題型一利用集合元素的特征解決元素與集合的問題
例1．（2022秋·湖南永州·高三校考階段練習(xí)）若，則實數(shù)的值為______.
【答案】
【分析】分，分別求解，再根據(jù)元素的互異性即可得答案.
【詳解】解：當(dāng)時，
則不滿足元素的互異性，
故；
所以，解得:(舍)或，
故實數(shù)的值為.
故答案為：2.
例2．（2022·上?！じ咭唤y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“ntebks”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合中的元素個數(shù)是______________
【答案】7
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性知集合中不能出現(xiàn)相同的元素.
【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“ntebks”中的不同字母為“n，，t，e，b，k，s”，共7個，故該集合中的元素個數(shù)是7；
故答案為：7.
練習(xí)1．（2022秋·貴州·高三統(tǒng)考期中）若，則__________.
【答案】.
【分析】由集合相等和元素互異性，進(jìn)行求解.
【詳解】由題意得所以.
故答案為：-101.
練習(xí)2．（2022秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則集合中的元素個數(shù)為________．
【答案】
【分析】根據(jù)元素特征，采用列舉法表示出集合，由此可得元素個數(shù).
【詳解】由題意得：，
中元素個數(shù)為.
故答案為：.
練習(xí)3．（2022秋·北京海淀·高三?？计谥校┰O(shè)集合，，若，則______.
【答案】
【分析】根據(jù)集合相等可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得解.
【詳解】由集合元素的互異性可知，則，因為，則，解得，
因此，.
故答案為：.
練習(xí)4．（2021秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，若，則__________．
【答案】
【分析】根據(jù)集合相等及集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】由集合，，
若，則集合B中或，
若，則或舍去，此時且；
若，則集合A中，不符合集合中元素的互異性，不成立，
綜上，
故答案為：
練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，
顯然，故，則；
此時兩集合分別是，
則，解得或.
當(dāng)時，不滿足互異性，故舍去；
當(dāng)時，滿足題意.
所以
故答案為：.
題型二集合與集合之間的關(guān)系
例3．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個數(shù)求集合的真子集個數(shù)即可.
【詳解】由題意得，所以集合的真子集個數(shù)為.
故選：C.
例4．（2021秋·高三課時練習(xí)）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中錯誤的個數(shù)是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】由元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系考查所給式子是否正確即可．
【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知，故①錯誤；
由集合與集合的關(guān)系可知，故②錯誤；
任何集合都是自身的子集，故③正確；
空集是任何非空集合的子集，故④正確；
集合中的元素具有互異性和無序性，故⑤正確；
綜上可得，只有①②錯誤．
故選B．
練習(xí)6．（2023春·吉林長春·高二長春市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，.
(1)求
(2)求的子集個數(shù)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解；
（2）根據(jù)交集的定義求出，再根據(jù)子集的定義即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以或；
（2），
所以，
所以的子集個數(shù)有個.
練習(xí)7．（2023春·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合第一象限的角，銳角，小于90°的角，給出下列四個命題；①；②；③；④.其中正確的命題有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】A
【分析】根據(jù)任意角的定義和集合的基本關(guān)系求解.
【詳解】{第一象限角}，只需要終邊落在第一象限的都是屬于第一象限角．
{銳角}，是指大于而小于的角．
{小于的角}，小于的角包括銳角，零角和負(fù)角．
根據(jù)集合的含義和基本運算判斷：①，①錯誤；
②，比如，，但，②錯誤；
③，比如，但，③錯誤；
④，④錯誤；
正確命題個數(shù)為0個．
故選：A．
練習(xí)8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則A∩B的子集個數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)集合與集合中方程的幾何意義，利用直線過圓心判斷直線與圓的位置關(guān)系，確定交集中元素的個數(shù)，進(jìn)而求解.
【詳解】集合表示以為圓心，為半徑的圓上的所有點，
集合表示直線上的所有點，
因為直線經(jīng)過圓心，所以直線與圓相交，
所以的元素個數(shù)有2個，則的子集個數(shù)為4個，
故選：.
練習(xí)9．（2022秋·高三課時練習(xí)）設(shè)集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數(shù)為（ ）
A．4B．6C．7D．15
【答案】B
【分析】求得集合，即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個數(shù)為.
故選：B
練習(xí)10．（2021秋·高一課時練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．空集沒有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
【答案】BD
【分析】根據(jù)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判斷出選項AD的正誤；選項B ，通過解方程，可求出集合中的元素，從而判斷出選項B正確；選項C ，通過求出兩集合的元素滿足的條件，從而判斷出集合與間的關(guān)系，從而判斷出選項C錯誤.
【詳解】對于選項A，因為空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以選項A錯誤；
對于選項B，由，得到或，所以，所以選項B正確；
對于選項C，因為，，所以，所以選項C錯誤；
對于選項D，因為空集是任何非空集合的真子集，所以選項D正確.
故選：BD
題型三集合間的基本運算
例5．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化簡集合A，B，再利用交集運算求解.
【詳解】解：由題意得，
，
故選：D.
例6．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）已知全集，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解作答.
【詳解】集合，而全集，
所以.
故選：A
練習(xí)11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.
【詳解】由條件可知，，，
所以．
故選：C.
練習(xí)12．（江西省贛撫吉十一校聯(lián)盟體2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合交集運算可得.
【詳解】因為
所以.
故選：B
練習(xí)13．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解絕對值不等式得出集合，再根據(jù)交集并集概念計算求解即可.
【詳解】因為，，
所以，.
故選：C.
練習(xí)14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】計算，再計算補(bǔ)集得到答案.
【詳解】，則.
故選：B
練習(xí)15．（2023·北京·人大附中校考模擬預(yù)測）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的定義域、值域，再利用并集的定義求解作答.
【詳解】集合，即，
，則，所以.
故選：B
題型四集合間的交并補(bǔ)混合運算
例7．（四川省遂寧市2023屆高三三診考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解出集合或，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的含義即可得到答案.
【詳解】，解得或，
則或，則，
故，
故選：A.
例8．（山東省淄博市部分學(xué)校2023屆高一下學(xué)期4月階段性診斷考試數(shù)學(xué)試題）已知集合，則下列集合為空集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出集合，然后利用集合的運算逐項進(jìn)行判斷即可求解.
【詳解】集合，集合，
所以，，
對于，，故選項不滿足題意；
對于，，故選項滿足題意；
對于，，故選項不滿足題意；
對于，，故選項不滿足題意，
故選：.
練習(xí)16．（天津市部分區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合的運算求解.
【詳解】.
故選：B
練習(xí)17．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知全集，，則集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.
【詳解】由知，
又因為，
所以.
故選：A.
練習(xí)18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知全集，集合，，則集合中的子集個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．16D．無數(shù)個
【答案】B
【分析】首先求集合，再求集合的運算.
【詳解】先求，，所以，則，
所以子集的個數(shù)為.
故選：B
練習(xí)19．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知全集，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用集合的交并補(bǔ)運算即可求解.
【詳解】，，故．
故選：C．
練習(xí)20．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.
【詳解】因為，
，
則，因此，.
故選：C.
題型五Venn圖
例9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知集合，，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化簡集合M，N，根據(jù)集合的運算判斷為兩集合交集即可得解.
【詳解】，，
,
由Venn圖知，A符合要求.
故選：A
例10．（2022秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知全集，集合和集合都是的非空子集，且滿足，則下列集合中表示空集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用圖表示集合，結(jié)合圖像即可找出表示空集的選項.
【詳解】由圖表示集合如下：
，
由圖可得，，，，
故選：D
練習(xí)21．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）集合，將集合分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用圖象求得正確答案.
【詳解】，
所以:
A選項，陰影部分表示，不符合題意.
B選項，陰影部分表示，符合題意.
C選項，陰影部分表示，不符合題意.
D選項，陰影部分表示，不符合題意.
故選：B
練習(xí)22．（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運算即可求解.
【詳解】全集為U，集合，，,圖中陰影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是．
故選：D．
練習(xí)23．（2022秋·高三單元測試）（多選）如圖，為全集，是的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分析出陰影部分為和的子集，從而選出正確答案.
【詳解】圖中陰影部分是的子集，不屬于集合，屬于集合的補(bǔ)集，即的子集，
滿足要求的為，均表示陰影部分,BD不合要求.
故選：AC
練習(xí)24．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某班一個課外調(diào)查小組調(diào)查了該班同學(xué)對物理和歷史兩門學(xué)科的興趣愛好情況，其中該班同學(xué)對物理或歷史感興趣的同學(xué)占90％，對物理感興趣的占56％，對歷史感興趣的占74％，則既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比練習(xí)是（ ）
A．70％B．56％C．40％D．30％
【答案】C
【分析】根據(jù)公式列方程求解即可.
【詳解】對物理感興趣的同學(xué)占56％，對歷史感興趣的同學(xué)占74％，
這兩組的比練習(xí)數(shù)據(jù)都包含了既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)的比練習(xí)，
設(shè)既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比練習(xí)為x，
則對物理或歷史感興趣的同學(xué)的比練習(xí)是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得％，
故選：C.
練習(xí)25．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考期中）設(shè)集合，，能正確表示圖中陰影部分的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，結(jié)合題意及集合的運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，
根據(jù)圖中陰影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即為.
故選：B.
題型六集合的含參運算
例11．（廣東省汕頭市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知集合，，且，則的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的關(guān)系及并集的定義討論即可.
【詳解】由題意可得：或
若，此時，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；
若，解得或，顯然時符合題意，而同上，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；
故.
故選：B
例12．（2020秋·安徽蕪湖·高三校考階段練習(xí)）若集合，，且?，求實數(shù)m的值.
【答案】或或
【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合已知即可得解.
【詳解】，
當(dāng)時，?，
當(dāng)時，，
因為?，所以或，
所以或，
綜上所述，或或.
練習(xí)26．（2022秋·山東菏澤·高三校聯(lián)考期中）已知集合，或．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)題意，先求出集合的補(bǔ)集，再利用集合的并集運算求解即可；
(2)根據(jù)集合的包含關(guān)系分和兩種情況進(jìn)行討論即可求解.
【詳解】（1）若，則集合，
所以，
所以；
（2）因為集合，或，
因為，所以分以下兩種情況：
若，即，解得，滿足題意，
若，則
解得，
綜上所述a的取值范圍為
練習(xí)27．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）設(shè)集合或，若，則的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】先求出，根據(jù)，可求得結(jié)果.
【詳解】由集合或，得，又集合且，則2或，即或.
故選：B.
練習(xí)28．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．（3,4）C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列出關(guān)于a的不等式組即可.
【詳解】由已知可得，集合，，
因為，所以，（注意端點值是否能取到），
解得，
故選：B．
練習(xí)29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)全集 ，，．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用集合的補(bǔ)集和交集的運算知識即可求解.
（2）求出，，分，兩種情況討論，根據(jù)集合的運算求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
所以或，；
（2）全集 ，，
或，
，
分，兩種情況討論.
（1）當(dāng)時，如圖可得，或，
或；
（2）當(dāng)時，應(yīng)有：，解得；
綜上可知，或，
故得實數(shù) 的取值范圍.
練習(xí)30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，全集
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)交集與補(bǔ)集的運算求解即可；
（2）分與由條件列不等式求范圍即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
所以或，又，
所以.
（2）由題可得：當(dāng)時，有，
解得a的取值范圍為；
當(dāng)時有，解得a的取值范圍為，
綜上所述a的取值范圍為.
題型一
利用集合元素的特征解決元素與集合的問題
題型二
集合與集合之間的關(guān)系
題型三
集合間的基本運算
題型四
集合間的交并補(bǔ)混合運算
題型五
Venn圖
題型六
集合的含參運算

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