（滿分：150分 時長：120分鐘）
一、單選題
1. 若，則的值可以是（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
2. 已知四面體，是的中點(diǎn)，連接，則＝（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某市高三女生在國家體質(zhì)健康測試中的50米跑成績（單位：s）近似地服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
4. 在寒假中，某小組成員去參加社會實(shí)踐活動，已知該組成員有4個男生?2個女生，現(xiàn)將他們分配至兩個社區(qū)，保證每個社區(qū)有2個男生?1個女生，則不同的分配方法有（ ）種.
A. 6B. 9C. 12D. 24
5. 下列選項(xiàng)中，不正確的命題是（ ）
A. 若兩條不同直線，的方向向量為，，則
B. 若是空間向量的一組基底，且，則點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心
C. 若是空間向量一組基底，則也是空間向量的一組基底
D. 若空間向量，，共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使
6. 將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
7. 質(zhì)數(shù)(prime number)又稱素?cái)?shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素?cái)?shù)：事件：這兩個數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（ ）
A. 128種B. 96種C. 72種D. 48種
二、多選題
9. 已知，則下列描述不正確的是（ ）
A. B. 除以5所得的余數(shù)是1
C. D.
10. 在一個袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C. 隨機(jī)變量X服從超幾何分布
D.
11. 在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)平面時，不可能垂直
B. 若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為
C. 當(dāng)時，的最小值為
D. 當(dāng)時，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為
三、填空題
12. 如圖所示給五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有______．
13. 用1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中滿足的五位數(shù)有個，則在的展開式中，的系數(shù)是______.
14. 已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是______．
四、解答題
15. 已知二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15.
（1）求；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
16. 袋中有大小形狀相同5個球，其中3個紅色，2個黃色.
（1）兩人依次不放回各摸一個球，求第一個人摸出紅球，且第二個人摸出1個黃球的概率；
（2）甲從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，求：
①的值；②隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
17. 三棱臺中，若平面，，，，M，N分別是，中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面的距離.
18. 隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為.
（1）求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；
（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值.
19. 對任意，定義+，其中為正整數(shù).
（1）求值；
（2）探究是否為定值，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.徐州一中2022級高二第二學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)試卷
（滿分：150分 時長：120分鐘）
一、單選題
1. 若，則的值可以是（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，若，滿足，解得，
且，或者，解得或，只有A符合題意.
故選：A
2. 已知四面體，是的中點(diǎn)，連接，則＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式及向量加法法則即可求解.
【詳解】如圖，四面體，是的中點(diǎn)，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以
所以.
故選：A.
3. 已知某市高三女生在國家體質(zhì)健康測試中的50米跑成績（單位：s）近似地服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的對稱性即可求解.
【詳解】由題可知服從正態(tài)分布，
則，又，故，
故.
故.
故選：B.
4. 在寒假中，某小組成員去參加社會實(shí)踐活動，已知該組成員有4個男生?2個女生，現(xiàn)將他們分配至兩個社區(qū)，保證每個社區(qū)有2個男生?1個女生，則不同的分配方法有（ ）種.
A. 6B. 9C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平均分組分配問題，結(jié)合排列組合即可求解.
【詳解】男生的分配方法有,女生的分配方法有，
所以總的分配方法有，
故選：C
5. 下列選項(xiàng)中，不正確的命題是（ ）
A. 若兩條不同直線，的方向向量為，，則
B. 若是空間向量的一組基底，且，則點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心
C. 若是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底
D. 若空間向量，，共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使
【答案】C
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)直線方向向量定義分析判斷，對于B，由三角形重心的定義判斷，對于C，由空間向量的基底的定義分析判斷，對于D，由共面向量定理判斷.
【詳解】對于A，由于兩條不同直線，的方向向量為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以A正確，
對于B，因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，所以，
設(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心，所以B正確，
對于C，因?yàn)?，所以共面?br>所以不是空間向量的一組基底，所以C錯誤，
對于D，由空間向量共面定理可知空間向量，，共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使，所以D正確，
故選：C.
6. 將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出任意放球共有種方法，再求出恰有一個小球與所在盒子編號相同的方法總數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解．
【詳解】由題得任意放球共有種方法，如果有2個小球與所在的盒子的編號相同，
第一步：先從5個小球里選2個編號與所在的盒子相同，有種選法；
第二步：不妨設(shè)選的是1、2號球，則再對后面的3，4，5進(jìn)行排列，且3個小球的編號與盒子的編號都不相同，則有兩種，
所以有2個小球與所在的盒子的編號相同，共有種方法．
由古典概型的概率公式得恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為，
故選:B
7. 質(zhì)數(shù)(prime number)又稱素?cái)?shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不超過30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素?cái)?shù)：事件：這兩個數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案.
【詳解】不超過的自然數(shù)有個，其中素?cái)?shù)有共個，
孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組
所以，，
所以.
故選：D
8. 甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（ ）
A. 128種B. 96種C. 72種D. 48種
【答案】B
【解析】
【分析】分類討論：乙丙及中間人占據(jù)首四位、乙丙及中間人占據(jù)中間四位、乙丙及中間人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或中間四位或尾四位，
當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩最后2位，甲不在兩端，
第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；
當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)中間四位，此時兩端還剩2位，甲不在兩端，
第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；
乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩前2位，甲不在兩端，
第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；
由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法.
故選：B.
二、多選題
9. 已知，則下列描述不正確的是（ ）
A. B. 除以5所得的余數(shù)是1
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用賦值法即可判斷AC、求導(dǎo)數(shù)后結(jié)合賦值法可判斷D，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解B.
【詳解】，
令，可得，再令，可得，
,故A錯誤．
由于，即展開式各項(xiàng)系數(shù)和系數(shù)和，
故，，故C錯誤．
由題意，，
顯然，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均能被5整除，除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．
把函數(shù)兩邊同時對求導(dǎo)數(shù)，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D錯誤．
故選：ACD．
10. 在一個袋中裝有質(zhì)地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C. 隨機(jī)變量X服從超幾何分布
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)分布、超幾何分布的意義判斷BC；求出的所有可能值的概率即可判斷AD作答.
【詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，
因此隨機(jī)變量X服從超幾何分布，B錯誤，C正確；
，，，
，，A正確；
，D正確.
故選：ACD
11. 在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)平面時，不可能垂直
B. 若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為
C. 當(dāng)時，的最小值為
D. 當(dāng)時，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷AD，根據(jù)線面角的幾何法可判斷的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，即可判斷B，根據(jù)展開圖，轉(zhuǎn)化為平面中兩點(diǎn)距離最小，結(jié)合余弦定理即可求解C.
【詳解】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，，，
所以，，
則，，設(shè)平面的法向量為，
所以令，則，即平面的一個法向量為．
若平面，則，即，
，令，解得．
即為中點(diǎn)時，有平面，且，故A錯誤；
B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，
若與平面所成角為，則，所以，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點(diǎn)的軌跡長度為，故B正確；
C選項(xiàng)：當(dāng)時，,此時點(diǎn)在線段上運(yùn)動，
如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，
線段即為的最小值，利用余弦定理可知
，所以，故C錯誤；
D選項(xiàng)：當(dāng)時，,故點(diǎn)在線段上運(yùn)動,
正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
，，所以點(diǎn)到直線的距離為
，
于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為；
當(dāng)或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，故D正確．
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
三、填空題
12. 如圖所示給五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有______．
【答案】72
【解析】
【分析】對進(jìn)行分類，再利用分步計(jì)數(shù)原理，進(jìn)行求解.
【詳解】分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有種；
②A，C同色，先涂A，C有4種，再涂E有3種，B，D各有2種，有種．故不同的涂色方法有種．
故答案為：72
13. 用1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中滿足的五位數(shù)有個，則在的展開式中，的系數(shù)是______.
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，則剩下個數(shù)有種排法，從而求出，再根據(jù)組合數(shù)公式及性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，剩下個數(shù)有種排法，
所以滿足的五位數(shù)有個，即，
所以，
其中展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，
所以其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
.
故答案為：
14. 已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】確定出兩次取球后盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結(jié)果.
【詳解】若兩次取球后，盒中恰有7個球，則兩次取球均為乙獲勝；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率，
第一次取球后盒中有2個黑球和3個白球，盒裝有4個黑球和2個白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€白球一個黑球，其概率為；
此時盒中恰有7個球的概率為；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，
第一次取球后盒中有3個黑球和2個白球，盒裝有3個黑球和3個白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€白球一個黑球，其概率為；
此時盒中恰有7個球的概率為；
所以盒中恰有7個球的概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得結(jié)果.
四、解答題
15. 已知二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15.
（1）求；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
【答案】（1）6 （2）15
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，化簡求解即可；
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解.
【小問1詳解】
由題意得，即，
化簡得，解得或（負(fù)值舍去）．
所以.
小問2詳解】
由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)得，
因?yàn)?，令，得?br>所以常數(shù)項(xiàng)為．
16. 袋中有大小形狀相同的5個球，其中3個紅色，2個黃色.
（1）兩人依次不放回各摸一個球，求第一個人摸出紅球，且第二個人摸出1個黃球的概率；
（2）甲從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時已摸球的次數(shù)，求：
①的值；②隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）①；②分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為
【解析】
【分析】（1）利用不放回模型，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；
（2）①分析表示的意義，結(jié)合古典概型即可得解；②由條件確定隨機(jī)變量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.
【小問1詳解】
依題意，所求概率為；
【小問2詳解】
①由已知得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，
事件表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，
故事件包含種取法，
所以；
②，，
則的概率分布為
所以的數(shù)學(xué)期望為.
17. 三棱臺中，若平面，，，，M，N分別是，中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）（3）由（1）中坐標(biāo)系，利用面面角、點(diǎn)到平面距離的向量求法求解即得.
【小問1詳解】
在三棱臺中，平面，，顯然直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由，得，
由M，N分別是，中點(diǎn)，得，則，
因此，而點(diǎn)直線，則，又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，
設(shè)平面法向量，則，令，得，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)二面角的大小為，則，
所以二面角的正弦值.
【小問3詳解】
由（1）知，，由（2）知，平面的法向量，
所以點(diǎn)C到平面的距離.
18. 隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為.
（1）求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；
（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）33
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；
（3）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列式求解.
【小問1詳解】
設(shè)“第1天選擇B套餐”，“第2天選擇B套餐”，
則“第1天不選擇B套餐”.
根據(jù)題意可知：.
由全概率公式可得.
【小問2詳解】
設(shè)“第天選擇B套餐”，則，
根據(jù)題意.
由全概率公式可得
，
整理得，且，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
【小問3詳解】
第二天選擇A類套餐的概率
由題意可得：同學(xué)甲第二天選擇A類套餐的概率為，則不選擇A類套餐的概率為，
所以，則，
當(dāng)取最大值時，則，
即，解得，
且，所以.
19. 對任意，定義+，其中為正整數(shù).
（1）求的值；
（2）探究是否為定值，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1) ,; (2)是定值，答案見解析;(3) 答案見解析.
【解析】
【分析】(1)由題意求出的值，即可求出的值.
(2)根據(jù)，，結(jié)合平方差公式即可求出的值.
(3) 假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列定義可得
，結(jié)合已知進(jìn)行推導(dǎo)，可推出當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，不成立，從而可證明.
【詳解】解：(1)由題意知，，
，
所以，
(2)是定值，證明:由題意知，，，
則，
所以.
(3) 假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，
當(dāng)時，，即，即，因?yàn)椋?br>所以，，
整理得，，其中為正整數(shù)，，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，即不成立，即假設(shè)不成立，
所以不存在存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:
本題第二問應(yīng)將看作，從而代入已知條件即可求解.
2
3
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