本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂黑其他答案標(biāo)號(hào)．解答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)全集，集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．某地區(qū)5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)約為1800，則估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)約為（ ）
A．200B．700C．1400D．2500
3．若一條雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一條雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則它們互為共軛雙曲線．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則的共軛雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
4．函數(shù)（）在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．已知長(zhǎng)方體的一條棱長(zhǎng)為2，體積為16，則其外接球表面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知為平面外的一條直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．存在直線，使得，B．存在直線，使得，
C．存在直線，使得，D．存在直線，使得，
8．已知圓：，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．為研究光照時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，并進(jìn)行線性回歸分析，若去掉點(diǎn)后，下列說法正確的是（ ）
A．相關(guān)系數(shù)變小B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程斜率變小
C．殘差平方和變小D．決定系數(shù)變小
10．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．B．以為直徑的圓與相切
C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)D．為直角三角形
11．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇數(shù)時(shí)，在單調(diào)遞增
B．為奇數(shù)時(shí)，在有一個(gè)極值點(diǎn)
C．為偶數(shù)時(shí)，在單調(diào)遞增
D．為偶數(shù)時(shí)，的最小值為0
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為______．
13．公式，其等號(hào)右側(cè)展開式共有3類非同類項(xiàng)，的展開式共有6類非同類項(xiàng)；那么的展開式共有______類非同類項(xiàng)，的展開式共有______類非同類項(xiàng)．
14．銳角中，邊上的高為4，則面積的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，．
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
16．（15分）
某學(xué)校組織游戲活動(dòng)，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個(gè)球，每次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．
（1）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為，求隨機(jī)變量的分布列與期望；
（2）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎(jiǎng)勵(lì)；若不同，則得分多者獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．
17．（15分）
（1）證明：；
（2）若，，利用（1）結(jié)合自己所學(xué)知識(shí)，求．
18．（17分）
已知橢圓的右焦點(diǎn)為，其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積為；菱形內(nèi)接于橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（?。┳鴺?biāo)原點(diǎn)在邊上的投影為點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（ⅱ）求菱形面積的取值范圍．
19．（17分）
數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立．證明分為下面兩個(gè)步驟：1．證明當(dāng)（）時(shí)命題成立；2．假設(shè)（，且）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出在時(shí)命題也成立．
用模取余運(yùn)算：表示“整數(shù)除以整數(shù)，所得余數(shù)為整數(shù)”．用帶余除法可表示為：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，即，整數(shù)是商．如，則；再如，則．當(dāng)時(shí)，則稱整除．
現(xiàn)從序號(hào)分別為，，，，…，的個(gè)人中選出一名幸運(yùn)者，為了增加趣味性，特制定一個(gè)遴選規(guī)則：大家按序號(hào)圍成一個(gè)圓環(huán)，然后依次報(bào)數(shù)，每報(bào)到（）時(shí)，此人退出圓環(huán)；直到最后剩1個(gè)人停止，此人即為幸運(yùn)者，該幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)記為．如表示當(dāng)只有1個(gè)人時(shí)幸運(yùn)者就是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是；表示當(dāng)有6個(gè)人而時(shí)幸運(yùn)者是．
（1）求；
（2）當(dāng)時(shí)，，求；
當(dāng)時(shí)，解釋上述遞推關(guān)系式的實(shí)際意義；
（3）由（2）推測(cè)當(dāng)（）時(shí)，的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
唐山市2024年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試第二次模擬演練
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：
1～4．DBAC 5～8．CDBD
二、多選題：
9．BC 10．AC 11．ABD
三、填空題：
12． 13．10，（前空2分，后空3分） 14．
四、解答題：（若有其他解法，請(qǐng)參照給分）
15．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>作交于點(diǎn)，
在等腰梯形中，，，所以
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，從而有，
又，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>（2）以為原點(diǎn)，、分別為軸、軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，
，，
因?yàn)槠矫妫?br>所以為面的一個(gè)法向量．
設(shè)為面的法向量，
則，即
取，，，則
依題意，，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
16．解：（1）由題意知學(xué)生甲摸球2次總得分的取值為2，3，4
，，，
所以的分布列為：
所以．
（2）記“甲最終得分為分”，；“乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)”．
，．
當(dāng)甲最終得9分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分，則
；
當(dāng)甲最終得8分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分或9分，則
；
故
．
即乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為．
17．解：（1）
（2）由（1）可知，，
即是方程的一個(gè)實(shí)根．
令，，
顯然，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以，即．
18．解：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，
由已知得，，，
解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）依題意設(shè)直線方程為，
由，得，
由題意，
則，，
所以．
（?。┧倪呅螢榱庑?，，
，，
，即．
為點(diǎn)到直線的距離，，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：．
（ⅱ）因?yàn)椋?br>的面積
令，則，，
，
，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以．
由對(duì)稱性可知菱形面積等于面積的4倍，
所以菱形面積的取值范圍為．
19．解：（1）因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)?，且?br>所以，故．
當(dāng)時(shí)，遞推關(guān)系式的實(shí)際意義：
當(dāng)從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為，
而從個(gè)人中選出一個(gè)幸運(yùn)者時(shí)，幸運(yùn)者的序號(hào)下標(biāo)為．
如果把二者關(guān)聯(lián)起來，后者的圓環(huán)可以認(rèn)為是前者的圓環(huán)退出一人而形成的，當(dāng)然還要重新排序，由于退出來的是，則原環(huán)的就成了新環(huán)的，也就是說原環(huán)的序號(hào)下標(biāo)要比新環(huán)的大，原環(huán)的就成了新環(huán)的．需要注意，新環(huán)序號(hào)后面一直到，如果下標(biāo)加上，就會(huì)超過．如新環(huán)序號(hào)對(duì)應(yīng)的是原環(huán)中的，…，新環(huán)序號(hào)對(duì)應(yīng)的是原環(huán)中的．也就是說，得用新環(huán)的序號(hào)下標(biāo)加上再減去，才能在原環(huán)中找到對(duì)應(yīng)的序號(hào)，這就需要用模取余，即．
（3）由題設(shè)可知，由（2）知
；
；
；
；
；
；
；
由此推測(cè)，當(dāng)（）時(shí)，．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1．當(dāng)時(shí)，，推測(cè)成立；
2．假設(shè)當(dāng)（，，且）時(shí)推測(cè)成立，
即．
由（2）知
．
（?。┊?dāng)時(shí)，；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
即．
故當(dāng)時(shí)，推測(cè)成立．
綜上所述，當(dāng)（）時(shí)，．
推測(cè)成立．2
3
4

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