說明：1.本卷共有四個大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（ ）
A.9B.10C.13D.16
2.已知點在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則（O為坐標原點）的面積是（ ）
A.B.1C.2D.4
3.已知，，若與的夾角為，則（ ）
A.-1B.1C.±1D.±2
4.兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（ ）種.
A.240B.360C.420D.480
5.已知a，b為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，給出下列命題：
①若，，且，則；
②若，，且，則；
③若，，且，則；
④若，，且，則.
則其中真命題的個數(shù)是（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.已知直線交圓C：于M，N兩點，則“為正三角形”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7.已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A.12B.C.D.
8.如圖，已知M為雙曲線E：上一動點，過M作雙曲線E的切線交x軸于點A，過點A作于點D，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知，是兩個虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.若，則與均為實數(shù)B.若與均為實數(shù)，則
C.若，均為純虛數(shù)，則為實數(shù)D.若為實數(shù)，則，均為純虛數(shù)
10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.的值域為
B.的對稱中心為，
C.在上的道減區(qū)間為
D.在上的極值點個數(shù)為1
11.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，，則（ ）
A.的圖像關(guān)于點（1，0）成中心對稱B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，則的值為__________.
13.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為___________.
14.如圖1，在直角梯形中，，，，，，點E，F(xiàn)分別為邊，上的點，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動點，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當三棱錐M-BEF的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.
（1）求角B；
（2）若的平分線交于點D，，，求的長.
16.（15分）已知函數(shù)，.
（1）當時，求函數(shù)的最小值；
（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.
（1）若O為的中點，證明：平面平面；
（2）若，，線段上的點滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實數(shù)的值.
18.（17分）近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學(xué)生開放了A，B兩個健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當?shù)捏w育鍛煉.
（1）該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A，B兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為，，，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；
（2）該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為.求丁周日選擇B健身中心健身的概率；
（3）現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定k值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取一人，其k值低于1分的概率為，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過（足夠大），求抽取次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.（17分）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P，
（1）已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標：
（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，
（i）求斜橢圓C的離心率；
（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
高三數(shù)學(xué)試題卷參考答案
一、單選題（每小題5分，共40分）
二、多選題（每小題6分，共18分）
三、填空題（每題5分，計15分）
12.36 13.165 14.60π
四、解答題（共77分）
15.（1）在中，，而，
即，，
由余弦定理得，所以.
（2）在中，由等面積法得，
即，
即
所以.
16.（1）因為，所以，可得，
令，顯然在上單調(diào)逆增且
因此當時，則有，當時，則，
于是有當時，兩數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以.
（2）化簡得，即，
因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
由，
設(shè)，則有，
當時，，單調(diào)逆減，
當時，，單調(diào)逆增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，經(jīng)檢驗，當符合題意，因此的取值范圍為.
17.（1）取中點為，由條件可得為梯形的中位線，則，
又，則，且，
根據(jù)線而垂直的判定定理，得平面，即.
由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，即平面，
又面，所以平面平面；
（2）取的中點為Q，由，，
則，，
因此為等邊三角形，，
由（1）知面，，，兩兩垂直，
如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，
由，，則，
，，，，
由，
所以，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由
取，得，，得
設(shè)平面的一個法向量為
由
可得平面的一個法向量為，
記平面與平面夾角的大小為，
所以，化簡得，即，所以實數(shù)的值為.
18.解：（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率為
（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，
則，，，，
由全概率公式得，
故丁周日選擇B健身中心健身的概率為.
（3）已知從全校學(xué)生中隨機抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為P，則X的分布列為
故，
又，
兩式相減得，
所以.
19.（1）由已知可得，則，
設(shè)，則，
所以，，即點P的坐標為.
（2）（i）由與交點為和，則
由與交點為和，
則.
所以，.
（2）設(shè)直線：，與斜橢圓聯(lián)立得
，
∵，，
∴
，
設(shè)直線：，與斜橢圓聯(lián)立得
，
∴，∴，
故.
法二：將橢圓順時針旋轉(zhuǎn)，由①可得橢圓方程為，點Q旋轉(zhuǎn)后的坐標為，
當直線斜率不存在時，，，.
當直線斜率存在時，設(shè)直線為，
與橢圓方程聯(lián)立可得
，，
，
設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立可得，，
綜上所述，.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
D
C
B
C
B
題號
9
10
11
答案
ABC
AD
BCD
1
2
3
…
…

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