一、選擇題
1．已知全集,,,則是( )
A.B.C.D.
2．下列有關(guān)復(fù)數(shù),的等式中錯誤的是( )
A.B.
C.D.
3．已知函數(shù)是奇函數(shù),則時,的解析式為( )
A.B.C.D.
4．已知是數(shù)列的前n項和,,,則( )
A.B.C.D.
5．已知a,b是空間內(nèi)兩條不同的直線,,,是空間內(nèi)三個不同的平面,則下列說法正確的是( )
A.若,,則
B.若,,則
C.若,,,則
D.若,,,則或
6．過拋物線上的一點P作圓的切線,切點為A,B,則可能的取值是( )
A.1B.4C.D.5
7．函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心,,將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.若,則( )
A.B.C.D.
8．六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué),小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園,爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè),每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．等邊邊長為2,,,與交于點F,則( )
A.B.
C.D.在方向上的投影向量為
10．正方體的棱長為6,P,Q分別是棱,的中點,過P,Q,C作正方體的截面,則( )
A.該截面是五邊形
B.四面體外接球的球心在該截面上
C.該截面與底面夾角的正切值為
D.該截面將正方體分成兩部分,則較小部分的體積為75
11．已知A、B是橢圓上兩個不同的動點（不關(guān)于兩坐標軸及原點O對稱）,F是左焦點,e為離心率.則下列結(jié)論正確的是( )
A.直線的斜率為1時,在y軸上的截距小于
B.周長的最大值是
C.當直線過點F,且中點縱坐標的最大值為時,則
D.當時,線段的中垂線與兩坐標軸所圍成三角形面積的取值范圍是
三、填空題
12．在中,a,b,c分別為三個內(nèi)角A,B,C的對邊,其中,,,則________.
13．若關(guān)于x,y的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64,則_________;其中項系數(shù)的最大值為___________.
14．不經(jīng)過第四象限的直線l與函數(shù)的圖象從左往右依次交于三個不同的點,,,且,,成等差數(shù)列,則的最小值為_____________.
四、解答題
15．已知在正三棱柱中,,.
（1）已知E,F分別為棱,的中點,求證：平面;
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16．近年來,景德鎮(zhèn)市積極探索傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代生活的連接點,活化利用陶溪川等工業(yè)遺產(chǎn),創(chuàng)新場景和內(nèi)容,打造了創(chuàng)意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP,讓傳統(tǒng)文化綻放當代生命力.為了了解游客喜歡景德鎮(zhèn)是否與年齡有關(guān),隨機選取了來景旅游的老年人和年輕人各50人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表所示：
（1）判斷是否有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)？
（2）2024年春節(jié)期間,景德鎮(zhèn)某旅行社推出了A、B兩條旅游路線.現(xiàn)有甲、乙、丙共3名游客,他們都決定在A、B路線中選擇其中一條路線旅游,他們之間選擇哪條旅游路線相互獨立.其中甲選擇A路線的概率為,而乙、丙選擇A路線的概率均為,且在三人中有且僅有1人選擇A路線的條件下該人為甲的概率為.設(shè)表示這3位游客中選擇A路線的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：
17．已知是雙曲線上的一個點,且與兩焦點構(gòu)成的三角形的面積是.
（1）求雙曲線的標準方程;
（2）P是的右頂點,過點的直線l與交于異于P的不同兩點A、B,與直線交于E點.連接,并過M作的平行線分別與直線、交于C、D兩點.求證：M是線段的中點.
18．已知函數(shù),.
（1）當時,求函數(shù)的極值;
（2）已知實數(shù).
①求證：函數(shù)有且僅有一個零點;
②設(shè)該零點為,若圖象上有且只有一對點,關(guān)于點成中心對稱,求實數(shù)a的取值范圍.
19．設(shè)X,Y是非空集合,定義二元有序?qū)蠟楹偷牡芽柗e.若,則稱R是X到Y(jié)的一個關(guān)系.當時,則稱x與y是R相關(guān)的,記作.已知非空集合X上的關(guān)系R是的一個子集,若滿足,有,則稱R是自反的：若,,有,則,則稱R是對稱的;若,y,有,,則,則稱R是傳遞的.且同時滿足以上三種關(guān)系時,則稱R是集合X中的一個等價關(guān)系,記作~.
（1）設(shè),,,,求集合與;
（2）設(shè)R是非空有限集合X中的一個等價關(guān)系,記X中的子集為x的R等價類,求證：存在有限個元素,使得,且對任意,;
（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,其中,,數(shù)列滿足,其中,前n項和為.若給出上的兩個關(guān)系和,請求出關(guān)系,判斷是否為上的等價關(guān)系.如果不是,請說明你的理由;如果是,請證明你的結(jié)論并請寫出中所有等價類作為元素構(gòu)成的商集合.
參考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：C
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：不妨假設(shè)六位爸爸已經(jīng)站好了位置,只需要考慮小孩找到各自的爸爸,
則其為定序問題,故不需要插隊的概率.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABD
解析：對于A,設(shè),與橢圓聯(lián)立得：
,由,
又,,即,故A正確;
或考慮當橢圓的極限情況為圓時,,故;
對于B,設(shè)右焦點為,則周長,
等號當且僅當直線過點時取到,故B正確;
對于C,設(shè)中點為M,由點差法可知,即,
設(shè),則,
,而,故,故C錯誤;
另解：易知M軌跡是以為長軸,離心率為e的橢圓,
,即該橢圓的短半軸長為,故,故C錯誤;
對于D,顯然直線存在斜率且不為零.
設(shè)線段的中垂線所在的直線方程為,則.
設(shè)直線的方程為,聯(lián)立：,
即,,
線段的中點坐標為,
代入,即.
.
又僅當、關(guān)于原點對稱時,,故,
,故D正確.
另解：設(shè)線段中點坐標為,易得,
線段的中垂線方程為.
令,得,令,得.
.又,
,.
顯然,,故D正確.
故選ABD.
12．答案：3
解析：
13．答案：6,
解析：
14．答案：
解析：易知l必存在斜率,設(shè),
不經(jīng)過第四象限,,
設(shè),,,其中,
,,為方程的三個根,
構(gòu)造函數(shù),
則,易知.
我們先將視作為定值,則由,
可得.
又,.
于是的取值隨著的增大而減小,
故當時取最大值,
解得.
同理.
,.
若,,成等差,則有,
整理即,解得,
,
即的最小值為.
15．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）取中點G,連接,.
,F分別為,中點,且,
又E分別為中點,且,
且,
故四邊形是平行四邊形,.
而平面,面,
平面.
（2）如圖以A為坐標原點,,分別為y,z軸建立空間直角坐標系,
則,,,,
.
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,得,,.
.
即直線與平面所成角的正弦值是.
16．答案：（1）有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)
（2）
解析：（1）,
有的把握認為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān);
（2）根據(jù)貝葉斯公式可知三人中有且僅有1人選擇路線的條件下該人為甲的概率為
,
,解得：
由題意可知,X的取值為0,1,2,3.
;
;
;
.
的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望是.
17．答案：（1）
解析：（1）由題意可知,
雙曲線的標準方程是.
（2）依題意直線l斜率不為零,設(shè),,,
易得,,
將直線l與進行聯(lián)立并整理得：,其中,
根據(jù)韋達定理可知,.
設(shè)直線,直線,
兩者聯(lián)立,得：,
同理,
,
即線段的中點是定點M.
18．答案：（1）
（2）①當實數(shù)時,函數(shù)有且僅有一個零點②
解析：（1）當時,,則,
令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
故當時,取極小值.
（2）①令,
換元,,
即或.
構(gòu)造函數(shù),顯然單調(diào)遞增,
且,
方程必定存在一負根.
對于函數(shù),當時,
當時,
恒成立,方程無根.
當實數(shù)時,函數(shù)有且僅有一個零點.
②由上可知.
構(gòu)造函數(shù),根據(jù)對稱性不妨假設(shè),
若存在唯一正根,則.
.
,,,,
令,即.
令,構(gòu)造函數(shù),
,且顯然在上單調(diào)遞減,
存在正零點的必要條件是.
易證明當時,,
,
只要當時,就有,
故是存在正零點的充要條件,
而,且,,
在上單調(diào)遞增,
,又,
故,即實數(shù)a的取值范圍是.
19．答案：（1）,
（2）
（3）見解析
解析：（1）依據(jù)定義可知,
（2）是X中的一個等價關(guān)系,由自反性可知,故不為空集.
若,不妨假設(shè),
必有與,由自反性可知即,
再由傳遞性可知.
,則,而,即,
于是由傳遞性有,故,
.
同理可證明,.
綜上所述,,,總有或.
任取構(gòu)成,又任取構(gòu)成,
再任取構(gòu)成,…,
以此類推,是有限集合,結(jié)合上述結(jié)論可知必存在有限個元素,使得,其中;
（3）,,,
故,,必存在.
由題意可知當時,有,
整理即：,
將代入得：,
即,
數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.
當時,有,顯然成立.
當時,,,即數(shù)列不為常數(shù)列,
則,
,
,即,
由.
而,
,
而,顯然此方程無解,
,與題意矛盾,
綜上所述只有.
.
,由于數(shù)列不為常數(shù)列,
當為偶數(shù)時,,
當為奇數(shù)時,,
故為奇數(shù).
.
,
而為奇數(shù),與一奇一偶,,n,p,q三奇一偶或兩奇兩偶,
又,,n,p,q不可能三奇一偶,
故m,p均為奇數(shù),n,q均為偶數(shù)或m,p均為偶數(shù),n,q均為奇數(shù).
.
當時,,
是自反的;
當,將m,n與p,q取值對調(diào),
則,是對稱的;
當與,即,
其中m,p,r為奇數(shù),n,q,s為偶數(shù)或m,p,r為偶數(shù),n,q,s為奇數(shù),
,是傳遞的.
綜上所述,R是上的等價關(guān)系,
其中.
喜歡景德鎮(zhèn)
不喜歡景德鎮(zhèn)
合計
年輕人
30
20
50
老年人
15
35
50
合計
45
55
100
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
P

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