出題人：劉寬新
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是（ ）
A B. C. D.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，在中，是的中點，若，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，若，，的面積為，則（ ）
A. 13B. C. 2D.
5. 已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積
A. B. 1C. D.
7. 在中，角所對的邊分別為，表示的面積，若 ，則
A. 90B. 60C. 45D. 30
8. 已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 對應(yīng)的點在復(fù)平面的第二象限B. C. 的實部為D. 的虛部為
10. 如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B
C. 與的夾角為
D. 在方向上的投影向量為
11. 在中，下列命題正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則定為等腰三角形
C. 若，則定為直角三角形
D. 若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.
13. 水平放置的的直觀圖如圖所示，已知， ，則邊上的中線的實際長度為______．
14. 在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．

四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知，，.
（1）求向量與的夾角；
（2）當(dāng)向量與垂直時，求實數(shù)值.
16. 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．
（1）求及；
（2）若，求實數(shù)，的值．
17. 的內(nèi)角所對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，，求面積．
18. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）
（1）求實數(shù)及；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．
19. 在 中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，現(xiàn)有下列四個條件：①；②;③；④．
（1）③④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；
（2）已知同時滿足上述四個條件中的三個．請選擇使有解的三個條件，求的面積．武強(qiáng)中學(xué)2023—2024學(xué)年度下學(xué)期期中測試
高一數(shù)學(xué)試題
出題人：劉寬新
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：B是經(jīng)過正方體對角面的截面；C是經(jīng)過球心且平行于正方體側(cè)面的截面；D是經(jīng)過一對平行的側(cè)面的中心，但不是對角面的截面．
考點：截面及其作法
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因為，故，故
故選：C
3. 如圖，在中，是的中點，若，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形法則與平行四邊形法則表示向量.
【詳解】因為是的中點，，，
所以，
所以.
故選：D.
4. 在中，若，，的面積為，則（ ）
A. 13B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用面積公式求出c，再用余弦定理求出a.
【詳解】在中， ，，的面積為，
所以,解得：c=4.
由余弦定理得：
所以.
故選：B.
5. 已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.
【詳解】記向量與向量的夾角為，
在上的投影為.
在上的投影為，
，
，
.
故選：B.
6. 如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意求出直觀圖中OB的長度，根據(jù)斜二測畫法，求出原圖形平行四邊形的高，即可求出原圖形的面積．
【詳解】解：由題意正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，
所以O(shè)B，對應(yīng)原圖形平行四邊形的高為：2，
所以原圖形的面積為：1×22．
故選A．
點睛】本題考查斜二測直觀圖與平面圖形的面積的關(guān)系，斜二測畫法，考查計算能力．
7. 在中，角所對的邊分別為，表示的面積，若 ，則
A. 90B. 60C. 45D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面積公式可求角C，從而得到B的值．
【詳解】由正弦定理及得
,因為，所以；
由余弦定理、三角形面積公式及，得,
整理得，又,所以,故.
故選D
【點睛】本題考查正、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
8. 已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可．
【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，
則，，，
設(shè)，則，，，
則
當(dāng)，時，取得最小值，
故選：．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，為z共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 對應(yīng)的點在復(fù)平面的第二象限B. C. 的實部為D. 的虛部為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求出，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念以及幾何意義和模長公式逐項分析即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
對應(yīng)點為在第三象限，
，實部為，虛部為，
選項B，C正確，選項A，D錯誤．
故選：BC．
10. 如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B.
C. 與的夾角為
D. 在方向上的投影向量為
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)向量模、共線、夾角、投影向量等知識確定正確選項.
【詳解】，A正確.
，所以且反向，所以B正確，C錯誤.
在方向上的投影向量為，D錯誤.
故選：AB
11. 在中，下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則定為等腰三角形
C. 若，則定為直角三角形
D. 若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角
【答案】ACD
【解析】
【分析】
選項，由三角形邊角關(guān)系和正弦定理，可判斷為正確；選項，由三角函數(shù)確定角的關(guān)系，要結(jié)合角范圍，所以錯誤；選項，用正弦定理邊化角，再將代入展開，整理可得，所以正確；選項，用余弦定理求出最大邊所對的角，判斷正確.
【詳解】在中，若，則，因此，A正確；
若，則或，
即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；
若，
則，
所以，即，，
所以定為直角三角形，C正確；
三角形的三邊的比是，設(shè)最大邊所對的角為，
則，因為，
所以，D正確.
故選:ACD.
【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判斷三角形的形狀，注意角的范圍及三角形內(nèi)角和等于，屬于中檔題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.
【答案】
【解析】
【詳解】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.
【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.
第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.
第三步：求結(jié)果.
13. 水平放置的的直觀圖如圖所示，已知， ，則邊上的中線的實際長度為______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中直觀圖中線段的長，可分析出實際為一個直角邊長分別為、的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出斜邊，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的原則,由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且，,
所以，
所以，
故邊上中線長為.
故答案為：2.5.
14. 在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．

【答案】
【解析】
【詳解】以為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，由的模為與與的夾角為，且知， ，可得，，由可得，，故答案為.
【 方法點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算及兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答，這種方法在求范圍與最值問題時用起來更方便．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知，，.
（1）求向量與的夾角；
（2）當(dāng)向量與垂直時，求實數(shù)的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)量積的性質(zhì)及運算律求出，再利用夾角公式計算作答；
（2）利用垂直的向量表示及數(shù)量積的運算律求解作答.
【小問1詳解】
因，，，則有，
解得，因此，而，于是得，
所以向量與的夾角.
【小問2詳解】
因向量與垂直，由（1）知，
則，解得，
所以實數(shù)的值為.
16. 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．
（1）求及；
（2）若，求實數(shù)，的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求解出復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解；
（2）首先將代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實數(shù)，的值.
【小問1詳解】
∵，
∴．
【小問2詳解】
由（1）可知，
由，得：，
即，∴，解得
17. 的內(nèi)角所對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理得，化簡即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面積．
【詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理得，
又，從而，
由于，所以．
（2）根據(jù)余弦定理，而，，，
代入整理得，解得或（舍去）．
故的面積為．
【點睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.
18. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）
（1）求實數(shù)及；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到方程（不等式）組，求出的值，即可求出，從而求出其模；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
∵，∴，
，
為純虛數(shù)，
，解得，
故，則
【小問2詳解】
，
，
復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第二象限，
，解得，
故實數(shù)取值范圍為.
19. 在 中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，現(xiàn)有下列四個條件：①；②;③；④．
（1）③④兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；
（2）已知同時滿足上述四個條件中的三個．請選擇使有解的三個條件，求的面積．
【答案】（1）不能同時成立，理由見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；
（2）確定滿足三角形有解的所有組合為①②③或①②④．若選①②③，則可由正弦定理求得B，即可由三角形面積公式求得答案；若選①②④，可由余弦定理求得c，再求得，即可求得三角形面積.
【小問1詳解】
由條件③，可得．
解得或（因為,舍去），
因為，所以；
由條件④，可得，
因為，且，
而在上單調(diào)遞減，所以．
若條件③④能同時成立，
則與矛盾，
所以③④兩個條件不能同時成立．
【小問2詳解】
因為 同時滿足題目條件中的三個，不能同時滿足③④，
則滿足三角形有解的所有組合為①②③或①②④．
若選擇①②③：由（1）知，由，
可得，
因為，所以，所以△ABC為直角三角形，
所以，所以的面積．
若選擇①②④：由（1）知，
由，得，
即，解得（負(fù)值舍去）．
因為，所以，
所以的面積．

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