一、選擇題
1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,集合,則( )
A.B.C.D.
3．在平行四邊形中,點(diǎn)E滿足,則( )
A.B.
C.D.
4．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則( )
A.-5B.-7C.5D.7
5．在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中,同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示,將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上,人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置,此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為,之后將小鏡子前移,重復(fù)之前的操作,再次測(cè)量人與小鏡子的距離為,已知人的眼睛距離地面的高度為,則鐘樓的高度大約是( )
A.B.C.D.
6．函數(shù)的定義域?yàn)镽,,若,,則的解集為( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,若等腰直角的直角邊為圓O的一條弦,且圓心O在外,點(diǎn)B在圓O外,則四邊形的面積的最大值為( )
A.B.C.D.
8．已知球O與圓臺(tái)的上、下底面和側(cè)面均相切,且球O與圓臺(tái)的體積之比為,則球O與圓臺(tái)的表面積之比為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若y是樣本數(shù)據(jù),,,的平均數(shù),則( )
A.,,,的極差等于,,,,y的極差
B.,,,的平均數(shù)等于,,,,y的平均數(shù)
C.,,,的中位數(shù)等于,,,,y的中位數(shù)
D.,,,的標(biāo)準(zhǔn)差大于,,,,y的標(biāo)準(zhǔn)差
10．下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是( )
A.B.
C.D.
11．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,B分別作l的垂線,垂足分別為,,則下列說(shuō)法正確的有( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）.
13．將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方,如圖,記直角三角板為,其中,,,記桌面為平面.若,且與平面所成的角為,則點(diǎn)A到平面的距離的最大值為________________.
四、雙空題
14．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,且滿足與x軸平行,點(diǎn)A在x軸上.現(xiàn)將三角形沿x軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng),設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是,則的最小正周期為________________;在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為______________.
五、解答題
15．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合,其漸近線方程為.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若A,B為雙曲線C上的兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線過(guò)的中點(diǎn),求直線的斜率.
16．如圖,在直三棱柱中,點(diǎn)D是的中點(diǎn),,.
(1)證明：平面;
(2)若,,求平面與平面的夾角的余弦值.
17．已知,.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn),（其中）,使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在,請(qǐng)求出直線;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．已知正項(xiàng)數(shù)列,,滿足（其中）.
(1)若,且,證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列;
(2)若,,以,,c為三角形三邊長(zhǎng)構(gòu)造序列（其中,,）,記外接圓的面積為,證明：;
(3)在（2）的條件下證明：數(shù)列是遞減數(shù)列.
19．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)點(diǎn)陣,點(diǎn)陣中所有點(diǎn)的集合為,從集合M中任取兩個(gè)不同的點(diǎn),用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.
(1)當(dāng)時(shí),求X的分布列.
(2)對(duì)給定的正整數(shù).
（i）求隨機(jī)變量X的所有可能取值的個(gè)數(shù);（用含有n的式子表示）
（ii）求概率.（用含有的式子表示）
參考答案
1．答案：C
解析：由復(fù)數(shù)z滿足,則,
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,
復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為2.
所以.
故選：C.
2．答案：C
解析：由可得：,所以,
由可得：,所以,
所以.
故選：C.
3．答案：B
解析：因?yàn)闉槠叫兴倪呅?
則由,
.
故選：B.
4．答案：A
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
因?yàn)?
所以,
即,解得,
所以.
故選：A.
5．答案：D
解析：如下圖,設(shè)鐘樓的高度為,
由,可得：,
由,可得：,
故,
故,
故選：D.
6．答案：B
解析：構(gòu)造函數(shù),滿足,,
則由可得,解得：.
故選：B.
7．答案：A
解析：如圖所示,設(shè),則,
故,
由余弦定理得,
故等腰直角三角形的面積為,
故四邊形的面積為,
其中,,
其中,故,
則當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為.
故選：A
8．答案：D
解析：由題意,作出圓臺(tái)的軸截面,
設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為,球的半徑,
則,,過(guò)A作于點(diǎn)H,
由,得,化簡(jiǎn)得,
由球的體積公式,
圓臺(tái)的體積公式,
已知球O與圓臺(tái)的體積之比為,則,
化簡(jiǎn)得,
則,得,
又球的表面積,圓臺(tái)的表面積,
所以,
故選：D.
9．答案：AB
解析：對(duì)于A,樣本數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)為y,則,故,,,的極差等于,,,,y的極差,故A正確;
對(duì)于B,數(shù)據(jù),,,,y的平均數(shù),故B正確;
對(duì)于C,如果,,,是按從小到大排列,則,,,的中位數(shù)為,不一定等于,,,,y的中位數(shù),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,,,的方差,
而,,,,y的方差,
但當(dāng)時(shí)兩組數(shù)據(jù)的方差相等,其標(biāo)準(zhǔn)差也相等,故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．答案：AC
解析：對(duì)于A：,為偶函數(shù),
當(dāng)時(shí),,,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,
的遞增區(qū)間為,
而,
所以在上單調(diào)遞增,故A正確;
對(duì)于B：,為偶函數(shù),
當(dāng)時(shí),,,
的單調(diào)遞增區(qū)間為,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,
而,
所以在上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C：,為偶函數(shù),
當(dāng)時(shí),,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,
則的單調(diào)遞增區(qū)間為,
而,
所以在上單調(diào)遞增,故C正確;
對(duì)于D：,
所以為非奇非偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．答案：ACD
解析：由已知,,設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為：,
設(shè)點(diǎn),,則,,
由,得,
所以,,,,
,所以,故A正確,
,故B錯(cuò)誤,
,
,故,C正確,
,
由選項(xiàng)C可知,
所以,
故,D正確;
故選：ACD.
12．答案：-5
解析：展開式的通項(xiàng)公式為,
故展開式中系數(shù)為,系數(shù)為,
故的展開式中的系數(shù)為,
故答案為：-5.
13．答案：
解析：如圖,過(guò)B作,交于,過(guò)A作,交于,
因?yàn)樵谥?,,,
則,當(dāng)A,B,,C四點(diǎn)共面時(shí),點(diǎn)A到的距離最大.
因?yàn)?所以是BC與平面所成的角,則,則,
于是,,即A到的最大距離為.
故答案為：.
14．答案：3,
解析：設(shè),
如圖,當(dāng)三角形沿x軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)時(shí),
開始時(shí),P先繞A旋轉(zhuǎn),當(dāng)B旋轉(zhuǎn)到時(shí),P旋轉(zhuǎn)到,此時(shí),
然后再以為圓心旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到,此時(shí),
當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)時(shí),P不旋轉(zhuǎn),此時(shí)A旋轉(zhuǎn)到,
當(dāng)三角形再旋轉(zhuǎn)后,必以為圓心旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后P旋轉(zhuǎn)到,
點(diǎn)P從開始到時(shí)是一個(gè)周期,故的周期為,
如圖,,為相鄰兩個(gè)零點(diǎn),
在上的圖像與x軸圍成的圖形的面積為：.
故答案為：3,.
15．答案：(1)
(2)1
解析：（1）橢圓的焦點(diǎn)為,故,
由雙曲線的漸近線為,故,故,
故雙曲線方程為：.
（2）設(shè),,的中點(diǎn)為M,
因?yàn)镸在直線,故,
而,,故,
故,
由題設(shè)可知的中點(diǎn)不為原點(diǎn),故,所以,
故直線的斜率為1.
此時(shí),
由可得,整理得到：,
當(dāng)即或,
即當(dāng)或時(shí),直線存在且斜率為1.
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：（1）如圖,記與的交點(diǎn)為點(diǎn)O,連接,,
因?yàn)槿庵侵比庵?
所以.
因?yàn)?所以四邊形是正方形,故.
因?yàn)?,
所以又因?yàn)镈是的中點(diǎn),
所以,
所以D.
因?yàn)樗倪呅问钦叫?所以點(diǎn)O是的中點(diǎn),
所以.
又因?yàn)?平面,,
所以平面.
（2）因?yàn)?,所以.
如圖,以點(diǎn)C為原點(diǎn),分別以,,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,.
所以,,.
因?yàn)槠矫?所以平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為,
則即解得取,
得,
設(shè)平面與平面的夾角為,
則,
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17．答案：(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)不存在,理由見(jiàn)解析
解析：（1）由題可得
因?yàn)?所以,
所以當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
綜上,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
（2）由題意得,斜率
,
,
由得,
,即,即
令,不妨設(shè),則,
記
所以,所以在上是增函數(shù),所以,
所以方程無(wú)解,則滿足條件的兩點(diǎn)A,B不存在.
18．答案：(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
解析：（1）正項(xiàng)數(shù)列,滿足,
兩式相減可得：,
因?yàn)?所以,
所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
由,兩式相加可得：,
即,因?yàn)?
所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
（2）因?yàn)?由（1）得是等比數(shù)列,
所以,即,
由（1）知,,
因?yàn)?所以,
所以為常值數(shù)列,故,
由
,
因?yàn)?所以等號(hào)不成立,
故,因?yàn)?所以,
所以,
由正弦定理得外接圓的直徑,
所以,所以.
（3）由（1）可知,,
由（2）可知,,
解得：,
所以,
隨著的增大而減小,又因?yàn)?
所以隨著的增大而減小,所以是遞減數(shù)列,
因?yàn)?所以是遞增數(shù)列,所以是遞減數(shù)列,
所以數(shù)列是遞減數(shù)列.
19．答案：(1)答案見(jiàn)解析;
(2)答案見(jiàn)解析.
解析：（1）當(dāng)時(shí),集合M中共有9個(gè)點(diǎn),
則X的所有可能取值為1,,2,,.
所以,
,
,
,
.
所以X的分布列為
（2）（i）由題意得,集合M中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離的總數(shù)可以轉(zhuǎn)化成邊長(zhǎng)為的正方形邊界上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離的個(gè)數(shù)的總和,
在邊長(zhǎng)為1的正方形中,有2個(gè)不同的距離,
在邊長(zhǎng)為2的正方形中,有3個(gè)不同的距離,
在邊長(zhǎng)為n的正方形中,有個(gè)不同的距離,
由各正方形大小不同,距離大小各不相同,
得X的所有可能取值的個(gè)數(shù)為.
（ii）由對(duì)立事件,不妨考慮的情況,
當(dāng)時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn),
此時(shí),這種正方形共有4個(gè),每個(gè)正方形中距離等于的情形有2種,
所以,事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為
當(dāng)時(shí),不妨設(shè),且,
由,得,
因?yàn)?所以,
所以,即,,,
當(dāng),即時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)分別為n,的矩形的頂點(diǎn),
此時(shí),這種矩形共有6個(gè),每個(gè)矩形中距離等于的情形有種,
所以,事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為
當(dāng),即時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)分別為n,的矩形的頂點(diǎn),
此時(shí),這種矩形共有4個(gè),每個(gè)矩形中距離等于的情形有2種,
所以,事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為
當(dāng),即時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)為n的正方形的頂點(diǎn),
此時(shí),這種正方形共有1個(gè),每個(gè)正方形中距離等于的情形有2種,
所以,事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為;
由題知樣本空間包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,
所以由古典概型得,
所以由對(duì)立事件公式得.
X
1
2
P

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