1. 如圖圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別．熟練掌握：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形；如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵，根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合要求；
B中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；
C中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；
D中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；
故選：A．
2. 魯班鎖 魯班鎖，民間也稱作孔明鎖、八卦鎖，相傳由春秋時代魯國工匠魯班所創(chuàng)．如圖是魯班鎖中的一個部件，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了立體圖形的三視圖，根據(jù)主視圖是從正面看的，結(jié)合選項圖形，即可作答．
【詳解】解：依題意，魯班鎖的主視圖是
故選：B
3. 近來，中國芯片技術(shù)獲得重大突破，芯片已經(jīng)量產(chǎn)，一舉打破以美國為首的西方世界的技術(shù)封鎖，已知，則用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)的絕對值小于時，是負數(shù)．
【詳解】解：,
用科學記數(shù)法表示為：．
故選：A．
【點睛】本題考查用科學記數(shù)法絕對值ju較小的數(shù)，表示形式為的形式，解題的關(guān)鍵是要注意確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于等于時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于時，是負數(shù)．
4. 如圖所示，點在的延長線上，下列條件中能判斷的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可求解，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，故選項不能判斷，不合題意；
∵，
∴，故選項能能判斷，符合題意；
∵，
∴，故選項不能判斷，不合題意；
∵，
∴，故選項不能判斷，不合題意；
故選：．
5. 如圖，在扇形中，，，若弦，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)與等邊對等角的等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，，再由等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長．
故選：C．
6. 為評估一種水稻的種植效果，選了10塊地作試驗田．這10塊地的畝產(chǎn)量（單位：）分別為，下面給出的統(tǒng)計量中可以用來評估這種水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（ ）
A. 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)B. 這組數(shù)據(jù)的方差
C. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)D. 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，選擇方差即可求解．
【詳解】解：依題意，給出的統(tǒng)計量中可以用來評估這種水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是這組數(shù)據(jù)的方差，
故選：B．
【點睛】本題考查了選擇合適的統(tǒng)計量，熟練掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的意義是解題的關(guān)鍵．
7. 下面計算中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項、二次根式的混合運算以及單項式除以單項式等 ，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容逐項分析計算，即可作答．
【詳解】解：A、不是同類項，故不能合并，所以該選項是錯誤的；
B、，所以該選項是正確的；
C、，所以該選項是錯誤的；
D、，所以該選項是錯誤的；
故選：B
8. 如圖，是的外接圓，且，在弧AB上取點D（不與點A，B重合），連接，則的度數(shù)是（ ）
A. 60°B. 62°C. 72°D. 73°
【答案】C
【解析】
【分析】連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，從而可求出的度數(shù)．
【詳解】解：連接CD，
則∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖①，在正方形中，點M是的中點，設，．已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點是圖象上的最低點，那么正方形的邊長的值為（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由A、C關(guān)于對稱，推出，推出，推出當M、N、C共線時，值最小，連接，由圖象可知，就可以求出正方形的邊長．
【詳解】解：如圖，連接交于點O，連接，連接交于點．

∵四邊形是正方形，
∴A、C關(guān)于對稱，
∴，
∴，
∵當M、N、C共線時，的值最小，
∴y的值最小就是的長，
∴，
設正方形的邊長為，則，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（負值已舍），
∴正方形的邊長為4．
故選：C．
【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，利用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖是由全等的含角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個小形的頂點叫做格點，其中點,,在格點上，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，正弦，正切等知識．熟練掌握菱形的性質(zhì)，正弦，正切是解題的關(guān)鍵．
如圖，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，，，設菱形的邊長為，則，，，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
由菱形的性質(zhì)可得，，，，
設菱形的邊長為，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
二、填空題（本題有6個小題，每小題3分，共18分．）
11. 因式分解：__________________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)觀察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【詳解】解：x2－xy= x(x－y).
故答案：
【點睛】提公因式法因式分解是本題的考點，通過觀察正確找出公因式是解題的關(guān)鍵.
12. 如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的底面圓半徑是5，則圓錐的母線l為__________．

【答案】15
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為：．
先算圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，進而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．
【詳解】解：圓錐的底面周長，
則：，
解得．
故答案為：15．
13. 已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為，若，則實數(shù)_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得出，代入已知等式，即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根為，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則___________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：∵在中，為斜邊上中線，，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與半徑為10的交于兩點，若，則k的值是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，兩點間的距離公式，判斷出是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．先設點，根據(jù)對稱性質(zhì)得，再證是等邊三角形，用兩點間的距離公式列出等式，再求解即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設點，
反比例函數(shù)的圖象與半徑為10的交于兩點，
所以兩點關(guān)于直線對稱，
，
的半徑為10，
，
，即，
，
是等邊三角形，
，
，即，
化簡得：，
，
，
在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：25
16. 如圖，在中，，，，點D是邊上的動點，連接，則的最小值為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查利用軸對稱求最小值問題，涉及解直角三角形、勾股定理等知識．作點關(guān)于的對稱點，連接，作，垂足為，利用勾股定理求得，利用三角函數(shù)求得，將轉(zhuǎn)化為，當共線時，有最小值，最小值為的長，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接，作，垂足為，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點與點關(guān)于對稱，
∴，
∴，
當共線時，有最小值，最小值為的長．
在中，，
∴，
∴，即的最小值為．
故答案為：．
三、解答題（本大題有9小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟．）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡絕對值，零次冪及特殊角的三角函數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪，然后計算加減法即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】題目主要考查絕對值，零次冪及特殊角的三角函數(shù)、負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握各個運算法則是解題關(guān)鍵．
18. 如圖，已知點D是BC上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，連接AD，若AD垂直平分EF，求證：AD是△ABC的角平分線．
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證得AD是△ABC的角平分線．
【詳解】證明：∵AD垂直平分EF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分線．
【點睛】本題考查了角平分線判定定理，線段垂直平分線性質(zhì)；熟記“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”和“到角兩邊距離相等的點都在角的平分線上”是解決問題的關(guān)鍵．
19. 先化簡，再求值： ，其中滿足．
【答案】，．
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，先對分式進行化簡，再根據(jù)可得，即可得到分式化簡后的值，掌握分式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，．

（1）將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．
（2）請畫出關(guān)于軸對稱的．
（3）將著原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應點的位置進而畫出圖形；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)得出對應點的位置進而畫出圖形；
（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)即可得出答案．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
如圖所示，即為所求；
【小問3詳解】
將著原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，

設所在圓交于點D，交于點E，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
故線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．
【點睛】本題考查平移、軸對稱變換作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵．
21. 中華文化源遠流長，文學方面，《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中典型代表，被稱為“四大古典名著”．某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖．
請根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________部，中位數(shù)是________部；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“部”所在扇形的圓心角為________度；
（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從中各自隨機選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）見解析；（4）見解析，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)調(diào)查的總?cè)藬?shù)，求得2部對應的人數(shù)，進而得到本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)以及中位數(shù)；
（2）根據(jù)扇形圓心角的度數(shù)=部分占總體的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圓心角；
（3）根據(jù)2部對應的人數(shù)，即可將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（4）根據(jù)列表所得的結(jié)果，可判斷他們選中同一名著的概率．
【詳解】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：10÷25%=40，
∴2部對應的人數(shù)為40-2-14-10-8=6，
∴本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位數(shù)為2部．
故答案為：1，2
（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為：
故答案為：72°.
（3）2部對應的人數(shù)為：40-2-14-10-8=6人
補全統(tǒng)計圖如圖所示．
（4）將《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》分別記作A，B，C，D，
畫樹狀圖可得：
由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中選中同一名著的有4種，．
故答案為：．
【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率，以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識．解題時注意：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= ．
22. 某商店為了推銷一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品發(fā)布會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10萬元，設第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），已知第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺；
（1）直接寫出y與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；產(chǎn)品的每場銷售單價p（萬元）由基本價和浮動價兩部分相加組成，其中基本價保持不變，經(jīng)過統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)第1場—第20場浮動價與發(fā)布場次x成正比，第21場—第40場浮動價與發(fā)布場次x成反比，得到如下數(shù)據(jù)：
（2）求p與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當產(chǎn)品銷售單價為13萬元時，求銷售場次是第幾場？
（4）在這40場產(chǎn)品發(fā)布會中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）其中為正整數(shù)
（3）第15場和第35場
（4）第21場獲得的利潤最大，最大利潤為145萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺，即可解答；
（2）根據(jù)題意設出相應的函數(shù)表達式，然后通過表格中的數(shù)據(jù)求出表達式中的未知量即可；
（3）把分別代入（2）中兩個解析式中即可求解；
（4）分別表示出利潤的相關(guān)函數(shù)，再在自變量取值范圍內(nèi)研究哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少．
【小問1詳解】
解：∵第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺，
∴與的函數(shù)關(guān)系式為．
【小問2詳解】
解：設基本價為，
①第1場～第20場，且為正整數(shù)，
設與的函數(shù)關(guān)系式為，
依題意得，解得，
∴．
第21場～第40場，即且為正整數(shù)時，
設與的函數(shù)關(guān)系式為，即．
依題意得，解得，
∴，
綜上所述，其中為正整數(shù)；
【小問3詳解】
解：當時，，
解得；
，解得．
故當產(chǎn)品銷售單價為13萬元時，銷售場次是第15場和第35場
【小問4詳解】
解：設每場獲得的利潤為（萬元）．
當且為正整數(shù)時，
，
∵在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，
∴當時，最大，最大利潤為（萬元）．
當且為正整數(shù)時，，
∵隨的增大而減小，
∴當時，最大，最大利潤為（萬元），
∵，
∴在這40場產(chǎn)品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為145萬元．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，是函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是：理解題意，會求出各函數(shù)的解析式，在根據(jù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解答，題目較難．
23. 如圖，為經(jīng)過圓心的一條線段，且與交于點．
（1）過在的上方作的切線，切點為，過作，垂足為，與交于點． 請尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細步驟．
（2）求證：平分；
（3）若，，求的半徑．
【答案】（1）作圖見解析；
（2）證明見解析； （3）．
【解析】
【分析】（）作線段的垂直平分線，交于點，以點為圓心，為半徑畫圓，交于點，作射線，由直徑所對的圓周角是直角可得，即為的切線，再根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法可作出；
（）證明可得，又由，得到，進而得到，即可求證；
（）連接，證明，得到，由根據(jù)，得到，求出即可求解；
本題考查了過圓外一點作圓的切線，過直線外一點作已知直線的垂線，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
證明：如圖，
∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
【小問3詳解】
解：連接，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵是切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的半徑為．
24. 已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．
（1）當且 ．
①求拋物線的解析式．
②若，且，的最大值和最小值分別為，，且，求的值．
③若該拋物線經(jīng)過，兩點，且，求的取值范圍．
（2）當時，函數(shù)有最小值，直接寫出的值．
【答案】（1）①，②，③或；
（2））的值為或
【解析】
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法解答即可；
②利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和待定系數(shù)法解答即可；
③利用分類討論的思想方法分：當，都在對稱軸的左側(cè)時，當，都在對稱軸的右側(cè)時，當點在對稱軸是右側(cè)，點在對稱軸的左側(cè)時，當點在對稱軸是左側(cè)，點在對稱軸的右側(cè)時，四種情形解答，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)列出不等式組解答即可；
（2）利用二次函數(shù)的極值和拋物線與軸的交點之間的距離列出等式解答即可．
【小問1詳解】
解：①，
，
將代入得：
，
拋物線的解析式為；
②，
，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
，，
對應的函數(shù)的圖象在軸的左側(cè)，此時拋物線的頂點為最低點，
，為函數(shù)最小值，即，
，
，
將代入得：
，
解得：（舍或，
．
③拋物線對稱軸為直線，
當，都在對稱軸的左側(cè)時，
在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小，，
，
解得：．
當，都在對稱軸的右側(cè)時，
在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，，
，
解得：．
當點在對稱軸的右側(cè)，點在對稱軸的左側(cè)時，
，
解得：，
點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，
拋物線開口向上，，
，，
解得：．
當點在對稱軸是左側(cè)，點在對稱軸的右側(cè)時，
，
此不等式無解，
此種情形不存在，
綜上，若該拋物線經(jīng)過，兩點，且，的取值范圍：或；
【小問2詳解】
的值為或．理由：
函數(shù)有最小值，
，．
．
設，．，，則，是方程的兩根，
，，
．
或，
或．
當時，，
解得：或0（不合題意，舍去），
當時，，
解得：或0（不合題意，舍去），
綜上，的值為或．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)的極值，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，利用拋物線上點的坐標的特征解答是解題的關(guān)鍵．
25. 探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】
（1）如圖1，當時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】
（2）①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運用】
（3）如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析 （2）①，證明過程略；②當點F在射線上時，，當點F在延長線上時，
（3）
【解析】
【分析】（1）連接，當時，，即，證明，從而得到即可解答；
（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；
②分類討論，即當點F在射線上時；當點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；
（3）如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，

當時，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在與中，
，
，
，
；
【小問2詳解】
①
證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，

當時，，即，
是的中點，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：當點F在射線上時，
如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
當點F在延長線上時，
如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接

同（1）中原理，可證明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為,
綜上所述，當點F在射線上時，；當點F在延長線上時，；
【小問3詳解】
解：如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，

如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，

，
，，
，
，
，
，
是的中點，
，
，
，
，
根據(jù)（2）中的結(jié)論，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．x（場）
3
10
25
p（萬元）
10.6
12
14.2

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