(diǎn)關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，
所以DB平分，所以，因?yàn)?，所以，BC=CD，
所以‖，所以，
因?yàn)?，?br>所以，……3分
所以．……6分
（2）因?yàn)樵谥?，由正弦定理?
所以，，
所以，所以，……9分
在中，由余弦定理得，
．……12分
19. 【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，……2分
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……5分
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ……6分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
由是的極值點(diǎn)，得，即，……7分
，
而，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值. ……8分
設(shè)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，所以.……12分
20．【解析】（1）如圖，平移線段使得與重合，并將四面體補(bǔ)成一個(gè)斜三棱柱.
則該斜棱柱的底面積，高，所以該斜棱柱的體積為定值. …….2分
此斜棱柱恰好可以分為兩兩底面積相同，高相同的三個(gè)三棱錐.
于是這三個(gè)三棱錐的體積都相等，都是斜棱柱的.
所以四面體的體積為，是定值. …….5分
（2）設(shè)球心是，并設(shè)與平面，平面的距離分別是，.
由可知，在，的中垂面和，的中垂面的交線上.
設(shè)的中點(diǎn)是，的中點(diǎn)是.則由勾股定理得.
注意到，所以，，共線，
且平面. …….8分
因?yàn)?，且、、、、均在球上，所以在以點(diǎn)為圓心、以為直徑的圓上(除去、兩點(diǎn)).
過(guò)點(diǎn)N直線AB的平行線，
設(shè)點(diǎn)到直線AB，的距離分別為，，則，
又，所以.……12分
21.【解析】（1）由題意，得且，又，
解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ……4分
（2）設(shè)切線的方程為，切線的方程為，“環(huán)繞圓”的圓心D為.
由“環(huán)繞圓”的定義，可得“環(huán)繞圓”的半徑為1，所以“環(huán)繞圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因?yàn)橹本€與“環(huán)繞圓”相切，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，……6分
化簡(jiǎn)得.
同理可得.
所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以. ……8分
又因?yàn)椤碍h(huán)繞圓”的圓心在橢圓上，所以代入橢圓方程中，
可得，解得.
所以.……10分
又因?yàn)榍?，所以?
所以或，所以或，
所以或.
所以的取值范圍是.……12分
選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 【解析】（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，
消去參數(shù)，直線的普通方程為， ……2分
曲線的普通方程為：，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. ……4分
（2）由（1）有：的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
由題意知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），……6分
所以可設(shè)點(diǎn)，又直線的普通方程為，
故點(diǎn)到直線的距離為：，……8分
所以當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)到直線的距離的最小值為.……10分
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．【解析】（1）由得：，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
綜上，不等式的解集為.……4分
（2）證明：，
因?yàn)?，，即，，…?分
所以，
所以，即，所以原不等式成立. ……10分

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