上海市南匯中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

滿分：150分完成時(shí)間：120分鐘命題人：高一數(shù)學(xué)命題組
一、填空題：（本大題滿分 54分，其中1-6題每小題4分，7-12題每小題5分）
1. 點(diǎn)到直線的距離是________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式可求答案.
【詳解】點(diǎn)到直線的距離.
故答案為：2.
2. 使直線與直線平行，求__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直線的一般式方程及兩直線平行的條件即可求解；
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得．
故答案為：.
3. 已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)得，從而可得切線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出切線方程再化簡(jiǎn)即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，
所以切線方程為：，
即或.
故答案為：
4. 已知拋物線C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此拋物線的準(zhǔn)線方程是_________.
【答案】
【解析】
【分析】將點(diǎn)代入中，求得，從而得到拋物線的準(zhǔn)線方程.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以拋物線方程為，故拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故答案為：.
5. 已知的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．
【詳解】解：（1+3x）n的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含有x2的系數(shù)是54，∴r＝2．
∴54，可得6，∴6，n∈N*．
解得n＝4．
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6. 已知雙曲線一條漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程，依題意可得，解得、，即可得解.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
依題意可得，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
7. 若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用圓錐的性質(zhì)求出底面半徑與母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式即可得出．
【詳解】軸截面是邊長(zhǎng)為4等邊三角形，
所以圓錐底面半徑，
圓錐母線．
圓錐的側(cè)面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面積的求解，熟練掌握?qǐng)A錐的性質(zhì)及圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
8. 已知，，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，分析所以可能的情況與滿足條件的情況即可.
【詳解】由題意，所有可能的情況有種，
其中滿足與的情況數(shù)量相等，都有種，
故方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是.
故答案為：
9. 若則__________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義可得答案.
【詳解】令，
因?yàn)?br>.
所以.
故答案為：.
10. 若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】作出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象可求答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>其圖象是以為圓心，2為半徑的下半個(gè)圓弧，

當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)，恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)由可求，（舍去）；
當(dāng)直線過(guò)圖中點(diǎn)時(shí)，由可得，
當(dāng)直線過(guò)圖中點(diǎn)時(shí)，由可得，
所以直線截距位于和3之間時(shí)也符合題意，
綜上可得實(shí)數(shù)b的取值范圍是.
故答案為：
11. 已知二次曲線的方程為：，當(dāng)m，n為正整數(shù)，且時(shí)存在兩條曲線，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿足，則__________
【答案】
【解析】
【分析】可先得為橢圓，為雙曲線，結(jié)合圖象幾何性質(zhì)得到，，然后根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及列出方程組，即可求解.
【詳解】由題意可知滿足且m，n為正整數(shù)的曲線如下：
，，為橢圓，
，，，為雙曲線，
結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間也無(wú)公共點(diǎn)，
故，，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，則根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及可得

可得代入③
解得，
所以存在這樣的，且或或.
故答案為：8
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用兩類曲線的定義建立等量關(guān)系式，結(jié)合勾股定理，從而得出結(jié)果.
12. 高二年級(jí)某同學(xué)打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓.通過(guò)自學(xué)與老師探討，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn)，他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為，橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率__．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.
【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為
設(shè),
由到直線的距離為1，得，解之得或（舍）
則，
又設(shè)直線PN的方程為
由到直線PN的距離為1，得，整理得，
則，又，故
則直線PN的方程為，
故，
由，解得，故橢圓的離心率.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得到直線的斜率，從而求出與，解出即可斜率.
二、選擇題（本大題滿分 18分，13-14 每小題4分；15-16 每小題5分）
13. 圓與圓的位置關(guān)系是（）
A. 相交B. 外切C. 外離D. 內(nèi)含
【答案】B
【解析】
【分析】求出圓心距，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】的圓心為，半徑為1，
的圓心為，半徑為1，
可知兩圓圓心距為2，恰好等于兩圓半徑之和，所以兩圓是外切.
故選：B
14. 已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在使得則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；
其中沒(méi)有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（）
A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用“巧值點(diǎn)”的定義及方程解的情況判斷即可.
【詳解】對(duì)于，，不存在“巧值點(diǎn)”；
對(duì)于，，令可得或，有“巧值點(diǎn)”；
對(duì)于，，令，
因?yàn)榕c的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，所以有解，有“巧值點(diǎn)”；
對(duì)于，，令，可知是的一個(gè)解，有“巧值點(diǎn)”.
故選：A
15. 定義點(diǎn)到曲線的距離為該點(diǎn)到這個(gè)曲線上任意點(diǎn)的距離的最小值.已知曲線C：，那么平面內(nèi)到曲線C的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（）
A. 雙曲線一支B. 一個(gè)橢圓
C. 一條線段D. 一條射線
【答案】D
【解析】
【分析】曲線C的方程為，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)為，根據(jù)到曲線C的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等可得答案.
【詳解】曲線C的方程為，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)為，
因?yàn)榈角€C的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等，
所以，整理得，
因?yàn)辄c(diǎn)到曲線的距離為該點(diǎn)到這個(gè)曲線上任意點(diǎn)的距離的最小值，
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：D.
16. 已知曲線，對(duì)于命題：（1）垂直于x軸的直線與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn);（2）若點(diǎn) 為曲線C上任意兩點(diǎn)，則有下列判斷正確的是（）
A. （1）和（2）均為真命題B. （1）和（2）均為假命題
C. （1）為真命題，（2）為假命題D. （1）為假命題，（2）為真命題
【答案】A
【解析】
【分析】先逐個(gè)象限判斷方程軌跡，大致畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象分析.
【詳解】設(shè)P是曲線上的點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)， ,
即軌跡為雙曲線的一部分，漸近線為；
當(dāng)時(shí)，等式不成立，故第二象限無(wú)軌跡；
當(dāng)時(shí)，
即，軌跡為雙曲線的一部分，漸近線為；
當(dāng)時(shí)，，即軌跡為橢圓的一部分,
根據(jù)分析，可畫(huà)出圖象如圖所示．

由圖可知，垂直于x軸的直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故（1）正確；
由圖可以看出，軌跡為遞增函數(shù)，故斜率恒成立，故（2）正確．
故選:A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)方程的處理辦法通過(guò)討論的符號(hào)去絕對(duì)值號(hào)，得到各象限內(nèi)不同的曲線.
三、解答題（本大題共5題，滿分 78分）
17. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為23，公差為-4的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2）求得數(shù)列的所有正數(shù)項(xiàng)，它們的和為的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為23，公差為-4的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
【小問(wèn)2詳解】
令，可得，所以數(shù)列的前6項(xiàng)為正，
所以數(shù)列前6項(xiàng)和為的最大值，最大值=.
18. 在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，E為BC的中點(diǎn)，PC與底面所成的角為

（1）求證: BD⊥PC;
（2）求點(diǎn)E到平面BDP的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線線垂直證明平面，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）先求的長(zhǎng)，再利用向量求解點(diǎn)面距.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以?br>因?yàn)榈酌妫酌妫裕?br>因?yàn)椋矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫?
【小問(wèn)2詳解】
連接，則即為PC與底面所成的角，
由題意，
因?yàn)椋裕?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向，建系如圖，

,；
；
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則,，
令，得，即，
點(diǎn)E到平面BDP的距離為.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓的半徑為，其圓心在射線上，且
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；
（3）自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在的直線與圓相切，求光線所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心，，由距離公式求出，即可得到圓的方程；
（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解得即可；
（3）取圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓，可知直線與圓相切，根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓心，，
由于，所以，所以，
即圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
圓心到直線的距離，此時(shí)滿足直線和圓相切；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
即，
因?yàn)橹本€和圓相切，
所以圓心到直線的距離，
即，平方得，
即，此時(shí)直線的方程為，即，
所以直線的方程為或；
【小問(wèn)3詳解】
取圓關(guān)于軸的對(duì)稱的圓，即圓心，半徑，
可知直線與圓相切，
若直線的斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離，不合題意；
所以直線的斜率存在，設(shè)為，則，即，
則，整理得，解得或，
所以直線的方程為或.
20. 已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M在直線上.
（1）若，線段AM 的中點(diǎn)在x軸上，求M 的坐標(biāo)；
（2）若直線l與y軸交于B，直線AM 經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，在中有一個(gè)內(nèi)角的余弦值為，求b的值;
（3）若，直線 l與橢圓Γ沒(méi)有公共點(diǎn)，在橢圓Γ上存在一點(diǎn)，，點(diǎn)P到l的距離為d，且，當(dāng)a變化時(shí)，求d的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意及條件先得出橢圓方程，由AM的中點(diǎn)在x軸上先得出M縱坐標(biāo)，再代入直線方程即可求得M；
（2）分類討論中哪個(gè)內(nèi)角余弦值為，分別解三角形求得對(duì)應(yīng)值即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)得出，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到關(guān)于的不等式，解不等式求出的取值范圍即可求得d的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，
的中點(diǎn)在軸上，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：A、M的縱坐標(biāo)之和為0，
的縱坐標(biāo)為，代入得：.
【小問(wèn)2詳解】
由直線方程可知，由直線方程可知，故有如下兩種情況：
①若，則，，即，
.
②若，則，
，
.
即，
綜上或.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，則由題意得，
顯然橢圓在直線的左下方，則，
即，
，
得，
整理可得，解得，
又，
從而.
即d的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法：一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線K， P是曲線K上一點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線K的軌跡方程;
（2）已知過(guò)點(diǎn)A 且斜率為k的直線l與曲線K交于B，C 兩點(diǎn)，若且直線與直線交于Q點(diǎn).求證: 為定值：
（3）若且點(diǎn) D，E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為求面積的最小值.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析，為定值a
（3）8
【解析】
【分析】（1）利用拋物線的定義即可判斷動(dòng)圓圓心軌跡形狀，軌跡拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求曲線K的方程;
（2）聯(lián)立l方程和曲線K的方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求出，聯(lián)立直線與曲線K方程求出P，聯(lián)立方程和求出Q，從而可求，代入即可得結(jié)果；
（3）先求出曲線K的方程，點(diǎn)D，E在y軸上，設(shè)出D、E坐標(biāo)，并求出，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的高，再求面積的最小值即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，
由題意可知圓心到距離等于到直線的距離，
由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡為拋物線，點(diǎn)為焦點(diǎn)，
則曲線K的軌跡方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，
由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡為拋物線，點(diǎn)為焦點(diǎn)，
則曲線K的軌跡方程為.
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，
依題意，所以，
設(shè)，所以，，又，
所以，
因?yàn)椋O(shè)直線的方程，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，
所以，即，所以，
令，則，即，所以，
所以，故為定值a.
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，
由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，
由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡為拋物線，點(diǎn)為焦點(diǎn)，
則曲線K的軌跡方程為.
設(shè)，直線的方程為，
依題意圓心到的距離為1，即，
化簡(jiǎn)得，
同理可得，
所以是方程的兩根，
所以，依題意，則，
又，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最小值8.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．

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