4月月考數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1. ﹣5的絕對(duì)值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)可得答案．
【詳解】解：|﹣5|=5．
故選A．
2. 如圖所示的幾何體是由6個(gè)大小相同的小正方體搭成的，其俯視圖是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了三視圖，熟練地掌握主視圖，左視圖和俯視圖是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)俯視圖是從幾何體的上面看到的圖形，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：該幾何體的俯視圖為：
故選：D．
3. 在“十四五”規(guī)劃的開(kāi)局之年，成都一如既往是全省的“領(lǐng)頭羊”，上半年地區(qū)生產(chǎn)總值為9602.72億元．將數(shù)據(jù)“9602.72億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：9 602.72億．
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. a3+a3＝a6B. a3?a2＝a6C. a3÷a＝a2D. （﹣a3）2＝﹣a6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)整式運(yùn)算中同類項(xiàng)的合并、同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方法則計(jì)算即可.
【詳解】解：A、由于a3和a3是同類項(xiàng)，可以合并，a3+a3＝2a3，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加可知a3?a2＝a5，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相減可知a3÷a＝a2，原計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意；
D、根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則底數(shù)不變，指數(shù)相乘可知，（﹣a3）2＝a6，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練的應(yīng)用整式的四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
5. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的值是（ ）
A. 5B. 1C. D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出m、n的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
，．
，．
．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，即縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)也互為相反數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵
6. 國(guó)務(wù)院新聞辦公室于2021年5月11日上午10時(shí)舉行新聞發(fā)布會(huì)，介紹第七次全國(guó)人口普查主要數(shù)據(jù)結(jié)果，與2010年第六次全國(guó)人口普查相比，31個(gè)省份中，有25個(gè)省份人口增加．人口增長(zhǎng)較多的5個(gè)省份依次為：廣東、浙江、江蘇、山東、河南，分別增加21709378人、10140697人、6088113人、5734388人、5341952人．這五個(gè)數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是（ ）
A. 5341952B. 5734 388C. 10140697D. 6088113
【答案】D
【解析】
【分析】將五個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于正中間的數(shù)即為中位數(shù)．
【詳解】解：五個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：5341952，5734388，6088113，10140697，21709378，
位于正中間的數(shù)是6088113，
故中位數(shù)是6088113．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)，熟練掌握中位數(shù)的定義及求法是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．
7. 分式方程的解為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程兩邊都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1），求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：方程兩邊都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1），
解得：x=-1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=-1時(shí)，x（x-1）≠0，
所以x= -1是原方程的解，
即原方程的解是x=-1；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
8. 如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，若OA＝2，∠P＝60°，則的長(zhǎng)為( )
A. πB. πC. πD. π
【答案】C
【解析】
【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四邊形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的長(zhǎng)l=．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解決此題的關(guān)鍵是算出所對(duì)的圓心角．
9. 如圖，四邊形與四邊形是位似圖形，位似中心是點(diǎn)，已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是點(diǎn)O，
∴，
∴，
∴．
故選：C
【點(diǎn)睛】此題主要考查位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
10. 小明從如圖的二次函數(shù)圖象中，觀察得出了下面的五條信息：①；②；③函數(shù)的最小值為－3；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，，你認(rèn)為其中正確的有多少個(gè)（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)開(kāi)口方向判斷①；根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷②；根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向判斷③；觀察當(dāng)時(shí)，圖象是否在x軸上方，判斷④；在，時(shí)，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷⑤，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)圖象可知：
①∵該函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，
∴，故①錯(cuò)誤；
②時(shí)，故②項(xiàng)正確；
③函數(shù)的最小值為，故③正確；
④根據(jù)圖象知，當(dāng)時(shí)，圖象是在x軸上方，
∴；故④正確；
⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵，
∴，故⑤正確；
綜上可得：②③④⑤正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將ΔOAB放大后得到ΔOCD，若OA=2，，則AC=________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用位似性質(zhì)得到△OAB∽△OCD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
解得：AC=3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：位似的兩圖形兩個(gè)圖形必是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）．
12. 一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸上，則k的取值范圍_____．
【答案】k＞3．
【解析】
【分析】求出一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），根據(jù)一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸上，畫(huà)出函數(shù)圖象，確定函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，得到3﹣k＜0，解不等式即可．
【詳解】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝（3﹣k）x+1＝1，
∴一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）．
大致畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示．
∵一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+1的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，
∴3﹣k＜0，
∴k＞3．
故答案為：k＞3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)一次函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式中字母取值，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)大體圖象，列出不等式是解題關(guān)鍵．
13. 當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的分式通分，然后把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解；
，
當(dāng)時(shí)，原式，
故答案為：．
14. 如圖，已知為的直徑，為圓上（除，外）一動(dòng)點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；作射線，交于點(diǎn)；③連接．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，根據(jù)作圖可知是的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)原圓周角定理可得，根據(jù)直角所對(duì)應(yīng)的圓周角等于可得，繼而可得，繼而利用三角函數(shù)即可求解．
【詳解】解：連接．由作圖知，是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖——角平分線及其性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和圓周角定理求得．
15. 已知x，y均為實(shí)數(shù)，，則的值為_(kāi)_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案：6．
16. 已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_______．
【答案】6
【解析】
【分析】將代數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【詳解】解：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，．
．
故答案為：6 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8小題，共102分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. （1）計(jì)算： ；
（2）解不等式組： ．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，代入特殊三角函數(shù)值計(jì)算，再進(jìn)行二次根式的加法運(yùn)算即可；
（2）先解出每一個(gè)不等式，再找公共部分即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式組解集為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及一元一次不等式組的解法，涉及的知識(shí)點(diǎn)有特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的加法、一元一次不等式組的解法，熟練掌握相關(guān)知識(shí)正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
18. 先化簡(jiǎn)，再求值：，已知x=
【答案】，
【解析】
【分析】先將括號(hào)里通分，進(jìn)行同分母減法運(yùn)算，然后將除法變乘法進(jìn)行約分即得最簡(jiǎn)結(jié)果，最后將x值代入計(jì)算即得.
【詳解】解：原式


把 代入原式
【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵
19. 如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，他們?cè)谛逼律螪處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是30o，朝大樹(shù)方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹(shù)頂端B的仰角是48°． 若坡角∠FAE=30°，求大樹(shù)的高度． （結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【答案】13米．
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，根據(jù)矩形性質(zhì)得出DG=CH，CG=DH，再利用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)求出問(wèn)題即可．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
則四邊形DHCG為矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
設(shè)BC為x，
在直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG?tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大樹(shù)的高度為：13米．
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用－坡度坡角問(wèn)題．
【點(diǎn)睛】本題考查了仰角、坡角的定義，解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20. 某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，決定開(kāi)設(shè)以下體育課外活動(dòng)項(xiàng)目： A. 版畫(huà)、 B. 保齡球、 C. 航模、 D. 園藝種植．為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每人必選且僅選一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人；
（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）在平時(shí)的保齡球項(xiàng)目訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加保齡球比賽，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率．
【答案】（1）200 （2）見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計(jì)圖．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）由A類有20人，所占扇形的圓心角為，即可求得這次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)；
（2）首先求得C項(xiàng)目對(duì)應(yīng)人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（3）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【小問(wèn)1詳解】
∵A類有20人，所占扇形的圓心角為，
∴這次被調(diào)查的學(xué)生共有：（人）；
故答案為：200；
【小問(wèn)2詳解】
C項(xiàng)目對(duì)應(yīng)人數(shù)為：（人）；
補(bǔ)充如圖．
【小問(wèn)3詳解】
畫(huà)樹(shù)狀圖得：
∵共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種，
∴P（選中甲、乙） ．
21. 如圖，在一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板的四角各剪去一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．
（1）要使折成的長(zhǎng)方體盒子的底面積為，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
（2）折成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）剪掉的正方形邊長(zhǎng)為
（2）折成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積有最大值；長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大值為，剪掉的正方形邊長(zhǎng)為
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，利用已知關(guān)系正確列出方程與函數(shù)式是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意列方程求解即可得到答案；
（2）設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，即可求出側(cè)面積最大值和剪掉的正方形邊長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得：
．
解得：，（舍），
答：剪掉的正方形邊長(zhǎng)為；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，
則長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積為：
，
當(dāng)時(shí)，S有最大值．
即長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大值為，剪掉的正方形邊長(zhǎng)為．
22. 如圖，C是以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為直徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)D作，分別交，，于點(diǎn)，，，連接．設(shè)，隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化．
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）證，根據(jù)線段比例關(guān)系即可證；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，設(shè)，，由正弦定義，，，則，即，由勾股定理，得，解得的長(zhǎng)為3．
【小問(wèn)1詳解】
證明：直徑，
．
，，
．
，
．
．
．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
由（1）知，．
，
平分．
．
設(shè)，，
則，，．
在中，由勾股定理，得
．①
在中，，即．②
在中，，即．③
由②③，得，
．代入①中，得，
解得或（舍去）．
故的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
23. 如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．
（1）求k，b的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將沿軸向右平移，對(duì)應(yīng)得到，當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)時(shí)，求的面積；
（3）在第一象限內(nèi)的雙曲線上求一點(diǎn)，使得．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，求出兩個(gè)解析式后，再聯(lián)立起來(lái)，即可解出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先在上取中點(diǎn)坐標(biāo)N，得到M、N點(diǎn)的縱坐標(biāo)是一樣的，可算出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用的面積計(jì)算求出的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，可知，然后在直線上方找一點(diǎn)，使得，關(guān)于對(duì)稱，即滿足，設(shè)，就得到，這樣點(diǎn)坐標(biāo)就出來(lái)了，然后算出直線的解析式，與反比例函數(shù)聯(lián)立就可算出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
解：將代入一次函數(shù)表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式，
得，．
由，
解得，或，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖1，取中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作軸，垂足為，
，
，
，
，
∴在直線上方找一點(diǎn)，使得，關(guān)于對(duì)稱，即滿足，
設(shè)點(diǎn)，，，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
則有解得，
，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
則，
解得：
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得或（舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，三角函數(shù)值的應(yīng)用、解一元二次方程等知識(shí)坐標(biāo)與圖形；熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)值的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線解析式為．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，將拋物線的頂點(diǎn)沿線段平移，此時(shí)拋物線頂點(diǎn)記為，與軸交點(diǎn)記為，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1時(shí)，求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，線段上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再由平移的性質(zhì)可得可求平移后的解析式，然后再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)特點(diǎn)求解即可；
（3）分過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可求解即可．
【詳解】解：（1）∵·拋物線解析式為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)一次函數(shù)解析式為，
把，代入，
得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）∵點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)平移后的拋物線解析式為，
∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的解析式是，
∵拋物線與軸的交點(diǎn)為，
∴令，得，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）存在，
①過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入一次函數(shù)，
得，
∴的坐標(biāo)為；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，
∵直線與軸的交點(diǎn)，，
又∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
過(guò)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，
則，，
在中，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴的坐標(biāo)為，
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．

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