浙江省七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）

這是一份浙江省七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案），共8頁(yè)。試卷主要包含了考試結(jié)束后，只需上交答題紙，下列各數(shù)中最大的數(shù)是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A.B.C.D.
3.下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的是（ ）
A.B.C.D.
4.如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，，，其中是的中點(diǎn)，則在原圖中最長(zhǎng)的是（ ）
A.B.C.D.
5.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度和為6，則的面積為（ ）
A.B.2C.D.
6.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
7.下列各數(shù)中最大的數(shù)是（ ）
A.B.C.D.
8.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A.B.
C.D.
二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則（ ）
A.若，則
B.若，，則外接圓的半徑為2
C.若，則為鈍角三角形
D.若，則點(diǎn)O是的重心
10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)，
C.若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是
D.若，則有3個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根
11.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體中，，，…，，過(guò)三點(diǎn)可做一截面，類(lèi)似地，可做8個(gè)形狀完全相同的截面.關(guān)于所形成的半正多面體，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.當(dāng)此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時(shí)，邊長(zhǎng)為2
B.當(dāng)此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時(shí)，表面積是
C.當(dāng)此幾何體為半正多面體時(shí)，或
D.當(dāng)此幾何體是半正多面體時(shí)，可能由正方形與正六邊形圍成
非選擇題部分
三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為_(kāi)_____.
13.化簡(jiǎn)______.
14.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的），類(lèi)比“趙爽弦圖”，可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，，則______.
四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
已知、為單位向量，且?jiàn)A角為.
（1）若，求的值；
（2）若，求的最小值.
16.（15分）
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，且，求邊上中線的長(zhǎng).
17.（15分）
已知銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且與共線.
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范圍.
18.（17分）
已知函數(shù)在上有定義，且關(guān)于中心對(duì)稱，若
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若存在，使的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.
19.（17分）
祖暅在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高。意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理。
如圖是一個(gè)半徑為的球體，平面與球相交，截面為圓，延長(zhǎng)，交球于點(diǎn)，則垂直于圓（垂直于圓內(nèi)的所有直線）.
（1）若圓錐DB的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為，求圓錐DB的表面積和體積；
（2）如圖平面上方與球體之間的部分叫球冠，若，請(qǐng)你利用祖暅原理求球冠的體積.
2023學(xué)年第二學(xué)期浙江七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考
高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
命題：東陽(yáng)二中 程柳莎、吳旭妹
審稿：長(zhǎng)興華盛高中 章勤康 海寧宏達(dá)高中 馮曉華
一.選擇題：
二.選擇題：
11.
三.填空題：
12.213.114.
四.解答題：
15.（13分）
解：（1）由、為單位向量，且?jiàn)A角為，則
由已知，得
所以
（2）已知，
所以
的最小值為.
16.（15分）
解：（1）已知，得，
由余弦定理得，則
由，得，即
又，則，，則
（2）由可得
則，由，所以，，為直角三角形
因?yàn)?，所以，，則邊上的中線為
17.（15分）
解：（1）由于與共線.
（法一），，，
，則，又為銳角三角形，故.
（法二）則，
，又為銳角三角形，故.
（2），
，
由于為銳角三角形，則，且，
解得，
，
而，即，
的取值范圍為
18.（17分）
解：（1）關(guān)于中心對(duì)稱，
關(guān)于中心對(duì)稱，即
（2）令，，則此函數(shù)在單調(diào)遞增
①當(dāng)時(shí)，，，，
則，均為的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的正根有兩個(gè)不相等的正根
②當(dāng)時(shí)，，，，
此方程能成立，.
③不合題意.
19.（17分）
解：（1）設(shè)，則，
，
則側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角
，
滿足，，，
（2）如右圖構(gòu)造一個(gè)與半球同底等高的圓柱，內(nèi)部挖去一個(gè)倒裝的等底等高的圓錐。取同一高度的截面。令球冠截面半徑為，面積為圓錐截面半徑為，面積為。，
，
所以球冠的截面與上圖（2）的截面面積相同，根據(jù)祖暅原理兩者體積相等。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
B
D
A
A
D
9
10
11
BCD
AC
BD
，，若此幾何體為半正多面體，則，，
若，此幾何體也為半正多面體，所以
當(dāng)時(shí)，此幾何體在每一個(gè)正方體表面為正方形，其邊長(zhǎng)與相等。內(nèi)部的截面為六邊形，三條與正方形等長(zhǎng)，另三條，若，即，此幾何體也為半正多面體