2024年陜西省西安市高考數(shù)學第二次質(zhì)檢試卷（含解析）

這是一份2024年陜西省西安市高考數(shù)學第二次質(zhì)檢試卷（含解析），共23頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.設集合M={y|x2=2y?1}，N={x|y=ln(1?x)}，則M∩N=( )
A. [12,+∞)B. (?∞,1)C. [12,1)D. (12,1)
2.已知i為虛數(shù)單位，且復數(shù)z滿足z(1+2i)=1?i2023，則|z?+i|=( )
A. 1B. 2C. 2 25D. 3 55
3.已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是( )
A. 若a/?/b，b/?/α，則a/?/αB. 若a/?/b，a⊥α，b/?/β，則α⊥β
C. 若a/?/α，b/?/β，α/?/β，則a/?/bD. 若a/?/α，b/?/β，α⊥β，則a⊥b
4.8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60手機，其中大部分件已實現(xiàn)國產(chǎn)化，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlg2(1+SN)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，位道內(nèi)信號的平均功率S以及信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中SN叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了(參考數(shù)值：lg2≈0.301)( )
A. 43%B. 33%C. 23%D. 13%
5.“a0)與橢圓x28+y24=1的離心率相同，P( 22,1)為橢圓C上一點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)若過點Q(13,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點T？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由．
21.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=lnx?a2x2?ax+a?1(a∈R)．
(1)試討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若不等式f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0對任意的x≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
22.(本小題10分)
在直角坐標系xOy中，直線l的方程是y=2，曲線C的參數(shù)方程是x=2csφy= 2sinφ(φ為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
(Ⅰ)求直線l和曲線C的極坐標方程；
(Ⅱ)若A(ρ1,α)是曲線C上一點，B(ρ2,α+π4)是直線l上一點，求1|OA|2+1|OB|2的最大值．
23.(本小題12分)
已知a，b，c為正實數(shù)，且滿足a+b+c=3.證明：
(1)|a+b?12|+|c+1|≥72；
(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由題意得M={y|x2=2y?1}={y|2y?1≥0}={y|y≥12}，
N={x|y=ln(1?x)}={x|1?x>0}={x|x0且1?a?1≥0，解得a≤0．
因為(?∞,0]?(?∞，1)，
故a0，
設A(x1,y1)、B(x2,y2)，
則y1+y2=?2m3(m2+12)，y1y2=?89(m2+12)，
∴x1+x2=my1+13+my2+13=m(y1+y2)+23=?2m23(m2+12)+23，
x1x2=(my1+13)(my2+13)=m2y1y2+13m(y1+y2)+19
=?8m29(m2+12)?2m29(m2+12)+19=?10m29(m2+12)+19，
∵TA?TB=(x1+1,y1)?(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+y1y2
=?10m29(m2+12)+19?2m23(m2+12)+23+1?89(m2+12)
=?16m2+89(m2+12)+169=0，
∴TA⊥TB，∴點T(?1,0)在以AB為直徑的圓上，
綜合可得：以AB為直徑的圓是經(jīng)過定點T(?1,0)．
【解析】(1)先求出橢圓x28+y24=1的離心率為 22，由此得到a2=2b2，將點P的坐標代入橢圓C，得到12b2+1a2=1，再代入a2=2b2，解得b2=1，a2=2，則可得結(jié)果；
(2)先用兩個特殊圓求出交點(?1,0)，再猜想以AB為直徑的圓經(jīng)過定點T(?1,0)，再證明猜想，設直線l：x=my+13，并與x2+y22=1聯(lián)立，利用韋達定理得到y(tǒng)1+y2，y1y2，進一步得到x1+x2，x1x2，利用y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2證明TA?TB=0即可．
本題考查橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓過的定點的探究與證明，設而不求法與韋達定理的應用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
21.【答案】解：(1)f(x)=lnx?a2x2?ax+a?1的定義域為(0,+∞)，
當a=0時，f(x)=lnx?1在(0,+∞)上單調(diào)遞增；
當a>0時，f′(x)=1x?2a2x?a=?(ax+1)(2ax?1)x，
由f′(x)>0，得01，∴φ(x)>1恒成立，即2ex(x+1)2>1，從而ex(x+1)2>12，
∴當x>2a時，必有g(shù)′(x)=1x+1?a+xex(x+1)2>?a+x2>0，
又g′(0)=1?a