浙江省紹興市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一素養(yǎng)班下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）

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命題：沈棟嘯 校對(duì)：凌曉鋒
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)z滿足z=i(2+z)（i為虛數(shù)單位），則z=
A．1-i B．1+i C．-1-i D．-1+i
2．如圖所示，梯形A'B'C'D'是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A'D'=2，A'B'=B'C'=1，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長度為
A．2 B．3 C．5 D．5
3．已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)-x1-1,-x2-1,?,
-x100-1的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為
A．-5,4 B．-5,16 C．4,16 D．4,4
4．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1的半圓，則此圓錐的內(nèi)切球的表面積為
A．π B．π2 C．π3 D．π4
5．光源P3,2,1 經(jīng)過平面Oyz 反射后經(jīng)過Q1,6,5 ，則反射點(diǎn)R 的坐標(biāo)為
A．0,72 ,52 B．0,4,3 C．0,92 ,72 D．0,5,4
6．若4,2,1,4,5 的第p 百分位數(shù)是4 ，則p 的取值范圍是
A．40,80 B．40,80 C．40,80 D．40,80
解：1,2,4,4,5 的第p 百分位數(shù)是4 ，
則n×p%∈2,4 ，所以p∈40,80 .
7．如圖是棱長均相等的多面體EABCDF，其中四邊形ABCD 是正方形，點(diǎn)P,Q,M,N分別為DE,AB,AD,BF的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值為
A．13 B．12 C．23 D．34
8．在正方體中，點(diǎn)M,N分別是直線CD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P 是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），記直線D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為π3 ，則D1P 與平面A1C1D 所成角的正弦的最大值為
A．3-66 B．3+66 C．32-36 D．32+36
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3件產(chǎn)品，設(shè)事件A=“3件產(chǎn)品都是次品”，事件B=“至少有1件是次品”，事件C=“至少有1件是正品”，則下列結(jié)論正確的是
A．A與C為對(duì)立事件 B．B與C不是互斥事件
C．A∩B=A D．PB+PC=1
10．在某市高三年級(jí)舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中，成績落在區(qū)間50,60內(nèi)的人數(shù)為16．則
A．圖中x=0.016
B．樣本容量n=1000
C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績的平均分為71.6分
D．該市要對(duì)成績前25%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)的學(xué)生考試成績大約至少為77.25分
11．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a.則
A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為a
B．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為1-32a
C．勒洛四面體中過A,B,C三點(diǎn)的截面面積為142π-3a2
D．勒洛四面體的體積V∈212a3,6π8a3
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝ ．
13．如圖，甲乙做游戲，兩人通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階，并規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩人都上一個(gè)臺(tái)階．如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為 ．
14．在三棱錐A-BCD 中，二面角A-BD-C 的大小為π3 ，∠BAD=∠CBD ，BD=BC=2 ，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知復(fù)數(shù)z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i，(其中i為虛數(shù)單位)
（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16．（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是以2為邊長的菱形，且∠BAD=120°，PB=PD，M為PC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若PC=2PA=22，求直線PD與平面AMD所成角的正弦值．
17．（15分）為了了解學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性等，某學(xué)校對(duì)在校1500名學(xué)生進(jìn)行了一次坐位體前屈測試，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取75人，已知這1500名學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為13.2 和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為15.2 和17.56．
(1)求樣本中男生和女生應(yīng)分別抽取多少人；
(2)求抽取的總樣本的平均數(shù)，并估計(jì)全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差．
18．（17分）如圖，已知直角三角形ABC的斜邊BC//平面α，A在平面α上，AB,AC分別與平面α成30°和45°的角， BC=6．
（1）求BC到平面α的距離；
（2）求平面ABC 與平面α 的夾角．
19．（17分）如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是平行四邊形，平面α 與直線AD, SA, SC 分別交于點(diǎn)P,Q,R ，且APAD=SQSA=CRCS ，點(diǎn)M 在直線SB 上運(yùn)動(dòng)，在線段CD 上是否存在一定點(diǎn)N ，使得其滿足：
（i）直線MN//α ；
（ii）對(duì)所有滿足條件（i）的平面α ，點(diǎn)M 都落在某一條長為m 的線段上，且mSB=103 ．
若存在，求出點(diǎn)N 的位置；若不存在，說明理由．
參考答案
一、選擇題
二、選擇題
三、填空題
12．0,1,2,3,4 13．1327 14．87-43π
四、解答題
15．（1）m=-12 ,（2）m∈1,2
【詳解】（1）由題意有2m2-3m-2=0m2-3m+2≠0 時(shí)，
解得m=-12或m=2m≠1且m≠2，
即m=-12時(shí)，復(fù)數(shù)z 為純虛數(shù).
（2）由題意有：{2m2-3m-2