（滿分150分，考試時(shí)間100分鐘） 2024.4
注意：
1．本練習(xí)卷含三個(gè)大題，共25題．答題時(shí)，請(qǐng)務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本練習(xí)卷上答題一律無(wú)效．
2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
[下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．]
1．下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是
A．； B．3.14159； C．； D．．
2．如果關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A．m＞1； B．m＜1； C．m≥1； D．m≤1．
3．已知二次函數(shù)，如果函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是
F
D
圖1
E
B
A
C
A．x≥4； B．x≤4； C．x≥-4； D．x≤-4．
4．下列事件中，必然事件是
A．隨機(jī)購(gòu)買一張電影票，座位號(hào)恰好是偶數(shù)；
B．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后反面朝上；
C．在只裝有2個(gè)黃球和3個(gè)白球的盒子中，摸出一個(gè)球是紅球；
D．在平面內(nèi)畫一個(gè)三角形，該三角形的內(nèi)角和等于180°．
5．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和AD上，BE=2，AF=6，如果
AE∥CF，那么△ABE的面積為
A．6； B．8； C．10； D．12．
6．在□ABCD中，BC=5，S□ABCD=20．如果以頂點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作⊙C，那么⊙C與邊AD所在直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
A．3個(gè)； B．2個(gè)； C．1個(gè)； D．0個(gè)．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
[請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]
7．計(jì)算：= .
8．分解因式：= .
9．不等式≤的解集是 ．
10．函數(shù)的定義域是 ．
11．將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后，所得到的新拋物線的表達(dá)式為 ．
12．在一個(gè)不透明袋子中，裝有2個(gè)紅球和一些白球，這些球除顏色外其他都一樣．如果從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為0.25，那么白球的個(gè)數(shù)是 ．
圖2
時(shí)間/小時(shí)
1.0
1.5
2.0
2.5
3
（每組包括最小值，不包括最大值）
人數(shù)
2
4
8
10
3.5
0
6
12
B
圖4
A
D
E
F
CE
13．某校為了解該校1200名學(xué)生參加家務(wù)勞動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，調(diào)查了他們的周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間并制作成頻數(shù)分布直方圖（圖2），那么估計(jì)該校周家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生大約有 名．
圖3
14．一根蠟燭長(zhǎng)30厘米，點(diǎn)燃后勻速燃燒，經(jīng)過(guò)50分鐘其長(zhǎng)度恰為原長(zhǎng)的一半．在燃燒的過(guò)程中，如果設(shè)蠟燭的長(zhǎng)為y（厘米），燃燒的時(shí)間為t（分鐘），那么y關(guān)于t的函數(shù)解析式為 （不寫定義域）．
15．如圖3，已知正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是4cm，那么與該螺帽匹配的扳手的開口a為 cm．
CE
D
OE
圖6
BE
A1
AE
16．如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC，設(shè)，＝，那么用向量、表示向量= ．
B
圖5
A
P
CE
D
17．如圖5，在□ABCD中，AB=7，BC=8，sinB=．點(diǎn)P在邊AB上，AP=2，以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑作⊙P．點(diǎn)Q在邊BC上，以點(diǎn)Q為圓心，CQ為半徑作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的長(zhǎng)為 ．
18．如圖6，在扇形AOB中，∠AOB=105°，OA=8，點(diǎn)C在半徑OA上，將△BOC沿著BC翻折，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在弧AB上，再將弧AD沿著CD翻折至弧A1D（點(diǎn)A1是點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)），那么OA1的長(zhǎng)為 ．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（本題滿分10分）
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m=．
①
②
20．（本題滿分10分）
解方程組：
21．（本題滿分10分，第（1）小題6分，第（2）小題4分）
如圖7，一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)A（m，2）和點(diǎn)B（2，-4），與y軸交
圖7
O
y
C
B
x
A
D
E
于點(diǎn)C．點(diǎn)D（-1，n）在反比例函數(shù)圖像上，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交一次函數(shù)圖像于點(diǎn)E．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△CDE的面積．
（本題滿分10分）
根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．
23．（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）
圖9
C
A
B
D
E
如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得DB=CB，過(guò)點(diǎn)A、D分別作AE∥BC，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE．
（1）求證：BE⊥CD；
（2）聯(lián)結(jié)AD交BE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE交AD于點(diǎn)G．
如果∠FBA=∠ADB，求證：．
24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）
新定義：已知拋物線（其中abc≠0），我們把拋物線稱為
的“輪換拋物線”．例如：拋物線y＝2x2+3x+1的“輪換拋物線”為y＝x2+2x+3．
已知拋物線C1：的“輪換拋物線”為C2，拋物線C1、C2與y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方，拋物線C2的頂點(diǎn)為P．
（1）如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），求拋物線C2的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線C2的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)Q，如果四邊形PQEF為平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
備用圖
O
y
x
（3）已知點(diǎn)M（-4，n）在拋物線C2上，點(diǎn)N坐標(biāo)為（-2，），當(dāng)△PMN∽△PEF時(shí)，求m的值．
25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）①小題5分，第（2）②小題5分）
在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F在射線AB上，聯(lián)結(jié)CE、DF相
交于點(diǎn)P，∠EPF=∠ABC．
（1）如圖10①，如果AB=CD，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上．求證：；
（2）如圖10②，如果AD⊥CD，AB=5，BC=10，cs∠ABC =．在射線DA的下方，以
DE為直徑作半圓O，半圓O與CE的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G．設(shè)DF與弧EG的交點(diǎn)為Q．
圖10②
A
B
D
P
F
C
G
E
O
Q
①當(dāng)DE=6時(shí)，求EG和AF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)Q為弧EG的中點(diǎn)時(shí)，求AF的長(zhǎng)．
圖10②備用圖
A
B
D
C

圖10①
A
B
D
C
E
P
F
2023學(xué)年度學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷練習(xí)
初三數(shù)學(xué)評(píng)分參考建議
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．-2 8． 9．x≤2 10．x＞-1
11． 12．6 13．780 14．
15． 16． 17． 18．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．解：原式=

把代入，原式=
20．解：由②得， 或
將它們與方程①分別組成方程組，得：

分別解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解為 ．
∴原方程組的解為 ．
（代入消元法參照給分）
21．解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為
把點(diǎn)B代入，得，解得
∴反比例函數(shù)解析式為
把點(diǎn)A代入，得，解得
∴點(diǎn)A（-4，2）
設(shè)一次函數(shù)解析式為，
把點(diǎn)A、B代入，得 解得
∴一次函數(shù)解析式為
（2）把點(diǎn)D代入中，可得
∴D
把x=-1代入中，得 ∴點(diǎn)E
∴
22．解：（1）根據(jù)題意，在Rt△ABH中，
答：斜坡AB的坡比為．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD，垂足為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作FJ⊥PQ，垂足為點(diǎn)J，F(xiàn)J與EC相交于點(diǎn)I
由題意可得，∠BPQ=∠QBM
即
在Rt△BPQ中，
可得四邊形DFIC、DFJQ是矩形
P
B
C
D
E
F
J
M
Q
I
∴DF=IC=JQ=1
∴EI=2.5， PJ=5
IJ=CQ=10+2.5=12.5
可得EC∥PQ
∴
設(shè)CD=x，則FI=x
∴
得x=12.5
答：小張距大巴車尾EC的距離CD為12.5米．
23．證明：（1）∵AE∥BC，DE∥BA ∴四邊形AEDB是平行四邊形
∴AE=BD
∵BD=CB ∴AE=CB
∵AE∥BC ∴四邊形AEBC是平行四邊形
∵∠C=90° ∴四邊形AEBC是矩形
∴BE⊥CD
（2）∵∠FBA=∠ADB 又∵∠DAB=∠BAF
∴△ABD∽△AFB ∴
∵四邊形AEDB是平行四邊形 ∴
∴ ∴
∵AE∥BC ∴
∵AE=CB= BD ∴ ∴ ∴
∵ ∴

24．解：（1）把點(diǎn)E代入C1，得m=1
C1：
C2：
（2）C2：
∴點(diǎn)P（-2，-5）
把x=-2代入 得
∴點(diǎn)Q（-2，2）
由題意可得點(diǎn)E（0，m），點(diǎn)F（0，4m-5）
∵點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方 ∴
∵四邊形PQEF為平行四邊形 ∴EF=PQ
∴ 解得m=
∴點(diǎn)E
（3）由題可得，點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱軸直線x=-2對(duì)稱
∴∠MPN=∠FPN
∵直線x=-2∥y軸 ∴∠NPF=∠PFE
∴∠MPN=∠PFE
∵△PMN∽△PEF ∴或
①當(dāng)時(shí)， ∴ 解得或
②當(dāng)時(shí)， ∴ 解得
綜上所述，或或
25．解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=CD
∴∠ABC =∠DCB，∠A =∠ADC
∵∠EPF=∠ABC ∴∠EPF =∠DCB
∵∠EPF=∠DEC+∠EDP，∠DCB=∠DCE+∠ECB
又∵AD∥BC ∴∠DEC=∠ECB
∴∠EDP=∠DCE ∴△ADF∽△DCE
∴
（2）①過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EC，垂足為點(diǎn)M
在Rt△ABH中，，
可得CD=AH=4，AD=CH=7
在Rt△EDC中，，可得
在Rt△OEM中，
∵OM⊥EC ∴
聯(lián)結(jié)OC，可得OC=5=AB
A
B
D
P
F
C
G
E
O
Q
A
I
N
D’
M
可得△ADF∽△OCE ∴
∴ ∴
②聯(lián)結(jié)OQ交EC于N
∵點(diǎn)Q為弧EG的中點(diǎn) ∴OQ⊥EC
在Rt△PQN中，tan∠EPF = ∴tan∠NQP=
∵OD=OQ ∴∠ODQ=∠OQP
∴tan∠ODQ =tan∠NQP=
過(guò)點(diǎn)O作OM⊥DQ，垂足為點(diǎn)M
設(shè)OD=5k ，則OM=3k，DM=4k，DQ=8k
可得QI= ，DI=
∴OI=，
在Rt△OIQ中，ct∠IOQ=
∴tan∠DEC =ct∠IOQ=
在Rt△DEC中，DE
在AD上取點(diǎn)D’，使得CD’=AB
可得△ADF∽△D’CE ∴
∴ ∴
探究斜坡上兩車之間距離
素材1
圖8①是某高架入口的橫斷面示意圖．高架路面用BM表示，地面用AN表示，斜坡用AB表示．已知BM∥AN，高架路面BM離地面的距離BH為25米，斜坡AB長(zhǎng)為65米．
圖8①
M
A
B
H
N
素材2
C
K
圖8②
G
E
圖8③
P
B
C
D
E
F
M
G
(K)
如圖8②，矩形ECKG為一輛大巴車的側(cè)面示意圖， CK長(zhǎng)為10米，EC長(zhǎng)為3.5米．如圖8③，該大巴車遇堵車后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG的頂點(diǎn)K與點(diǎn)B重合，點(diǎn)B與指示路牌底端P點(diǎn)之間的距離BP為 6.5米，且BP⊥BM．小張駕駛一輛小轎車跟隨大巴車行駛，小張的眼睛到斜坡的距離FD為1米．

問(wèn)題
解決
任務(wù)一
如圖8①，求斜坡AB的坡比．
任務(wù)二
如圖8③，當(dāng)小張正好可以看到整個(gè)指示路牌（即P、E、F在同一條直線上）時(shí)，試求小張距大巴車尾EC的距離CD．

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