數(shù) 學(xué)
考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）
A. B. C. D. 3
2. 節(jié)日里，人們常用放氣球的形式慶祝，已知?dú)馇虻捏w積（單位：與半徑（單位：）的關(guān)系為，則時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為（ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（ ）
A. B.
C D.
5. 曲率是刻畫曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，曲線的曲率定義如下：記是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，那么曲線在點(diǎn)處的曲率，則曲線在點(diǎn)處的曲率為（ ）
A. 0B. C. D.
6 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
7. 若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. 8B. C. D. 10
8. 設(shè)，，，則、、大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（ ）

A. 在上單調(diào)遞減B. 有極小值
C. 有3個(gè)極值點(diǎn)D. 在處取得最大值
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)，則__________.
13. 函數(shù)的最大值為________．
14. 已知函數(shù)，過點(diǎn)且與曲線相切的直線只有1條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)（），且．
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．
16 已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
17. 已知函數(shù)，．
（1）證明：在上單調(diào)遞增；
（2）判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.
19. 定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
（1）判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
（2）若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
洛陽強(qiáng)基聯(lián)盟高二3月聯(lián)考
數(shù)學(xué)
考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色．墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用平均變化率的定義求解.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．
故選：A.
2. 節(jié)日里，人們常用放氣球的形式慶祝，已知?dú)馇虻捏w積（單位：與半徑（單位：）的關(guān)系為，則時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解即可.
【詳解】由，求導(dǎo)得，
所以時(shí)體積關(guān)于半徑的瞬時(shí)變化率為.
故選：B.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求導(dǎo)并解不等式，即可得到的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>解不等式，得，即，即的單調(diào)遞減區(qū)間為．
故選：D.
4. 已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.
【詳解】由題意知，所以，
又，所以的圖象在處的切線方程為，
即．
故選：D．
5. 曲率是刻畫曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，曲線的曲率定義如下：記是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，那么曲線在點(diǎn)處的曲率，則曲線在點(diǎn)處的曲率為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的曲率定義，對函數(shù)求導(dǎo)得出，再對求導(dǎo)得出，將代入求解即可.
【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)，得，
對求導(dǎo)，得，所以，
所以曲線在點(diǎn)處的曲率.
故選：D.
6. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件可知，，可解出，，然后驗(yàn)證，滿足條件即可.
【詳解】由于，函數(shù)在處取得最小值，
故，，從而，，解得，.
若，，則，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以在處取到極小值，也是最小值.
而，所以函數(shù)在處取得最小值，故，滿足要求，
所以，，故．
故選：D.
7. 若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. 8B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，分離參數(shù)，并構(gòu)造新函數(shù)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)得m的范圍即可.
【詳解】，令，得，
由題意知在區(qū)間上只有一個(gè)變號的根，
令，則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
又，，，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上只有一個(gè)變號的根，
即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，，即的最小值為．
故選:B．
8. 設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，
即，則；
令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，即，即．
綜上所述，．
故選：A．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見的重要不等式：
（1）；（2）.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得出A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；由導(dǎo)數(shù)的加法公式可得出B正確；由導(dǎo)數(shù)的乘法公式可得出C正確/
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得，
由導(dǎo)數(shù)的加法公式可得，
由導(dǎo)數(shù)的乘法公式可得，
由導(dǎo)數(shù)的除法公式可得，
所以A，D錯(cuò)誤；B，C正確.
故選：BC．
10. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（ ）

A. 在上單調(diào)遞減B. 有極小值
C. 有3個(gè)極值點(diǎn)D. 在處取得最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先分析給定圖像，由的圖象可知時(shí)，，則單調(diào)遞減，進(jìn)一步分析其他選項(xiàng)，由的圖象可知當(dāng)時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，再找出最大值和極小值即可.
【詳解】由的圖象可知時(shí)，，
則單調(diào)遞減，故A正確；又時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故B正確；
由的圖象可知時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，
則在處不能取得最大值，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，可得在上單調(diào)遞增，取自變量的值可得結(jié)果.
【詳解】令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，故A錯(cuò)誤，B正確；
又，所以，
即，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形．
(2)構(gòu)造新的函數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】24
【解析】
【分析】求導(dǎo)后代入即可得，代入求解即可.
【詳解】，故，解得，
故，所以.
故答案為：24
13. 函數(shù)的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.
【詳解】，
所以在遞增，在遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，過點(diǎn)且與曲線相切的直線只有1條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)代入可得，構(gòu)造函數(shù)，則的圖像與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，作出圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
由，得，
所以切線的斜率為，
切線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，
即，
令，則，
令，得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為，極大值為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的圖象如圖所示，

因?yàn)檫^點(diǎn)且與曲線相切的直線只有1條，
所以的圖像與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15 已知函數(shù)（），且．
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）將代入的表達(dá)式即可解出，從而得到的解析式；
（2）由導(dǎo)數(shù)的定義可知所求直線為經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線，然后將點(diǎn)斜式方程化為一般式即可.
【小問1詳解】
由，得，
又，所以，解得，即．
【小問2詳解】
由（1），得，，
所以，即切點(diǎn)為，
又切線的斜率為，
所以函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
16. 已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1），；
（2）最大值為，最小值為．
【解析】
【分析】（1）由極值的必要條件以及可列方程求解參數(shù)；
（2）求導(dǎo)得出在的單調(diào)性，比較極值點(diǎn)與端點(diǎn)函數(shù)值即可得解.
【小問1詳解】
由，得，
又當(dāng)時(shí)，有極值，
所以，解得
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值．
所以，滿足題意．
【小問2詳解】
由（1）知，．
令，得，，
，的值隨的變化情況如下表：
由表可知在上的最大值為，最小值為．
17. 已知函數(shù)，．
（1）證明：在上單調(diào)遞增；
（2）判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．
【答案】（1）證明見解析；
（2），證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，確定即可證明；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可證明.
小問1詳解】
證明：，
所以，
所以．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
．
證明如下：設(shè)，，則．
由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即上單調(diào)遞增．
所以，即．
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.
【小問1詳解】
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，則，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
即上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問題：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
19. 定義：若函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有關(guān)系．
（1）判斷函數(shù)和是否具有關(guān)系；
（2）若函數(shù)和（）在區(qū)間上具有關(guān)系，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）與具有關(guān)系；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依據(jù)給定的新定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷即可.
（2）令，得出所以在上存在零點(diǎn)且．在上單調(diào)遞增，推出，后結(jié)合給定定義求解參數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
與具有關(guān)系．
理由如下：根據(jù)定義，若在與的定義域的交集上存在，
使得，則與具有關(guān)系．令，，
則，所以單調(diào)遞增，又，，
所以，使得，即，即與具有關(guān)系．
【小問2詳解】
令，則，因?yàn)榕c在上具有關(guān)系，
所以在上存在零點(diǎn)．，若，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?br>即在上單調(diào)遞增，則，
此時(shí)在上不存在零點(diǎn)，不滿足題意．若，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，故在上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)零點(diǎn)為，則，所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上存在唯一極小值，因?yàn)?，所以?br>又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)與在上具有關(guān)系．
綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是得出所以在上存在零點(diǎn)且．在上單調(diào)遞增，推出，然后利用給定定義得到所要求的參數(shù)范圍即可．
3
4
＋
0
－
0
＋
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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河南省洛陽市強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省洛陽市強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共12頁。試卷主要包含了本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，答題前，考生務(wù)必用直徑0，本卷命題范圍， 不等式的解集為， 若，則函數(shù)的最小值為， 定義集合運(yùn)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省洛陽市強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省洛陽市強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共20頁。試卷主要包含了本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，答題前，考生務(wù)必用直徑0，本卷命題范圍等內(nèi)容，歡迎下載使用。

浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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