命題人：眭小軍（永州一中） 杜艷秋（永州四中）
謝 軍（江華二中） 田九三（祁陽(yáng)二中）
審題人：席俊雄（永州市教科院）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共150分，考試時(shí)量120分鐘．
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，只交答題卡．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1． 已知集合，，則
A．B．C．D．
2． 樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位數(shù)為
A．14B．15C．16D．18
3． 已知非零數(shù)列滿足，則=
A．8 B．16C．32D．64
4． 的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540，則的值為
A．B．C．D．
5． 為迎接2024年在永州舉行的中國(guó)龍舟公開(kāi)賽，一位熱情好客的永州市民準(zhǔn)備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為
A．26B．25C．24D．23
6． 在中，，，,,則的最小值為
A．B．C．D．
7． 已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
8． 已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于,兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點(diǎn),則
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9． 下列說(shuō)法正確的是
A．已知隨機(jī)變量，若，則
B．設(shè)，，則“”成立的充要條件是“”
C．已知，，則
D．若，，，則事件與相互獨(dú)立
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直
線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則
A．的最小值為2
B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，
C．設(shè)直線，的斜率分別為，，則
D．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，則
11．在平面四邊形中，,,為等邊三角形，將沿折起，得到三棱錐，設(shè)二面角的大小為．則下列說(shuō)法正確的是
A．當(dāng)時(shí)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的直徑為
C．當(dāng)時(shí)，以為直徑的球面與底面的交線長(zhǎng)為
D．當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至所形成的曲面面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知復(fù)數(shù)，，若（為的共軛復(fù)數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
13．已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，
，則 ．
14．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，且對(duì)于，恒有，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本題滿分13分）綠化祖國(guó)要擴(kuò)綠、興綠、護(hù)綠并舉．某校植樹(shù)節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹(shù)苗各500株．甲地土質(zhì)含有元素，乙地土質(zhì)不含有元素，其它土質(zhì)情況均相同，一段時(shí)間后，為了弄清楚該品種樹(shù)苗的成活情況與元素含量是否有關(guān)聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機(jī)抽取樹(shù)苗各50株作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲地成活45株，乙地成活40株．
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的22列聯(lián)表（單位：株），并判斷依據(jù)小概率值=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該品種樹(shù)苗成活與元素含量有關(guān)聯(lián)？
（2）若將頻率視為概率，從樣本中不成活的樹(shù)苗中隨機(jī)抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為，求的分布列及方差．
22列聯(lián)表
參考公式：
類別
樹(shù)苗成活情況
合計(jì)
成活
不成活
含元素
不含元素
合計(jì)
參考數(shù)據(jù)：
16．（本題滿分15分）如圖，在多面體中，底面為直角梯形，，，，．
E
D
F
C
B
（第16題圖）
A
（1）證明：；
（2）若，，且多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．
17．（本題滿分15分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在的單調(diào)區(qū)間及極值.
（2）若恒成立，求的取值范圍.
18．（本題滿分17分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且,,
．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合 共有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若數(shù)列中，，，求證：
．
19．（本題滿分17分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．
（1）求軌跡的方程；
（2）在軌跡上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，射線 QUOTE 交軌跡于點(diǎn)，射線 QUOTE 交橢圓于點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879

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