一、選擇題
1．已知樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)相比,下列數(shù)字特征一定不變的是( )
A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差
2．已知復(fù)數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則z的虛部為( )
A.B.C.D.
3．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
4．,的展開式中項(xiàng)的系數(shù)等于40,則p是q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
5．已知向量,,若,則( )
A.B.C.D.
6．已知,其中是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則( )
A.B.
C.D.
7．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn),直線交x軸于點(diǎn)P,則的最小值為( )
A.B.C.D.
8．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,令,則下列說(shuō)法正確的有( )

A.的最小正周期為
B.的對(duì)稱軸方程為
C.在上的值域?yàn)?br>D.的單調(diào)遞增區(qū)間為
10．如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,P為側(cè)面上一點(diǎn),Q為的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的有( )
A.若點(diǎn)P為的中點(diǎn),則過(guò)P、Q、三點(diǎn)的截面為四邊形
B.若點(diǎn)P為的中點(diǎn),則與平面所成角的正弦值為
C.不存在點(diǎn)P,使
D.與平面所成角的正切值最小為
11．如圖,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),連接、,并延長(zhǎng),分別交直線于M,N兩點(diǎn),則下列結(jié)論中一定成立的有( )
A.B.以為直徑的圓與直線相切
C.D.
三、填空題
12．如圖,在正四棱臺(tái)中,,,該棱臺(tái)體積,則該棱臺(tái)外接球的表面積為_________________.
13．已知斜率為的直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn),A在第一象限,若,則C的離心率為_____________.
14．關(guān)于x的不等式恒成立,則的最小值為_______________.
四、解答題
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,,求證：.
16．某商場(chǎng)舉行“慶元宵,猜謎語(yǔ)”的促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)標(biāo)號(hào)為1,2,3的空心小球,球內(nèi)裝有難度不同的謎語(yǔ).每次隨機(jī)抽取2個(gè)小球,答對(duì)一個(gè)小球中的謎語(yǔ)才能回答另一個(gè)小球中的謎語(yǔ),答錯(cuò)則終止游戲.已知標(biāo)號(hào)為1,2,3的小球個(gè)數(shù)比為,且取到異號(hào)球的概率為.
(1)求盒中2號(hào)球的個(gè)數(shù);
(2)若甲抽到1號(hào)球和3號(hào)球,甲答對(duì)球中謎語(yǔ)的概率和對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金如表所示,請(qǐng)幫甲決策猜謎語(yǔ)的順序（猜對(duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立）
17．如圖,已知為等腰梯形,點(diǎn)E為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn),平面平面,M為的中點(diǎn),,.
(1)求證：平面;
(2)求平面與平面所成角的余弦值.
18．如圖,已知橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為,離心率為,,為左、右焦點(diǎn),M,N為粗圓上的兩動(dòng)點(diǎn),且.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè),的斜率分別為,,求的值;
(3)求面積的最大值.
19．帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m,n,函數(shù)在處的階帕德近似定義為：,且滿足：,,,…,.（注：,,,,…;為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)比較與的大小;
(3)若在上存在極值,求m的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)相比,假設(shè)從小到大就是從到,極差可能變化,故A錯(cuò);
平均數(shù)為,可能變,故B錯(cuò);
中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù),故C正確;
方差為,有可能變,故D錯(cuò).
故選：C.
2．答案：A
解析：由得,
故復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
3．答案：D
解析：依題意,.
故選：D.
4．答案：A
解析：的展開式中含項(xiàng)為,
故,解得,
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5．答案：B
解析：由得,
又,
故,即,
解得,故,
故.
故選：B.
6．答案：C
解析：由于是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),故,
當(dāng)時(shí),,且為偶函數(shù),
且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,
故,
故選：C.
7．答案：B
解析：圓的圓心,半徑,
圓的圓心,半徑,
因?yàn)閮蓤A相交,則,
即,解得,
兩圓的方程相減得,
即直線的方程為,
當(dāng)時(shí),直線的方程為,
此時(shí)軸,與x軸沒(méi)有交點(diǎn),不符題意,
當(dāng)時(shí),令,得,
即,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
所以的最小值為.
故選：B.
8．答案：C
解析：n為奇數(shù)時(shí),前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng),即有個(gè)正數(shù),
,,故A錯(cuò)誤;
n為偶數(shù)時(shí),前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng),即有個(gè)正數(shù),
,
,,,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;
,故D錯(cuò)誤.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：對(duì)于函數(shù),
由圖可知,,
則,
所以,
又,
所以,
解得,,又,
所以;
則,
所以
,
對(duì)于A：的最小正周期為,A正確;
對(duì)于B：對(duì)于,令,,得的對(duì)稱軸方程為,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C：當(dāng)時(shí),,所以,
即在上的值域?yàn)?C正確;
對(duì)于D：令,,解得,,
即的單調(diào)遞增區(qū)間為,D正確;
故選：ACD.
10．答案：AB
解析：如圖,以為x軸,為y軸,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
對(duì)于A項(xiàng),連接P、B、Q、四點(diǎn),當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí),,,,,
,,,所以為平行四邊形,A正確;
對(duì)B,當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn),,,,
,設(shè)平面的法向量為,則,
即,令,則,,
則與平面所成角的正弦值為,
故B正確;
對(duì)C,可設(shè),,,,
,,,,令,
即,顯然能取到,故C錯(cuò)誤;
對(duì)D,當(dāng)與平面所成角的正切值最小時(shí),與平面所成角的正弦值也最小,,設(shè)的法向量為,
則與平面所成角的正弦值為
,當(dāng)或2,時(shí),
,由三角函數(shù)可得與平面所成角的正切值最小為,故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A,令,,
聯(lián)立,消x可得,
則,,,
,
則,,
故,
同理,,故A正確;
對(duì)于C,設(shè)與x軸交于P,,
則,,故C正確;
對(duì)于D,,
則
,
而,
所以,故D正確;
對(duì)于B,中點(diǎn),即
則到直線的距離,
以為直徑的圓的半徑,
所以,
當(dāng)時(shí)相切,當(dāng)時(shí)不相切,故B錯(cuò)誤.
故選：ACD.
12．答案：
解析：連接,取,的中點(diǎn)E,F,連接,,
則外接球球心在直線上,設(shè)球心為O,如圖所示,則,
則平面,
因?yàn)檎睦馀_(tái)中,,,
故,所以,
設(shè)四棱臺(tái)的高為h,
故,解得,
故,
設(shè),則,
,
故,解得,
故半徑,
故該棱臺(tái)外接球的表面積為.
故答案為：.
13．答案：
解析：過(guò)A作軸,垂足為D.如圖所示
的斜率為,則,,
,,
在雙曲線上,
即,于是有,
進(jìn)而得出,解得或（舍）,
,即（負(fù)舍）,
故C的離心率為.
故答案為：.
14．答案：-1
解析：令,則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,所以,
由,得,
而,
令,
則,所以,
若,
如圖作出函數(shù),的圖象,

由函數(shù)圖象可知,方程有唯一實(shí)數(shù)根,
即,
由,得,
即,
當(dāng)時(shí),,即,
又,,所以,
所以不成立,
即當(dāng)時(shí),不恒成立,
綜上所述,的最小值為-1.
故答案為：-1.
15．答案：(1)
(2)證明見(jiàn)解析
解析：（1）由①,
當(dāng)時(shí),解得,
當(dāng)時(shí),②,
①-②,得,
數(shù)列是以首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,
.
經(jīng)驗(yàn)證符合上式,所以.
（2）由（1）知,
,.
則,
故,
所以,,,
故.
16．答案：(1)4個(gè)
(2)推薦甲先回答3號(hào)球中的謎語(yǔ)再回答1號(hào)球中的謎語(yǔ)
解析：（1）由題意可設(shè)1,2,3號(hào)球的個(gè)數(shù)分別為n,,n,
則取到異號(hào)球的概率,
,即.解得.
所以盒中2號(hào)球的個(gè)數(shù)為4個(gè).
（2）若甲先回答1號(hào)球再回答3號(hào)球中的謎語(yǔ),
因?yàn)椴聦?duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立,記X為甲獲得的獎(jiǎng)金總額,
則X可能的取值為0元,100元,600元,
,
,
.
X的分布列為
X的均值為,
若甲先回答3號(hào)球再回答1號(hào)球,因?yàn)椴聦?duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立,
記Y為甲獲得的獎(jiǎng)金總額,則Y可能的取值為0元,500元,600元,
.
Y的分布列為
Y的均值為,
因?yàn)?所以推薦甲先回答3號(hào)球中的謎語(yǔ)再回答1號(hào)球中的謎語(yǔ).
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2).
解析：（1）取的中點(diǎn)N,連接,,則且,
又且,且.
為平行四邊形,.
又平面,平面,平面.
（2）取中點(diǎn)為F,連接,因?yàn)闉榈妊菪?所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
過(guò)點(diǎn)O作直線的垂線交于點(diǎn)G,
分別以,,所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
為直徑,,,,.
在等腰梯形中,,,所以,
,,,,,
,,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,,令則,.
,
設(shè)平面的法向量為,則,
取,
設(shè)平面與平面所成的角為,
則,
平面與平面所成角的余弦值為.
18．答案：(1);
(2);
(3).
解析：（1）由題意得,,解之得,
橢圓C的方程為;
（2）由（1）知,所以,
設(shè)直線、、的傾斜角分別為、、、,
則,,,
則,所以,
所以,所以,即.
（3）設(shè)直線,
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,
, ,同理得,
由（2）知,,
又,
同理,,
,
,
,
,
,
令,則,
當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最大值是.
19．答案：(1),;
(2)答案見(jiàn)解析;
(3).
解析：（1）由,,有,
可知,,,,
由題意,,,所以,所以,.
（2）由（1）知,,令,
則,
所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù),又,
時(shí),;時(shí),;
所以時(shí),;時(shí),.
（3）由,
.
由在上存在極值,所以在上存在變號(hào)零點(diǎn).
令,則,.
①時(shí),,為減函數(shù),,在上為減函數(shù),,無(wú)零點(diǎn),不滿足條件.
②當(dāng),即時(shí),,為增函數(shù),,在上為增函數(shù),,無(wú)零點(diǎn),不滿足條件.
③當(dāng),即時(shí),令即,.
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);時(shí),,為增函數(shù),
;
令,,,在時(shí)恒成立,
在上單調(diào)遞增,,恒成立;
,,,則,,
;
,
令,
令,,
則在是單調(diào)遞減,,所以,
,
令,則,,.
,即.
由零點(diǎn)存在定理可知,在上存在唯一零點(diǎn),
又由③知,當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),,
所以此時(shí),,在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),
在上存在變號(hào)零點(diǎn),綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
球號(hào)
1號(hào)球
3號(hào)球
答對(duì)概率
0.8
0.5
獎(jiǎng)金
100
500
X
0
100
600
P
0.2
0.4
0.4
Y
0
500
600
P
0.5
0.1
0.4

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