命題 景德鎮(zhèn)一中 邱金龍 景德鎮(zhèn)二中 馬小宇 景德鎮(zhèn)十六中 余倩
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集，，，則是（ ）
A.B.C.D.
2.下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（ ）
A.B.
C.D.
3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時(shí)，的解析式為（ ）
A.B.C.D.
4.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A.B.C.D.
5.已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A.若，，則
B.若，，則
C.若，，，則
D.若，，，則或
6.過拋物線上的一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則可能的取值是（ ）
A.1B.4C.D.5
7.函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若，則（ ）
A.B.C.D.
8.六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.等邊邊長(zhǎng)為2，，，與交于點(diǎn)，則（ ）
A.B.
C.D.在方向上的投影向量為
10.正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（ ）
A.該截面是五邊形
B.四面體外接球的球心在該截面上
C.該截面與底面夾角的正切值為
D.該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75
11.已知、是橢圓：上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不關(guān)于兩坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱），是左焦點(diǎn)，為離心率.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.直線的斜率為1時(shí)，在軸上的截距小于
B.周長(zhǎng)的最大值是
C.當(dāng)直線過點(diǎn)，且中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為時(shí)，則
D.當(dāng)時(shí)，線段的中垂線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積的取值范圍是
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，其中，，，則______.
13.若關(guān)于，的三項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則______；其中項(xiàng)系數(shù)的最大值為______.
14.不經(jīng)過第四象限的直線與函數(shù)的圖象從左往右依次交于三個(gè)不同的點(diǎn)，，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知在正三棱柱中，，.
（1）已知，分別為棱，的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16.（15分）近年來，景德鎮(zhèn)市積極探索傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代生活的連接點(diǎn)，活化利用陶溪川等工業(yè)遺產(chǎn)，創(chuàng)新場(chǎng)景和內(nèi)容，打造了創(chuàng)意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，讓傳統(tǒng)文化綻放當(dāng)代生命力.為了了解游客喜歡景德鎮(zhèn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)選取了來景旅游的老年人和年輕人各50人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示：
（1）判斷是否有的把握認(rèn)為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)？
（2）2024年春節(jié)期間，景德鎮(zhèn)某旅行社推出了A、B兩條旅游路線.現(xiàn)有甲、乙、丙共3名游客，他們都決定在A、B路線中選擇其中一條路線旅游，他們之間選擇哪條旅游路線相互獨(dú)立.其中甲選擇A路線的概率為，而乙、丙選擇A路線的概率均為，且在三人中有且僅有1人選擇A路線的條件下該人為甲的概率為.設(shè)表示這3位游客中選擇A路線的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：
17.（15分）已知是雙曲線：上的一個(gè)點(diǎn)，且與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積是.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于異于的不同兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn).連接，并過作的平行線分別與直線、交于、兩點(diǎn).求證：是線段的中點(diǎn).
18.（17分）已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）已知實(shí)數(shù).
①求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②設(shè)該零點(diǎn)為，若圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.（17分）設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)蠟楹偷牡芽柗e.若，則稱是到的一個(gè)關(guān)系.當(dāng)時(shí)，則稱與是相關(guān)的，記作.已知非空集合上的關(guān)系是的一個(gè)子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，有，則，則稱是對(duì)稱的；若，有，，則，則稱是傳遞的.且同時(shí)滿足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱是集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作~.
（1）設(shè)，，，，求集合與；
（2）設(shè)是非空有限集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記中的子集為的等價(jià)類，求證：存在有限個(gè)元素，使得，且對(duì)任意，；
（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項(xiàng)和為.若給出上的兩個(gè)關(guān)系和，請(qǐng)求出關(guān)系，判斷是否為上的等價(jià)關(guān)系.如果不是，請(qǐng)說明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫出中所有等價(jià)類作為元素構(gòu)成的商集合.
景德鎮(zhèn)市2024屆高三第三次質(zhì)檢試題
數(shù)學(xué)（理科）參考答案
第I卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.
8.解：不妨假設(shè)六位爸爸已經(jīng)站好了位置，只需要考慮小孩找到各自的爸爸，則其為定序問題，故不需要插隊(duì)的概率.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分.
11.解：對(duì)于A，設(shè)：，與橢圓聯(lián)立得：
，由，
又，，即，故A正確；
或考慮當(dāng)橢圓的極限情況為圓時(shí)，，故；
對(duì)于B，設(shè)右焦點(diǎn)為，則周長(zhǎng)，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取到，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)中點(diǎn)為，由點(diǎn)差法可知，即，
設(shè)，則，
，而，故，故C錯(cuò)誤；
另解：易知軌跡是以為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，
，即該橢圓的短半軸長(zhǎng)為，故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，顯然直線存在斜率且不為零.
設(shè)線段的中垂線所在的直線方程為，則.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立：，
即，，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入，即.
.
又僅當(dāng)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，，故，
，故D正確.
另解：設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，易得，
線段的中垂線方程為.
令，得，令，得.
.又，
，.
顯然，，故D正確.
故選ABD.
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.
12.313.6，14.
15.解：易知必存在斜率，設(shè)：，
不經(jīng)過第四象限，，
設(shè)，，，其中，
，，為方程的三個(gè)根，
構(gòu)造函數(shù)，
則，易知.
我們先將視作為定值，則由，
可得.
又，.
于是的取值隨著的增大而減小，
故當(dāng)時(shí)取最大值，
解得.
同理.
，.
若，，成等差，則有，
整理即，解得，
，
即的最小值為.
四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.
15.（本小題13分）
解：（1）取中點(diǎn)，連接，.
，分別為，中點(diǎn)，且，
又分別為中點(diǎn)，且，
且，
故四邊形是平行四邊形，.
而平面，面，
平面.
（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，，.
.
即直線與平面所成角的正弦值是.
16.（本小題15分）
解：（1），
有的把握認(rèn)為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)；
（2）根據(jù)貝葉斯公式可知三人中有且僅有1人選擇路線的條件下該人為甲的概率為
，
，解得：
由題意可知，的取值為0，1，2，3.
；
；
；
.
的分布列為
的數(shù)學(xué)期望是.
17.（本小題15分）
解：（1）由題意可知，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）依題意直線斜率不為零，設(shè)：，，，
易得，，
將直線與進(jìn)行聯(lián)立并整理得：，其中，
根據(jù)韋達(dá)定理可知，.
設(shè)直線：，直線：，
兩者聯(lián)立，得：，
同理，
，
即線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).
18.（本小題17分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取極小值.
（2）①令，
換元，，
即或.
構(gòu)造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，
且，
方程必定存在一負(fù)根.
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
恒成立，方程無(wú)根.
當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
【注：若解法中涉及到極限問題作答扣2分.】
②由上可知.
構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性不妨假設(shè)，
若存在唯一正根，則.
.
，，，，
令，即.
令，構(gòu)造函數(shù)，
，且顯然在上單調(diào)遞減，
存在正零點(diǎn)的必要條件是.
易證明當(dāng)時(shí)，，
，
只要當(dāng)時(shí)，就有，
故是存在正零點(diǎn)的充要條件，
而，且，，
在上單調(diào)遞增，
，又，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19.（本小題17分）
解：（1）依據(jù)定義可知，
（2）是中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，由自反性可知，故不為空集.
若，不妨假設(shè)，
必有與，由自反性可知即，
再由傳遞性可知.
，則，而，即，
于是由傳遞性有，故，
.
同理可證明，.
綜上所述，，總有或.
任取構(gòu)成，又任取構(gòu)成，
再任取構(gòu)成，…，
以此類推，是有限集合，結(jié)合上述結(jié)論可知必存在有限個(gè)元素，使得，其中；
（3），，，
故，，必存在.
由題意可知當(dāng)時(shí)，有，
整理即：，
將代入得：，
即，
數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為.
當(dāng)時(shí)，有，顯然成立.
當(dāng)時(shí)，，，即數(shù)列不為常數(shù)列，
則，
，
，即，
由.
而，
，
而，顯然此方程無(wú)解，
，與題意矛盾，
綜上所述只有.
.
，由于數(shù)列不為常數(shù)列，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
故為奇數(shù).
.
，
而為奇數(shù)，與一奇一偶，，，，三奇一偶或兩奇兩偶，
又，，，，不可能三奇一偶，
故，均為奇數(shù)，，均為偶數(shù)或，均為偶數(shù)，，均為奇數(shù).
.
當(dāng)時(shí)，，
是自反的；
當(dāng)，將，與，取值對(duì)調(diào)，
則，是對(duì)稱的；
當(dāng)與，即，
其中，，為奇數(shù)，，，為偶數(shù)或，，為偶數(shù)，，，為奇數(shù)，
，是傳遞的.
綜上所述，是上的等價(jià)關(guān)系，
其中喜歡景德鎮(zhèn)
不喜歡景德鎮(zhèn)
合計(jì)
年輕人
30
20
50
老年人
15
35
50
合計(jì)
45
55
100
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
A
C
D
A
B
9
10
11
BD
ACD
ABD

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