一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．下列根式為最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
3．下面計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
5．將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時，它的二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（ ）
A． B．C． D．
7．若，則（x+y）2024等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
8．函數(shù)y＝kx﹣b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定
9．甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，經(jīng)過兩輪傳染后共有225人感染了“甲流病毒”，則每輪傳染中平均一個人傳染了（ ）
A．12人B．12人C．13人D．14人
10．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．且x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，則a的值為（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．比較大?。? ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．請寫出一個沒有實數(shù)根的一元二次方程，結(jié)果是 ．
13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的兩根，則（x1﹣2）（x2﹣2）的值為 ．
14．一直角三角形的三邊長分別為6，8，x，那么以x為邊長的正方形的面積為 ．
三．解答題（本大題共2小題，第15題8分，第16題8分，滿分16分）
15．計算：（1）3；（2）．
16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0
四．解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，有一架秋千，當他靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.6m，將他往前推送2.4m（水平距離BC＝2.4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．
18．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題
（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，
（+）（﹣）＝1…
觀察上面規(guī)律，計算下面的式子+++…+
五．解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．已知實數(shù)a、b滿足+|b+3|＝0，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則+的值．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x1﹣x2＝4，求k的值．
六．解答題（本題12分）
21．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．
（1）若△PCQ的面積是△ABC面積的，求t的值？
（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由．
七．解答題（本題12分）
22．“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時尚的銷售方式，某帶貨主播準備銷售一種防護品，進貨價格為每件50元，并且每件的售價不低于進貨價．經(jīng)過初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）求每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出自變量的取值范圍）
（2）物價部門規(guī)定，該防護品每件的利潤不許高于進貨價的50%．該帶貨主播銷售這種防護品每月的總利潤要想達到10000元，那么每件的售價應(yīng)定為多少元？
八．解答題（本題14分）
23．閱讀材料：
例：說明代數(shù)式+的幾何意義，并求它的最小值．
解：+＝+．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點A關(guān)于x軸對稱點A′，則PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′，B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因為A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值為3．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1），點B 的距離之和．（填寫點B的坐標）
（2）代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A 、點B 的距離之和．（填寫點A，B的坐標）
（3）求出代數(shù)式+的最小值．
2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期中綜合素質(zhì)調(diào)研
八年級數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析
一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．下列根式為最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡二次根式的條件即可解答．被開方數(shù)中，如果含有能開盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)中含有分母，都不是最簡二次根式．
【解答】解：A、＝2，可化簡，故A選項不符合題意；
B、＝，可化簡，故B選項不符合題意；
C、，符合最簡二次根式的條件，故C選項符合題意；
D、=2，故D選項不符合題意．
故選：C．
2．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
【分析】根據(jù)二次根式中被開方數(shù)的取值范圍，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案．
【解答】解：若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故選：D．
3．下面計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則及化簡方法，找到計算正確的選項即可．
【解答】解：A、正確，符合題意；
不是同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；
C、不是同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；
D、原式＝2，故錯誤，不符合題意；
故選：A．
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，當a＝0時不是一元二次方程；
③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；
④3x﹣＝0是分式方程．
故選：A．
5．將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時，它的二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0）判斷即可．
【解答】解：將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式為：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為：2x2，3，﹣1，
故選：B．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故選：C．
7．若，則（x+y）2024等于（ ）
A．1B．5C．﹣5D．﹣1
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得x＝2，從而求得y＝﹣3，進而解決此題．
【解答】解：∵，
∴x﹣1≥0且2﹣2x≥0．
∴x＝1．
∴＝0+0﹣2＝﹣2．
∴（x+y）2024＝（2﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
故選：A．
8．函數(shù)y＝kx﹣b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定
【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)得k＜0，再計算判別式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判斷△的符合，從而得到方程根的情況．
【解答】解：由圖象可得k＜0，
∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，
∵b2≥0，
∴b2+4＞0，
∵﹣4k＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：C．
9．甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，經(jīng)過兩輪傳染后共有225人感染了“甲流病毒”，則每輪傳染中平均一個人傳染了（ ）
A．12人B．12人C．13人D．14人
【分析】傳染源為1人，每次傳播x人，第一輪傳播后，感染的人數(shù)一共為（x+1）人，（x+1）人則成為第二輪的傳染源，因此第二輪感染的人數(shù)為x（x+1）人，根據(jù)兩輪感染的總?cè)藬?shù)196即可列出方程求解．
【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，
根據(jù)題意，得x+1+（x+1）x＝225，
解得：x＝14或x＝﹣16（舍去），
答：每輪傳染中平均一個人傳染了14個人．
故選：D．
10．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．且x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，則a的值為（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1或﹣6D．6或﹣1
【分析】先根據(jù)判別式的意義得到a＜3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解關(guān)于a的方程，然后利用a的范圍確定滿足條件的a的值．
【解答】解：根據(jù)題意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值為﹣1．
故選：B．
二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．比較大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】首先求出與的平方，判斷出它們的平方的大小關(guān)系，然后根據(jù)兩個正實數(shù)，平方大的這個數(shù)也大，判斷出它們的大小關(guān)系即可．
【解答】解：＝20，＝50，
∵20＜50，
∴＜．
故答案為：＜．
12．請寫出一個沒有實數(shù)根的一元二次方程，結(jié)果是 滿足b2﹣4ac＜0的一元二次方程即可，如y2+y+1＝0 ．
【分析】由根的判別式Δ＜0，方程無實根，任寫一個即可，答案不唯一．
【解答】解：y2+y+1＝0，只要滿足b2﹣4ac＜0即可．
13．若x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的兩根，則（x1﹣2）（x2﹣2）的值為 ．
【分析】由韋達定理得出x1+x2＝7，x1x2＝5，代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2計算可得．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的兩根，
∴x1+x2＝7，x1x2＝5，
則則（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4
＝5﹣2×7+4
＝-8，
故答案為：-8．
14．一直角三角形的三邊長分別為6，8，x，那么以x為邊長的正方形的面積為為 100或28 ．
【分析】以x為邊長的正方形的面積是x2，所以只需求得x2即可．但此題應(yīng)分8為直角邊和為斜邊兩種情況考慮．
【解答】解：當較大的數(shù)8是直角邊時，根據(jù)勾股定理，得x2＝36+64＝100；
當較大的數(shù)8是斜邊時，根據(jù)勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．
所以以x為邊長的正方形的面積為100或28．
故答案為：100或28．
三．解答題（本大題共2小題，第15題8分，第16題8分，滿分16分）
15．計算：（1）3；（2）．
【分析】（1）先化簡，再算加減即可；
（2）（2）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式進行計算即可求解．
【解答】解：（1）3
＝3
＝；
（2）
＝
＝25﹣24
＝1．
16．解方程：x（x﹣2）﹣x+2＝0
【分析】先分解因式，即可得兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1
四．解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，有一架秋千，當他靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.6m，將他往前推送2.4m（水平距離BC＝2.4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．
【分析】設(shè)秋千的繩索長為x m，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣1.2）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣1.2）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
設(shè)秋千的繩索長為x m，則AC＝（x+0.6﹣1.2）m，
故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0
解得：x＝5.1，
答：繩索AD的長度是5.1m．
18．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題
（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，
（+）（﹣）＝1…
觀察上面規(guī)律，計算下面的式子+++…+
【分析】根據(jù)題目中材料，可以先將所求式子分母有理化，再化簡即可解答本題．
【解答】解：
＝+…+（）
＝
＝
＝10﹣1
＝9；
五．解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．已知實數(shù)a、b滿足+|b+3|＝0，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則+的值．
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a＝2，b＝3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝2，x1?x2＝3，將+變形為，整體代入即可求得．
【解答】解：∵實數(shù)a、b滿足+|b+3|＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，
∴x1+x2＝a＝2，x1?x2＝b＝﹣3，
∴+＝＝﹣
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6kx+5k2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若此方程的兩個實數(shù)根x1，x2，滿足x1﹣x2＝4，求k的值．
【分析】（1）通過計算根的判別式的值得到Δ＝16k2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，再利用x1﹣x2＝4得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，則36k2﹣4×5k2＝16，然后解方程，從而得到滿足條件的k的值．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣6k）2﹣4×5k2＝16k2≥0，
∴該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝6k，x1x2＝5k2，
∵x1﹣x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36k2﹣4×5k2＝16，
即k2＝1，
解得k1＝1，k2＝﹣1．
故k的值為1或﹣1．
六．解答題（本題12分）
21．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．
（1）若△PCQ的面積是△ABC面積的，求t的值？
（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說明理由．
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可以得出△ABC面積為×16×8＝32，△PCQ的面積為（16﹣4t）2t，由題意列出方程解答即可；
（2）由等量關(guān)系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程無解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝（16﹣4t）2t，S△ABC＝×16×8＝32，
∴（16﹣4t）2t＝32×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：當t＝2s時△PCQ的面積為△ABC面積的；
（2）當S△PCQ＝S△ABC時，
（16﹣4t）2t＝32×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程沒有實數(shù)根，
∴△PCQ的面積不可能是△ABC面積的一半．
七．解答題（本題12分）
22．“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時尚的銷售方式，某帶貨主播準備銷售一種防護品，進貨價格為每件50元，并且每件的售價不低于進貨價．經(jīng)過初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）求每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出自變量的取值范圍）
（2）物價部門規(guī)定，該防護品每件的利潤不許高于進貨價的50%．該帶貨主播銷售這種防護品每月的總利潤要想達到10000元，那么每件的售價應(yīng)定為多少元？
【分析】（1）由圖象可知每月銷售量y（件）與售價x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系數(shù)法求解即可；
（2）由題意得w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）由圖象可知每月銷售量y（件）與售價x（元）之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0，x≥50），
將（60，600），（80，400）代入，得：
，
解得：，
∴每月銷售y（件）與售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1200；
（2）由題意得：
10000＝（﹣10x+1200）（x﹣50），
解得x＝70或100，
∵該防護品的每件利潤不允許高于進貨價的50%，
∴x≤50×（1+50%），即x≤75，
∴x＝70，
∴售價定為70元可獲得利潤是10000元．
八．解答題（本題14分）
23．閱讀材料：
例：說明代數(shù)式+的幾何意義，并求它的最小值．
解：+＝+．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點A關(guān)于x軸對稱點A′，則PA＝PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′，B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A′CB，因為A′C＝3，CB＝3，所以由勾股定理得A'B＝3，即原式的最小值為3．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1），點B 的距離之和．（填寫點B的坐標）
（2）代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A 、點B 的距離之和．（填寫點A，B的坐標）
（3）求出代數(shù)式+的最小值．
【分析】（1）先把原式化為+的形式，再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；
（2）先把原式化為+的形式，故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，5）、點B（6，3）的距離之和，
（3）在坐標系內(nèi)描出各點，利用勾股定理得出結(jié)論即可．
【解答】解：（1）∵原式化為+的形式，
∴代數(shù)式+的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，4）或（2，﹣4）的距離之和，
故答案為（2，4），（2，﹣4）；
（2）∵原式化為+的形式，
∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，5）、點B（6，3）的距離之和，
故答案為：（0，5），（6，3）．
（3）如圖所示：設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，則PA＝PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，
∵A（0，5），B（6，3）
∴A′（0，﹣5），A′C＝6，BC＝8，
∴A′B＝10，
∴代數(shù)式+的最小值為10．

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