1．某話劇有5名女演員和2名男演員，演出結(jié)束后，全體演員站成一排登臺謝幕，若2名男演員不相鄰，則不同的排法有（ ）
A．3600種B．2400種C．360種D．240種
2．現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的10名特種兵中選出4人去參加搶險，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．已知隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，若，（ ）
A．B．C．D．
4．將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數(shù)為（ ）
A．3B．6C．10D．15
5．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次正面向上的數(shù)字為，第二次正面向上的數(shù)字為，記事件“為偶數(shù)”，事件“”，則（ ）
A． B．C．D．
6．已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
若離散型隨機變量，則（ ）．
A．B．C．D．
7．若展開式的常數(shù)項等于 ，則（ ）
A． B．C．2D．3
8．設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（ ）
A．60B．100C．120D．130
二、多選題（每小題6分，部分選對得部分分）
9．若隨機變量，下列說法中正確的有（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
10．下列等式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在二項式的展開式中，下列說法中正確的是（ ）
A．常數(shù)項是B．各項系數(shù)和是64
C．第4項的二項式系數(shù)最大D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和是32
三、填空題（每小題5分）
12．若，則的值為 .
13．2023年冬天我國多地爆發(fā)流感，已知在三個地區(qū)分別有的人患了流感，這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取1人，則這個人患流感的概率為 .
14．甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是 ．
四、解答題
15．（13分）設(shè)隨機變量X的分布列為．
(1)求常數(shù)a的值；
(2)求和．
16．（15分）已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
17．（15分）某學校派出6名同學參加省教育廳主辦的理科知識競賽，分為數(shù)學競賽，物理競賽和化學競賽，該校每名同學只能參加其中一個學科的競賽，且每個學科至少有一名學生參加．
(1)求該校派出的6名學生總共有多少種不同的參賽方案？
(2)若甲同學主攻數(shù)學方向，必須選擇數(shù)學競賽，乙同學主攻物理方向，必須選擇物理競賽，則這6名學生一共有多少種不同的參賽方案？
18．（17分）中醫(yī)藥學是中國古代科學的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學習小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.
(1)從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；
(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.
19．（17分）某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個球，其中4個黑球和2個白球．從袋中隨機取出2個球，記取出白球的個數(shù)為X．
(1)寫出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一個白球得一分，取出一個黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．
X
0
1
2
3
P
a
參考答案：
1．A
【分析】利用插空法，先排女演員，再讓男演員插空排列.
【詳解】先將5名女演員排成一排，再將2名男演員插空進去，
共有種排法．
故選：A.
2．A
【分析】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”，然后使用條件概率公式計算即可.
【詳解】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”.
由于一共有10名特種兵，而要從中選出4名，故.
而從10名特種兵選出4名時，如果甲和乙被選中，則剩余2個被選中的人可從甲和乙之外的8名特種兵中任意選擇2名，
故選取方式有種，從而.
故，A正確.
故選：A.
3．C
【分析】計算，根據(jù)計算得到答案.
【詳解】隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則，
.
故選：C
4．B
【分析】對每個盒子放入2個球，再看余下2個球的去向即可得解.
【詳解】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有種方法，放入兩個盒子有種方法，
所以不同放法的種數(shù)為.
故選：B
5．D
【分析】分別列舉出事件、事件、事件的基本事件個數(shù)，代入條件概率公式求解即可.
【詳解】由題意知，事件包含的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共18個，
事件包含的基本事件有，，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，共有25個，
則事件與事件同時發(fā)生的基本事件有，，，，，，
，，，，，共11個，
所以.
故選：D.
6．A
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】由分布列的性質(zhì)可知： 解得 ，
由 ， 等價于 ，由表可知 ；
故選：A.
7．C
【分析】先求出展開式中的系數(shù)，再乘以得展開式的常數(shù)項，解方程即可求解得答案.
【詳解】解：展開式的通項公式為：，
所以當時，項的系數(shù)為：，
的展開式無常數(shù)項，
所以展開式的常數(shù)項為：，解得：
故選：C.
【點睛】本題考查二項式的常數(shù)項的求解，是中檔題.
8．D
【分析】明確集合中滿足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計算，即可求得答案.
【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個數(shù)，
即指中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3，
故滿足條件的元素的個數(shù)為（個），
故選：D
9．AC
【分析】
利用獨立重復(fù)試驗的概率公式可判斷A選項；利用二項分布的期望公式可判斷B選項；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項.
【詳解】因為隨機變量，則，，
，
由期望的性質(zhì)可得，
由方差的性質(zhì)可得，AC對，BD錯.
故選：AC.
10．BCD
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式驗證．
【詳解】對于A，，，A錯；
對于B，，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，
∴，D正確．
故選：BCD．
11．ACD
【分析】
寫出展開式的通項公式，判斷A，C項的正誤，通過賦值，判斷B，D兩項正誤.
【詳解】
通項公式，
令，可得，所以常數(shù)項為，所以A正確；
令，已知各項系數(shù)和是，所以B錯誤；
第4項二項式系數(shù)最大，所以C正確；
奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，所以D正確．
故選：ACD．
12．20
【分析】通過已知得出的值，即可利用公式計算得出答案.
【詳解】，
，即，
，
，
故答案為：20.
13．/
【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式和全概率公式結(jié)合題意求解即可.
【詳解】設(shè)事件為“這個人患流感”，事件分別表示這個人選自三個地區(qū)，
則由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案為：
14．120
【分析】
分3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車和3人中有2人在同一公交站點下車，另人在另外一公交站點下車，兩種情況討論即可，
【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車，共有種，
3人中有2人在同一公交站點下車，另1人在另外一公交站點下車，共有種，
故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是種.
故答案為：120.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)概率之和為1列出方程，求出a的值；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出和的值.
【詳解】（1）由題意得，解得.
（2）由（1）知，，
可得，
16．(1)256
(2)32896
(3)65536
【分析】
（1）令即可得結(jié)果；
（2）令，結(jié)合（1）中結(jié)果運算求解；
（3）根據(jù)二項展開式分析可知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；結(jié)合（2）中結(jié)果分析求解.
【詳解】（1）令，可得.
（2）令，可得，
則，所以.
（3）因為的展開式的通項公式為，
即，
可知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；
所以.
17．(1)540種；
(2)65種.
【分析】（1）對參加三個學科的人數(shù)分三種情況討論，先分組、再分配求出各組情況的方案數(shù)，最后相加；
（2）對選擇化學競賽的人數(shù)分四種情況討論，利用分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理計算可得.
【詳解】（1）若參加三個學科的人數(shù)分別為1，1，4時，共有種參賽方案；
若參加三個學科的人數(shù)分別為1，2，3時，共有種參賽方案；
若參加三個學科的人數(shù)分別為2，2，2時，共有種參賽方案；
該校派出的6名學生總共有種不同的參賽方案．
（2）若有4人選擇化學競賽，則有1種參賽方案；
若有3人選擇化學競賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；
若有2人選擇化學競賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；
若有1人選擇化學競賽，余下的三人各有2種選法，則有種參賽方案；
所以總共有種不同的參賽方案．
18．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）由表格得出成績在的人數(shù)，計算頻率，即可得出答案；
（2）由表格得出41歲~50歲年齡段中，成績在內(nèi)以及內(nèi)的人數(shù)，求出概率，進而得出，然后列出分布列，求出期望即可.
【詳解】（1）由表格可知，成績在的人數(shù)為，
所以，抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.
（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績在內(nèi)的人數(shù)為，成績在內(nèi)的人數(shù)為，
則隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.
由題意可知，則的可能取值為，
則，
，
，
，
故的分布列為
所以的數(shù)學期望.
19．(1)分布列見解析，，
(2)，;
【分析】（1）利用組合數(shù)公式和超幾何分布，先求分布列，再求數(shù)學期望和方差；
（2）根據(jù)題意得，利用期望與方差的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）依題意，得，
，，，
所以隨機變量的分布列為
；
.
（2）依題意，得，
則，.
0
1
2
3
0
1
2

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