（考試時(shí)間120分鐘 總分150分）
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）
1．已知向量，，且，則的值為（ ）
A．B．4C．D．5
2．某學(xué)校開設(shè)5門球類運(yùn)動(dòng)課程、4門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和3門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（ ）
A．60種B．30種C．12種D．11種
3．在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．B．8C．D．4
4．先后兩次拋一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次拋出的點(diǎn)數(shù)小于等于3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于3”，則（ ）
A．B．C．D．
5．為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說(shuō)法：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．有5位醫(yī)生被分配到4個(gè)接種點(diǎn)承擔(dān)接種新冠疫苗工作，每個(gè)醫(yī)生只能去一個(gè)接種點(diǎn)，每個(gè)接種點(diǎn)至少有一名醫(yī)生，其中醫(yī)生甲不能單獨(dú)完成接種工作，則共有（ ）種不同的分配方法．
A．12B．24C．48D．96
7．如右圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（ ）
A．B．C．D．
8．把外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中，每盒10個(gè)，其中第一個(gè)盒子中有6個(gè)球標(biāo)有字母，4個(gè)球標(biāo)有字母；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)成功的概率為（ ）
A．0.59B．0.62C．0.48D．0.64
二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則（ ）
A．B．C．D．
10．在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等B．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256
C．有理項(xiàng)有2項(xiàng)D．常數(shù)項(xiàng)為84
11．已知分別為隨機(jī)事件的對(duì)立事件，，，則（ ）
A．B．若獨(dú)立，則
C．若互斥，則D．若，則
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分．不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上．）
12．若，則的值為______．
13．某校在課后服務(wù)中開設(shè)了“球類”、“棋類”、“書法”、“繪畫”“舞踩”等五項(xiàng)活動(dòng)，若甲同學(xué)準(zhǔn)備從這五項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選三項(xiàng)，則“書法”和“繪畫”這兩項(xiàng)中至多有一項(xiàng)被選中的概率為______．
14．已知空間四邊形（見上圖），其各邊及其對(duì)角線的長(zhǎng)都是6，，，，則______，的長(zhǎng)為______．
四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15．（本小題滿分13分）
身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，
（1）與同學(xué)不相鄰，共有多少種站法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
（2）三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有多少種站法？（結(jié)果用數(shù)字作答）
16．（本小題滿分15分）
如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，且平面，．
求：（1）平面與平面所成的二面角的正弦值；
（2）點(diǎn)到平面的距離．
17．（本小題滿分15分）
“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，題庫(kù)中共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓學(xué)生回答．已知某同學(xué)只能答對(duì)其中的6道，
試求：（1）抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；
（2）求的期望和方差．
18．（本小題滿分17分）
從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．
已知，且的二項(xiàng)展開式中，______．
（1）求的值；
（2）①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；
②求的值．
19．（本小題滿分17分）．
如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．
（1）若為上的一點(diǎn)，且，求證；
（2）在（1）的條件下，若異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．
2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)答案
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．）
二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．）
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分）．
12．6或813．14．
四、解答題：
15．（本小題滿分13分）．
解：（1）先排列除與外的4個(gè)人，有種方法，4個(gè)人排列共有5個(gè)空，
利用插空法將和插入5個(gè)空，有種方法，則共有種方法；
（2）對(duì)于，6個(gè)人全排列有種方法，全排列有種方法，
則從左到右按高到矮的排列有種方法。
16．（本小題滿分15分）．
解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，，
設(shè)平面的法向量，則，，
?。?br>平面的法向量為，
平面與平面所成的二面角的正弦值．
（2），點(diǎn)到平面的距離
（用等體積法同樣得分）
17．（本小題滿分15分）
解：（1）由題意知：所有可能的取值為，
；；
；；
的分布列為：
（2）期望；
又，
方差．
18．（本小題滿分17分）
解：（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，
則有，
化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．
若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，
則有，
化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)為．
②二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
所以為正數(shù)，為負(fù)數(shù)．
在中，令．
再令，可得，
．
19．（本小題滿分17分）．
解：（1）證明：
法一：取中點(diǎn)，連接，有，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)闉榈乃牡确贮c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，所以直棱柱的?cè)面是正方形，所以，
又因?yàn)?，，所以，又，，平面?br>所以面，而面，
所以，即．
法二：取中點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)，連接
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，?br>所以平面，
因?yàn)?，所以直棱柱的?cè)面是正方形，
所以，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)，，，，，，，
所以，即．
（2）連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，
所以異面直線與所成的角為與所成的角，因此
所以，
，，，，
，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則即
則的一組解為
所以．
所以直線與平面所成角的正弦值為．1
3
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
A
C
D
D
B
題號(hào)
9
10
11
答案
ACD
BD
ABC
0
1
2
3

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